1.1 电路波形

常见电路的波形有直流、正弦波、矩形波和三角波，后三者是交流波形。电路的波形通过周期、频率、幅值、相位、平均值、有效值、峰峰值等表征其特性，这些参数在示波器上很常用。下面应用PSIM软件建立各波形产生的电路。

1.1.1 一个简单电路的仿真

使用PSIM软件构建并仿真电路，可分为七个步骤。

①电路绘制界面创建：顺序单击主菜单“File”→ 子菜单“New”，出现需要绘制电路的新界面。

②文件保存：顺序单击主菜单“File”→子菜单“Save”，将①创建的新电路界面在指定目录保存为扩展名为psim或psimsch的PSIM文件。

③元件选择与放置：顺序单击主菜单“Elements”→子菜单“Power”“Control”“Sources”“Other”等，出现下拉子菜单，选择并放置功率元件、控制元件、电源/接地或其他元件等。

④参数设置：双击在电路界面放置的元件，出现该元件的参数“Parameters”设置项，单击“Help”菜单，可查阅相关参数的设置规则。逐一修改设置项各条目的参数，单击关闭，保存设置的元件参数。

⑤线路连接：在电路界面上放置两个或两个以上元件后，顺序单击主菜单“Edit”→子菜单“Wire”，放置连接两个元件之间的电连接线。

⑥仿真控制与运行：顺序单击主菜单“Simulate”→子菜单“Simulation control”，放置系统控制元件，双击元件图标以设置参数：定步长时间“Time step”、总运行时间“Total time”等。顺序单击主菜单“Simulate”→子菜单“Run simulation F8”，运行仿真电路。

⑦曲线显示与数据保存：在没有错误信息提示的电路仿真运行结束后，在PSIM软件界面上会自动出现曲线显示的界面“Simview”窗口及其参数选择框“Properties”。其中，在条目“Select curves”下的变量框“Variables available”内出现可选择曲线显示的变量名称，单击它们，并通过“Add”增加变量到“Variables for display”中。然后，单击“OK”按钮能够显示所选择变量的曲线。另外，通过单击“Remove”按钮删除某变量，以删除其显示的曲线。

按照上述步骤，在PSIM软件中可建立一个直流电路模型，如图1.1所示。下面省略菜单英文名称的双引号等，仅使用右箭头符号简洁叙述图示元件的选择与放置、参数设置和电路运行显示的过程。

下面给出了图1.1所示电路元件的选择路径：

●VDC1，恒压源：Elements→Sources→Voltage→DC。

●VRAND1，电压噪声：Elements→Sources→Voltage→Random。

●R1、R2、R3，电阻：Elements→Power→RLC Branches→Resistor。

●SS1、SS2、SS3，双向开关：Elements→Power→Switches→Bi-directional Switch。

●G1、G2、G3，门控信号：Elements→Power→Switches→Gating Block。

●U1，电压表：Elements→Other→Probes→Voltage Probe。

●I1，电流表：Elements→Other→Probes→Current Probe。

●四个参考地：Elements→Sources→Ground。

●仿真控制：Elements→Simulate→Simulation Control。

在电路元件之间通过Edit→Wire放置电连接线，并设置包括仿真控制模块在内的每个元件参数，利用View→Element List显示各电路元件的参数。其中，电路元件SS1、SS2、SS3、U1、I1和地线的参数为默认设置。下面说明其他元件参数的设置：

●VDC1：幅值14V，即Amplitude=14。

●VRAND1：峰峰值1V、偏移0.5V，即Peak-peak Amplitude=1，DC Offset=-0.5。

●R1、R2、R3：电阻值8Ω、4Ω、2Ω，即Resistance=8、4、2，Current Flag=1。

●G1、G2、G3：触发时刻分别对应10s、30s，40s、60s，70s、90s，即Frequency=0，No.of Points=2，Switching Points=10 30，40 60，70 90。

●仿真控制：步长0.1s，时长100s，即Time step=0.1，Total time=100。

在完成电路元件的参数设置后，顺序单击Simulate→Run Simulation或按〈F8〉键，启动PSIM电路模型运行。在PSIM软件界面右下角出现程序运行进程条，显示模型运行时间。当模型运行结束时，PSIM软件界面自动出现Simview界面。然后，单击在Properties→Variables available窗口中的变量U1，并通过单击Add按钮将其添加到窗口Variables for display中。接着，单击OK按钮，在第一个坐标窗口显示变量U1的曲线。同样，在界面Simview上，顺序单击菜单Screen→Add Screen，再次出现窗口Properties，采用上述相同的操作方法将变量I1添加到窗口Variables for display中，在第二个坐标窗口中显示变量I1的曲线。

