3.2　运动平台的合成孔径雷达的横向分辨率

3.2.1　运动平台合成孔径雷达的横向分辨原理和简单分析

为使读者能对合成阵列的特性以及它和实际阵列的关系有比较清晰的概念，在3.1节，介绍的是用一个阵元自发自收方式工作，该阵元将逐步移动到各个指定的位置上，并分别获取场景的回波数据，然后进行合成处理的全过程。只要发射信号载频十分稳定，且场景目标固定不动，则与在各阵元位置处什么时候测量，以及用什么顺序测量都没有关系。

实际合成孔径雷达通常装置在运动的载体（如飞机）上，载体平稳地以速度 V 直线飞行，雷达的脉冲重复周期为 T r ，于是在飞行过程中在空间形成了间隔为 d （= V T r ）的均匀直线阵列，而雷达依次接收的序列数据即相应顺序阵元的信号。因此可用二维时间信号——快时间信号和慢时间信号分别表示雷达接收的回波信号和雷达天线（即合成阵列的阵元）相位中心所处的位置（慢时间）等效采集的信号。用时序信号进行分析处理更适合雷达技术人员的习惯。本节用时域信号分析、处理的概念和方法来讨论合成孔径技术。为简单起见，暂假设载体以理想的匀速直线飞行，且不考虑载体高度，即在场景平面形成的阵列为均匀线阵。

严格地说，3.1节的逐次移位形成合成阵列和载机运动形成的阵列还是有区别的，前者为“一步一停”地工作，而后者为连续工作，即在发射脉冲到接收回波期间，阵元也在不断运动着。不过这一影响是很小的，快时间对应于电磁波速度（即光速），而慢时间对应于载体速度，两者相差很远，在以快时间计的时间里载机移动很小，由此引起的合成阵列上的相位分布的变化可以忽略。为此，仍可采用“一步一停”的方式，用快、慢时间分析。

前面曾提到，用长的合成阵列只能提高横向分辨率，实际的合成孔径雷达为同时获得高的纵向分辨率，总是采用宽频带信号，通常为线性调频（LFM）脉冲。前面也指出，宽频带工作条件下，阵列上的包络延迟必须考虑，这使分析复杂化。下面主要讨论合成阵列的横向分辨，为简化分析，仍假设发射信号为单频连续波。

如图3.9（a）所示，设载体在 X - Y 平面内沿 X 轴飞行（暂不考虑载机高度，而在二维平面里讨论飞行平台的合成阵列），目标为沿与 X 轴平行且垂直距离为 R s 直线上分布的一系列点目标 σ 1 , σ 2 ,⋯， σ N ，点目标在 X 方向的坐标为 X 1 , X 2 ,⋯, X N 。之所以采用这一简单目标模型，是由于单频连续波信号不能提供纵向距离信息，没有纵向分辨率；且合成阵列做聚焦处理，必须知道目标到阵列的垂直距离。

若雷达载体在飞行过程中一直发射单频连续波信号，点目标回波也是连续波，只是其相位会因距离随慢时间变化而受到调制。实际雷达总是周期地发射脉冲信号，其回波可视为对上述连续回波以周期 T r 采样。由于单频连续波没有纵向分辨率，如上所述，回波的相位调制在快时间域的变化可忽略（因为在一个周期长的快时间区间里目标到雷达的距离变化可忽略）。上面还提到连续飞行与“一步一停”方式基本等效，所以慢时间采样可取 t m = m T r （ m 为整数）。

如图3.9（a）所示，由于载体上的雷达的波束有一定宽度（设为 θ BW ），它在点目标连线上覆盖的长度为 L = R s θ BW 。在载机飞行过程中，波束依次扫过各个点目标，得到慢时间宽度各为 L / V 的一系列回波，其中 V 为载机速度。

在图3.9（a）中画出了 t m 时刻从雷达天线相位中心（ x = V t m ）到第 n 个点目标的斜距 R n （ t m ），即

若发射的单频连续波为 ，则在 t m 时刻该点目标回波为 ，通过相干检波，得到基频回波为

实际上回波的振幅还会受到天线波束方向图的调制，由于对分析不重要，这里略去；而回波相位的变化是重要的，若以雷达最接近点目标时为基准，则其相位历程为

将式（3.17）对慢时间取导数，得到回波的多普勒频率为

考虑到 R s ≫（ X n − V t m ），式（3.18）又可近似写成

式（3.19）中， f d 与 t m 呈线性关系，即在慢时间域里，回波是线性调频的，且在 t m = X n / V 时（即雷达最接近点目标时）， f d =0。

关于目标回波的多普勒频率，雷达技术人员是很熟悉的，从图3.9（a）可知，当雷达对第 n 个点目标的斜视角为 θ n 时，回波的多普勒频率

为非线性调频，若 θ n 较小，采用sin θ n ≈tan θ n 的近似，式（3.20）可写成

上两式的结果与式（3.18）和式（3.19）相同。

式（3.21）表明，当雷达的横向位置 x （ x = V t m ）小于点目标的 X n 时， θ n 为正，其多普勒频率也为正；而当 x （ x = V t m ）大于 X n 时， θ n 为负，其多普勒频率也为负。即面向目标飞行，多普勒频率为正；而背向目标飞行，多普勒频率为负。只有当 x = X n 时，点目标 σ n 相对于雷达的径向速度分量为0，这时的多普勒频率也为0。

