2.3 DC-AC变流器的脉冲宽度调制

脉冲宽度调制（Pulse Width Modulation，PWM）简称脉宽调制，是将模拟信号转变为等效脉冲的一种技术。通过调整一系列脉冲的宽度，可以获得具有不同形状的目标波形。

脉宽调制的理论基础在于面积等效原理——冲量相等而形状不同的窄脉冲加在具有惯性的环节上时，其效果基本相同。从频域角度分析，若对上述窄脉冲作傅里叶变换，可知其低频分量基本相近，而差异主要存在于高频段。由于惯性环节具有低通特性，故输出响应波形趋于一致。

为了更好地阐述脉宽调制在变流器中的作用，图2-21给出了一种典型的并网变流器控制框图，如图2-21所示，采样信号一路送入控制器中，用于控制计算；另一路送入锁相环（Phase Locked Loop，PLL）中，用于提取坐标变换所需的相位信息。参考给定输入到控制器中，与采样信号对比得到误差值，并经过特定算法处理后，生成控制信号。控制信号经过脉宽调制环节，生成方波形式的驱动信号。驱动信号输入到三相半桥中，用于控制功率半导体器件的开通与关断。随着功率半导体器件的开关，三相半桥输出高频方波电压，经滤波器滤除高频分量后，将基频电压/电流馈入三相交流微电网。

为了生成PWM信号，需要输入调制波和载波。其中，调制波就是目标输出波形；而载波则是用于承载调制波的高频波，通常采用等腰三角波或锯齿波，又以等腰三角波应用最为广泛。当调制波是正弦波时，生成PWM信号的脉冲宽度按照正弦规律变化，故称为正弦脉宽调制（Sinusoidal PWM，SPWM）波形。

SPWM一般可分为单极性调制和双极性调制。对于单极性调制而言，在调制波的半周期之内，载波只在正极性或负极性这一种极性范围内变化，其输出电压仅能单一地大于等于或小于等于零电平。对于双极性调制而言，在调制波的半周期之内，载波始终在正负极性之间切换。微电网中的三相两电平变流器中多采用双极性调制，因此后续分析均围绕双极性SPWM展开。

图2-22给出了双极性SPWM的调制与输出波形，图2-22a中控制信号 v _control 是正弦波，即为调制波；而载波 v _tri 是等腰三角波。将调制波和载波作比较：若调制波高于载波，则对应于图2-22b方波的高电平；若调制波低于载波，则对应于图2-22b方波的低电平。至此连续的调制信号经脉宽调制，转变为宽度按照正弦规律变化的脉冲序列。若将这一组脉冲序列通过低通滤波器，可重新获得正弦波。

2.3.1 变流器PWM环节及半桥电路的数学建模

在上文中已经分析了正弦波转换为脉冲序列的基本实现原理。这种脉冲序列可以用于控制功率半导体器件的开通和关断，从而对直流母线电压进行斩波，并生成电压方波。可见，PWM环节和半桥电路共同实现了从正弦控制信号到功率方波的转换。

本小节将建立PWM环节和半桥电路的数学模型，为后续的逆变器建模与控制设计提供支撑。需要说明的是，由于基波频率一般远低于开关频率，因此在三相三线制系统中，三相半桥电路可以视作三个基波相位互差120°的单相半桥电路组合。为简化分析，本小节将基于单相半桥DC-AC拓扑展开建模，如图2-23所示。

在上图半桥电路中，直流电容电压均为 V _DC /2。两个功率半导体器件VT ₁ 与VT ₂ 可以分别工作在开通或关断状态，则半桥桥臂有四种输出状态，见表2-4。

在运行过程中，桥臂主要处于输出状态1和2。其中，状态1对应桥臂输出电压 v _i ( t )=+ V _DC /2，状态2对应桥臂输出电压 v _i ( t )= -V _DC /2。则桥臂输出电压 v _i ( t )可以写成

首先对开关状态进行数学建模，引入开关状态函数为

用开关状态函数 S ( t )来描述桥臂输出电压为

由于 v _i ( t )是在正负两种极性之间不断跳变的脉冲电压，如图2-22b所示，因此需要对其求开关平均值，从而转化为连续函数。求开关平均值的表达式如下：

式中， T _sw 为开关周期。

在上式中代入桥臂输出电压 v _i ( t )的解析式，可得

在此，定义占空比为一个开关周期内导通时间与开关周期之比。假设VT ₁ 的占空比为 D ( t )，则VT ₂ 的开关占空比为 D' ( t )=1 -D ( t )。则开关状态函数 S ( t )的开关平均值等于 D ( t )，如下：

联立上述两式，可得桥臂输出电压的连续函数表达式为

可以看出，桥臂输出电压的开关周期平均值只与直流侧电压和占空比相关。由于直流侧电压一般而言是稳定的，接下来将重点推导占空比的表达式。

假设开关频率 f _sw =1/ T _sw 远大于调制波 v _m ( t )的频率，则在单开关周期内可以认为 v _m ( t )是常数。图2-24给出了双极性SPWM的几何示意图，由图可知，开关函数的高电平与低电平时间之比，等同于三角形高度之比。基于该几何关系，可以写出占空比 D ( t )与调制波取值 v _m 、载波幅值 V _tri 的关系为

联立上述两式可得

改写为传递函数的形式如下：

上式描述了调制带来的增益，即调制后输出的脉冲信号与调制波之间的比例关系。如果开关频率 f _sw 足够大，则对于低频分量（远低于开关频率 f _sw ）而言，PWM过程的增益 K _PWM 如下：