1）曲线显示。图1.2显示了在界面Simview中电路模型（图1.1）的运行曲线，注意变量U1和I1的默认单位分别为V和A，在各自的纵坐标轴上没有显示相应的变量单位。横坐标变量为Time，显示了单位s。图1.1所示的电路可以简单模拟电动汽车12V低压电气系统的功率需求，三个电阻负载可用来模拟如小灯、前照灯和远光灯等阻性负载消耗的功率，其中接地表示汽车低压电气系统的搭铁。采用VRAND1模拟在实际电气线路中出现的电压噪声，它叠加在电压源VDC1上，因此低压直流母线电压U1表现为有波动的曲线。在开关SS1、SS2和SS3的分别作用下，负载电流I1的曲线有三个台阶，每个台阶都是波动的电流，其波动幅度由负载的电压噪声和阻值决定。

2）波形数据分析。在Simview界面中，顺序单击Analysis→Avg或RMS，计算并显示曲线在其窗口坐标时间的平均值或有效值。变量U1的平均值和有效值均为14.0V。变量I1的平均值和有效值分别为2.4A和3.6A。顺序单击Measure→Measure，出现一条垂直时间轴的虚线，能够观察所有曲线在虚线对应时刻的瞬时值，移动此虚线，各条曲线的瞬时值发生相应变化。

3）仿真数据保存。在Simview界面中，顺序单击File→Save As，出现Save As（另存为）窗口，输入文件名Fig1-1data，在保存类型中选择Tab separated text file（Excel compatible），然后单击保存按钮。如果在Excel软件中导入数据文件Fig1-1data.txt，能够进一步计算图1.2的电压U1和电流I1的波形参数。

4）曲线图像保存。在Simview界面中，顺序单击Edit→Copy to Clipboard→Metafile format或Bitmap，将曲线图像以图元格式或位图格式复制到剪切板中，可用组合键〈Ctrl+V〉粘贴到画图面板或其他绘图软件界面中显示与处理。

5）多条曲线显示。在Simview界面中，顺序单击Screen→Add Screen，出现Properties界面，将创建一个显示曲线的新坐标窗口。在已建立的坐标窗口中，双击鼠标或顺序单击Screen→Add/Delete Curves，同样能出现Properties界面。在Variables available窗口中单击变量I（R1）、I（R2）和I（R3），出现变量背景色条，单击Add按钮将它们添加到Variables for display窗口中，单击OK按钮，即可在同一坐标窗口中显示电阻R1、R2和R3的电流曲线，如图1.3所示。其中，I（R1）、I（R2）和I（R3）曲线的默认颜色分别为红色、蓝色和绿色。在Variables available窗口中，单击Curves，可设置曲线的属性，如颜色和宽度等；单击Screen，可设置坐标系的字体、背景颜色等属性。在Simview界面中，顺序单击Label→Text、Line、Dotted Line或Arrow，可在坐标窗口内添加文本、实线、点线或箭头。

6）坐标设置。在Simview界面中，顺序单击Axis→X Axis或Y Axis，可设置曲线显示窗口的横坐标或纵坐标的上下限，能够通过网格数设置调节坐标值。

1.1.2 铅酸电池模型

理想的直流电的波形不发生周期性变化，是一条直线；直流电的平均值恒等于峰值，频率等于0，有效值等于平均值。在汽车上，低压电器设备的标称电压通常为直流12V或24V，铅酸电池是常用的供电电源。在新能源汽车上，为驱动电机控制器提供的动力电池组电压有多种标称值，如288V、312V、336V、384V或600V等。这些车载蓄电池的端电压会随着工作电流的幅值、温度、持续时间等因素发生变化，它们不是恒定的电压。图1.4显示了简单模拟纯电动汽车低压电气系统的一个PSIM模型。其中，电阻R1为低电压负载，恒压源DCDC表示恒电压输出14V的DC-DC变换器，还有一个12V铅酸电池线性模型。

在常温条件下，图示的铅酸电池线性模型由一个电阻R0、一个阻容并联环节RpCp和一个可控电压源VVCVS1串联而成。其中，VVCVS1表示铅酸电池的开路电压，它是电池荷电状态SOC（state of charge）的一个线性函数。

式中， U _ocv 为电池的开路电压OCV（open circuit voltage），单位为V； x 表示电池SOC，0≤ x ≤1； C ₁ ＞0， C ₂ ＞0。

在图1.4中，铅酸电池开路电压模型是电池线性模型的核心单元，相应的模型元件及其选择路径如下所述。

●电流传感器：检测电池工作电流大小和方向，充电为正，放电为负；选择路径Element→Other→Sensors→Current Sensor。

●积分器AH：对电流传感器检测电流进行积分，积分常数 T 为3600×60，其中60表示电池容量60A·h；选择路径Element→Control→Integrator。

●加法器SUMP1：输入为SOC初值SOC0和SOC增量，输出为SOC瞬时值；选择路径Element→Control→Summer。

●乘法器MULT1：输出为输入SOC与常数C1的乘积，选择路径Element→Control→Computational Blocks→Multiplier。

●加法器SUMP2：输出为电池的开路电压值，SOC0=1，C1=6，C2=8。

●常数SOC0、C1和C2：选择路径Element→Sources→Constant。

●控制/功率转换器CTOP：用来作为控制模型和功率电路模型之间的信号接口，选择路径Element→Other→Control-to-power interface。

●压控电压源VVCVS1：产生电池的开路电压，选择路径Element→Sources→Voltage→Voltage-controlled。

铅酸电池等效电路的参数为 R ₀ =1mΩ， R _p =0.5mΩ， C _p =1000F，负载电阻 R ₁ =0.25Ω。门控模块G1的频率和点数分别为0和8，相应的八个点值分别为0、150、270、450、570、750、870和1000。仿真控制的步长和时长分别为0.1s和1000s。

在门控信号G1作用下，DCDC电源和铅酸电池都可以单独为负载供电，相应的电压和电流的曲线如图1.5所示。当开关导通时，DCDC电源向负载供电，此时负载电流恒定， I ₁ =56A。当铅酸电池电压U3小于14V时，DCDC电源向铅酸电池充电，此时的充电电流I2和电源电流I1同时出现了一个尖峰，而后这两个电流逐渐衰减，同时铅酸电池的开路电压U3回升。当开关截止时，仅有蓄电池向负载供电，负载电压U1先陡降，后缓慢下降。负载电流也会呈现下降趋势，这是因为蓄电池的开路电压会随着放电容量增加而下降。

1.1.3 正弦波

公用电网传送交流电压，不仅为家庭照明提供电源，而且为新能源汽车动力电池充电机输入交流电源，它是一种正弦波信号。作为新能源汽车驱动装置的三相交流异步电动机，其输入电源也是正弦波信号。

在PSIM软件中，电压源正弦波信号发生器可通过顺序单击菜单Element→Sources→Voltage→Sine实现。图1.6显示了正弦信号激励感性元件和容性元件的PSIM电路。电感器L1和电容器C1都能在Element→Power→RLC Branches中单击选择。其中，正弦电压源Vs的有效值为220V，频率为50Hz，初始相位为0； R ₁ = R ₂ =11Ω， L ₁ =19.49mH， C ₁ =550μF。仿真控制的步长和时长分别为0.1ms和100ms。注意，图示电路没有参考地，因此需要顺序单击菜单Element→Other→Probes→Voltage Probe（node-to-node）选择双端电压表测量元件的端电压。

图1.7显示了电感L1、电容C1的电压和电流的稳态响应，它们是与激励电压Vs频率相同的正弦信号。电阻R1和R2的端电压信号分别与各自支路的电流信号具有同相位。显然，Ui和Uc的稳态信号与U1具有相同的频率50Hz，它们的有效值约为105V、幅值是其有效值的1.414倍、峰峰值是其幅值的2倍、平均值为0。而且，这些信号的稳态分量与U1存在相位差，Ui超前于U1，Uc滞后于U1。在图1.6中，假设L1和C1的初始状态为零，那么可写出图示两个支路的传递函数。

式中， τ ₁ = L ₁ / R ₁ ， τ ₂ = R ₂ C ₁ ，单位为s， τ ₁ 和 τ ₂ 分别称为这两个电路支路的时间常数。

根据线性电路频率特性的定义，由式（1.2）和式（1.3）分别求出Ui、Uc与U1之间的相位关系。

式中， φ ₁ 和 φ ₂ 分别表示Ui、Uc与U1之间的相位差（rad）。

由图示电路的电感值、电容值和电阻值计算电路的时间常数 τ ₁ 和 τ ₂ ，与频率值一起分别代入式（1.4），计算的变量相位差分别约为 φ ₁ =61°和 φ ₂ =-62°。由电感或电容的特性，可知这两个电路支路的电流与U1的相位差分别约为-29°和28°。结果表明：感性支路的电流比U1的相位滞后29°，容性支路的电流比U1的相位超前28°。