由上式可知，PWM环节的增益与直流母线电压 V _DC 和载波幅值 V _tri 相关。在实际设计中，通常希望PWM环节的增益是恒定的，从而在不同的电压和载波幅值下确保控制特性稳定。为了实现这一目标，需要对PWM环节做归一化处理，即在调制波输入端串联2 V _tri / V _DC 增益环节。至此，归一化后的PWM环节具有单位增益。

除了增益之外，PWM环节还会引入延时环节。如图2-25所示，控制采样、控制值装载一般与载波同步，并发生在载波的谷值（或峰值）处。以 t ₀ 时刻为例，此时为周期 N 的采样触发点；在 t ₀ ～ t ₁ 之间，控制器完成采样转换、数据计算，并生成控制值，等待装载；在 t ₁ 时刻，周期 N 的控制值装载进比较器，并生成对应脉冲，该脉冲周期为 t ₁ ～ t ₂ 。需要说明的是，周期 N +1在 t ₁ 时刻触发采样，并在 t ₂ 时刻装载控制值，两个周期之间存在并行操作。

对于周期 N ，从采样到装载的过程引入 T _sw 延迟；而装载后，固定宽度脉冲周期为 T _sw ，该脉冲在 t ₁ 时刻延迟为0，在 t ₂ 时刻延迟为 T _sw ，故平均延迟为0.5 T _sw 。可见，控制与PWM环节共同引入1.5 T _sw 的延时。在建模时，一般习惯将控制和PWM环节的延时合并为一个延时环节。则归一化后考虑延时的PWM环节数学模型为

2.3.2 变流器空间矢量调制及等效

前面介绍了SPWM，并推导了PWM及半桥电路的数学建模。由于SPWM是直接将基频调制波与载波作比较生成的，其输出相电压的最大幅值只能达到 V _DC /2。若调制波幅值进一步增大，则称为过调制。

过调制一般发生在负载突变和直流电压波动的情况下，可能引入大量低频谐波。为了避免过调制的发生，应当合理设计直流母线电压，限制调制波、占空比的合理取值范围。除此之外，也可以采用直流电压利用率更高的调制方法——空间矢量脉宽调制（Space Vector Pulse Width Modulation，SVPWM） ^[4] ，从而在相同的直流母线电压下输出更高的交流电压。

本小节将对SVPWM的基本原理和实现方法进行阐述。需要明确的是，三相对称正弦电压可以转换为复平面上运动轨迹为正圆的旋转矢量。基于该理念，“如何控制逆变器输出三相正弦电压”这个问题，可以转换为一个新问题——“如何控制逆变器生成一个运动轨迹为正圆的复矢量”，这也正是SVPWM的核心思想。

图2-26给出了一种典型的三相两电平逆变拓扑。首先定义开关状态 S _k ( k =a，b，c)：若 k 相半桥的上管开通、下管关断，则该桥臂的开关状态 S _k =1；若 k 相半桥的上管关断、下管开通，则该桥臂的开关状态 S _k =0。所以，三相两电平逆变器共存在8种开关状态组合，分别对应8个空间矢量，即{ V ₁ ， V ₂ ， V ₃ ， V ₄ ， V ₅ ， V ₆ ， V ₇ ， V ₈ }={100，110，010，011，001，101，111，000}。

图2-27给出了基本电压空间矢量图。其中， V ₁ 到 V ₆ 为非零空间矢量，矢量间隔60°； V ₇ 和 V ₈ 为零空间矢量。对于在一个基波周期内仅使用6个非零电压空间矢量的逆变器，称之为六拍逆变器，其开关状态变化6次，每次间隔1/6基波周期。六拍逆变器输出电压矢量的运动轨迹是正六边形，与正圆差异较大，这意味着输出电压波形并非理想正弦。

为了使输出电压矢量的运动轨迹趋近于圆，需要生成更多的电压空间矢量，这可以通过8种基本电压矢量的线性叠加实现。如图2-28所示，目标电压矢量 V _ref 可以分解到基本电压矢量 V ₁ 和 V ₂ 方向上；通过选取合适的作用时间 t ₁ 和 t ₂ ， V ₁ 和 V ₂ 可以线性叠加成 V _ref 。需要说明的是， t ₁ + t ₂ 应当小于 T _sw ，且 T _sw = t ₁ + t ₂ + t ₀ ，其中 t ₀ 是零电压矢量的作用时间。这就是空间矢量调制的基本实现方法。

相比于SPWM仅能输出 V _DC /2的最大相电压，SVPWM输出的相电压幅值可达0.577 V _DC ，即直流利用率提高到了1.15倍 ^[5] 。这是SVPWM的核心优势，能够在相同直流电压下输出更高的相电压。另一方面，SVPWM的实现相比于SPWM是更为复杂的，需要消耗更多的计算资源。

图2-29给出了SPWM和SVPWM的调制波形及傅里叶分析。如图2-30a所示，SPWM的调制波是正弦波，而SVPWM的调制波是鞍形波；如图2-30b所示，SPWM的频谱上仅包含50Hz基波分量，而SVPWM的频谱上除了基波之外还包含三倍频为主的零序分量。从时域分析，由于零序分量的谷值正好对基波的峰值进行了一定程度的抵消，从而降低了调制波的峰值。因此SVPWM能够在相同直流电压下输出更高的基频相电压分量。

然而，SVPWM中零序分量的存在，意味着这种调制不适用于存在零序电流通路的拓扑，例如常见的三相四线制系统。同时，这也反映了SVPWM实际上是一种带零序谐波注入的SPWM特例。在工程实现中，通常用图2-30中的方法来等效实现SVPWM，从而在保有高直流利用率的同时，避免复杂的空间矢量叠加计算。