对于三相对称的电压源，可通过顺序单击菜单Element→Sources→Voltage→3ph-Sine选择。设置的参数包括线电压有效值、频率和A相初始相位，电源和负载的中心点应该接地。三相对称电流源可通过选择Element→Sources→Current→Sine实现三个单相电流源的星形联结，它们的相位差设置为120°，且这三个电流源的中心点接地。

1.1.4 矩形波

在电力电子电路中，矩形波常用来表示功率半导体开关的控制信号。图1.8显示了分别受控于矩形波脉冲发生器的三个双向开关，控制负载电阻电流。其中，三个矩形波信号发生器VSQ1、VSQ2和VSQ3，可通过顺序单击菜单Element→Sources→Voltage→Square实现。在矩形波信号发生器与双向开关SS1、SS2、SS3之间各自设置了一个开关控制器ON1、ON2和ON3，这三个开关控制器是开关控制信号与开关控制端的信号隔离器，在模型电路上表示弱电控制信号与强电开关之间的电气隔离。开关控制器通过顺序单击菜单Element→Other→Switch Controller→On-Off Controller选择。

在图1.8中，VDC1=336V，R1=R2=R3=3.36Ω，开关控制器无须参数设置。VSQ1、VSQ2和VSQ3的参数包括峰峰值Vpeak-peak、频率Frequency、占空比Duty Cycle、直流偏置DC Offset、起始时间Tstart和相位延迟Phase Delay。

●占空比：一个矩形波逻辑信号的高电平时间与信号周期之比；常用符号 δ 表示，0≤ δ ≤100%，Duty Cycle=0.5。

●相位延迟：将信号的一个周期与正弦波的360°对应；如果Phase Delay=90°，相当于信号的相位滞后90°，也就是延后了1/4周期；如果Phase Delay=180°，相当于信号的相位滞后180°，也就是延后了1/2周期；VSQ1、VSQ2和VSQ3的相位延迟分别设置为0°、90°和180°。

图1.9显示了负载电阻R1、R2和R3的电压曲线。三个电阻电压的幅值和周期相同，分别为336V和0.2s，占空比均为50%。然而，这三个电压信号的相位不同，Ur2和Ur3分别比Ur1在相位上滞后了90°和180°。Ur1、Ur2和Ur3对应的矩形波曲线分别被称为左边沿、中心对称和右边沿矩形波。

如果一个频率恒定的矩形波信号的峰峰值为 Y _p-p ，占空比为 δ ，那么该矩形波信号的平均值 Y _ave 为

其有效值 Y _rms 为

这样，图1.9所示的三个电压矩形波的平均值和有效值分别为118V和238V，它们与信号的频率或周期没有数值关系。

1.1.5 三角波

在产生脉冲宽度调制PWM（pulse width modulation）波时，常用的载波有等腰三角波和三角锯齿波。图1.10显示了利用三角电压波产生矩形波信号的PSIM模型，R1=R2=10kΩ，CTOP1和CTOP2为控制信号与功率电路的转换接口，恒压源VDC1和VDC2的幅值分别设置为0.6V和0.8V。

●比较器COMP1、COMP2：通过单击菜单Element→Control→Comparator选择。

●等腰三角波VTRI1：通过单击菜单Element→Sources→Voltage→Triangular选择，所需设置的参数包括峰峰值Vpeak-peak、频率Frequency、占空比Duty Cycle、直流偏置DC Offset、起始时间Tstart和相位延迟Phase Delay，它们与矩形波的参数设置方法类似。其中，Vpeak-peak=2，Frequency=10，Duty Cycle=0.5，DC Offset=-1，Tstart=0，Phase Delay=0。

●锯齿波VSAW1：通过顺序单击菜单Element→Sources→Voltage→Sawtooth选择，它的设置参数仅包括幅值Vpeak和频率Frequency。其中，Vpeak=1，Frequency=10。

仿真控制的步长和时长分别为100μs和0.5s，图1.11和图1.12分别显示了图1.10所示的等腰三角波和锯齿波PSIM模型的运行曲线。

图1.11显示了等效三角波Ut1与恒压源Ud1比较，产生了作用于电阻R1的中心对称矩形电压波Ur1。图1.12显示了锯齿波Ut2与恒压源Ud2比较，产生了作用于电阻R2的右边沿矩形电压波。这两个矩形电压波的幅值为1V，周期为0.1s。如果改变恒压源的电压值，那么这两个矩形电压波的时间宽度将发生变化。换而言之，利用三角波与常值比较，改变三角波的频率，就能够改变矩形波的周期。而改变诸如电压源的电压值等常量数值，就能够改变矩形波的脉冲宽度，调节占空比。

如果等腰三角波和锯齿波有相同的周期、最小值和最大值，那么这两个三角波信号也有相同的平均值，即为

它们的有效值为

1.1.6 谐波

由于功率半导体器件的高速导通与截止，电力电子电路能产生非正弦波电流或电压，这种畸变信号能够发生周期性变化。采用傅里叶（Fourier）分析方法，在数学上任何重复的波形都可以用傅里叶级数来表达。

如果一个周期 T ＞0的非正弦信号以函数 y （ x ）表示，则它的傅里叶级数为

式中， ω =2π f ， 。

式中， A ₀ 为非正弦函数的平均值，表示非正弦波形的直流成分。具有频率为 ω 的成分 A ₁ sin（ ωx + φ ₁ ）称为非正弦波形的基波。具有频率为基波频率整数（＞1）倍的成分称为非正弦波形的谐波，比如2次谐波、3次谐波、4次谐波、5次谐波、6次谐波、7次谐波等。

如果周期函数 y （ x ）满足狄利克雷（Dirichlet）充分条件，那么它的傅里叶级数收敛，也就是函数 y （ x ）在（-∞，+∞）上等价于傅里叶级数展开形式。这样，该函数的有效值 Y _rms 为

函数的谐波总有效值 Y _hrms 为

采用总畸变率THD（total harmonic distortion）来表征非正弦函数的谐波含量，THD定义为谐波的有效值与基波的有效值的百分比。

图1.13显示了一个生成三角波电路的简单PSIM模型，它包括一个幅值10A、频率50Hz的方波电流源ISQU1，电阻 R ₁ =1Ω和电容 C ₁ =3300μF。C1的初始电压为-15V。仿真控制的步长和时长分别为10μs和0.1s，模型运行结果有电阻电流和电容电压曲线，如图1.14所示。电容的端电压是对方波电流的积分，产生了一个50Hz的等腰三角电压波形。在Simview界面中，选择菜单Analysis→THD，在弹出的THD框中设置Fundamental Frequency=50。这样，计算图1.14所示的方波和三角波的THD值，它们分别等于48.34%和12.25%。等腰三角波比方波更接近于相同频率的正弦波，因此三角波的THD小得多。如遇到THD计算的点数不够的错误信息时，应减小仿真步长；比如步长0.1μs不满足波形的THD计算，将其扩展为0.01μs即可。

当一个周期函数 y （ x ）的傅里叶级数收敛时，运用欧拉（Euler）公式代入其傅里叶级数展开式（1.9），能够得到傅里叶级数的复数形式。

运用式（1.15）求解 ω 的微元形式，当 T →∞时，可以得到傅里叶变换及其逆变换。

在一个周期内， y （ x ）包含基波、2次谐波、3次谐波…… N 次谐波，式（1.16）和式（1.17）可写成离散傅里叶变换DFT（discrete Fourier transform）及其逆变换。

在DFT运算中，包含大量的可重复的乘法运算。为了开发适合计算机的低运算量的DFT算法，1965年Cooley和Tukey运用式（1.20）的周期性和对称性，提出了快速傅里叶变换算法FFT（fast Fourier transform）。FFT是最经典的数字信号处理算法之一，在信息传输、频谱分析、图像处理和数据压缩等领域广泛应用，被集成在各种数学软件中。

在PSIM软件的Simview界面中，顺序单击菜单Analysis→Perform FFT，能够显示时域曲线的频谱。针对图1.14所示的50Hz方波电流和等腰三角波电压的时域信号，使用FFT运算生成在Simview界面中显示的频谱曲线，如图1.15所示。方波和三角波有相同的基波和谐波频率，两个基波的幅值分别约为13A和12V。但是，图示的三角波比方波的谐波幅值小得多，这也能说明三角波比方波有更小的THD。另外，PSIM软件也集成了FFT的控制功能函数，可选择Element→Control→Other Function Blocks→FFT实现。该FFT模块的输入为时域信号，设置的参数包括信号的采样点数（no.of samples）和基波频率（fundamental freq.），输出为基波的幅值和相位。