从式（3.21）还可得到回波的多普勒调频率 γ m 为

从式（3.22）可得回波的多普勒带宽Δ f d 为

式（3.23）中， L / R s ≈ θ BW = λ / D ，其中 θ BW 和 D 分别为阵元的波束宽度和天线横向孔径长度，式（3.23）又可写成

根据多普勒带宽，可以计算得到脉压（即匹配滤波）后的时宽

将该时宽乘以载机速度 V ，即点目标的横向分辨率 ρ a ，即

式（3.26）表明，合成阵列若充分利用其阵列长度（受阵元波束宽度限制），所能得到的横向分辨率为 D /2，而与目标距离远近无关。

还可从另一个角度来表示合成阵列的横向分辨率，从式（3.23）的 L / R s ≈ θ BW ，可将 ρ a 写成

式（3.27）中的第二等式在本书第1章里曾经出现过［参见式（1.6）］，即目标的横向分辨率决定于合成阵列对它的观测视角的变化范围，在波长一定的条件下，必须有足够大的视角变化范围，才能得到所需的横向分辨率。条带式合成孔径雷达，是依靠减小实际雷达（即阵元）的天线横向孔径，从而加大波束宽度，以提高视角范围。当然也可用其他方法来加大视角范围，如聚束式合成孔径雷达就是调控波束指向，使波束较长时间地覆盖目标，靠载机运动，以加大视角范围来提高横向分辨率。

这里可能产生一个问题，为提高横向分辨率，机载雷达应采用小的横向孔径长度 D ，是否可尽量减小 D 而使 ρ a 无限减小呢？

这是不可能的。在上面的分析中，从式（3.24）出发采用了机载雷达天线波束较窄时的近似；天线进一步缩小，波束随之加宽，但这是有限制的，极端地说 θ BW =π，相当于无方向性天线，则式（3.24）中的近似不能应用，这时Δ f d =4 V / λ 。考虑到 ρ a = V Δ T dm = V /Δ f d ，这种极限情况下的 ρ a 为

3.2.2　运动平台合成孔径雷达回波的多普勒特性

在3.2.1节，已经用单频连续波的发射信号，对运动平台合成孔径雷达的横向分辨进行了分析，在分析回波的波前时采用了Fresnel近似，在SAR发展的早期均采用这一假设，而且适用于各种实际情况。在这一近似条件下，点目标回波序列在慢时间域为线性调频信号，这是雷达常见的信号形式，雷达技术人员可以得心应手地对它进行分析和处理。

随着SAR技术的发展，对分辨率提出越来越高的要求，也就是要求更长的合成阵列长度。同时，对SAR工作的波段也有新的要求，它不仅工作在微波、毫米波波段，有时也要工作在UHF和VHF波段，其波长为米级，这就使所需的阵列更长，即阵列长度远小于目标距离的假设不总是成立的。这时，回波的波前为球面相位调制，不能用抛物线近似，Fresnel近似不再成立。

为此，有必要在3.2.1节的基础上，更严格地对运动平台合成孔径雷达的横向分辨原理做进一步的分析。

另外，在3.2.1节的分析里，曾用图3.9（b）说明了位于与垂直距离 R s 相同直线上的多个点目标的回波，在载机飞行过程中，在慢时间域有相同形状的波形，只是波形所处的时刻不同，即这类信号在慢时间域具有平移不变特性，将它们变换到频域（此处为方位频域，有时简称多普勒域），则除了不同的线性相位因子外（表示时延不同）它们的多普勒谱完全相同，即横向位置不同，并不改变相位谱的非线性结构。

应当指出，垂直距离 R s 不同，图3.9（b）中相位曲线弯曲或多普勒调频率是不相同的，这里用的是单频连续波，得不到径向距离的信息，后面将会讨论到，当采用宽频带发射信号时，可以将不同垂直距离 R 的目标区分开来，由此在多普勒域进行分析要方便得多。因此，有必要对慢时间回波的频域特性进行较详细的讨论。在讨论中还是采用单频连续波发射信号，只是对回波的相位调制不采用Fresnel近似。

为此，可以回到式（3.15），对该式中的 R n （ t m ）不用Fresnel近似式直接进行分析。

将式（3.16）的慢时间域信号变换到多普勒域，得

式（3.29）中，积分项 T n 表示雷达照射点目标 σ n 的全过程。

由于载机与点目标 σ n 最接近的时刻 t m n = X n / V ，而雷达天线波束在目标处的覆盖长度近似为 R θ BW ，故 。

求解式（3.29）的积分通常用驻相点法，其条件是被积函数的幅度为常数或缓变函数，而相位变化要快得多，且变化率是改变的。也就是说被积函数为包络缓变（或为常数）的调频信号，调制的频率有快有慢，而在某一点（或某些点）频率为0。可以想象，当其频率不为0时，在积分过程中由于幅度不变（或基本不变），其相继的正负部分在积分过程中相互抵消，只有频率为0点的附近才对积分有贡献，而被积函数瞬时频率为0的时刻称为驻相点。

其实上述驻相点法积分的概念已经在3.1.3节讨论过。那里是用远场波束形成方法，对近场目标回波进行处理，实际上就是用的式（3.29）（自变数为沿阵列的位移 x = V t m ），只是讨论了目标点位于阵列正前方的情况，相当于式（3.29）中的 f d =0。那里已说明对阵列总的输出信号有贡献的只是阵列中的一小段阵列，也就是“驻相点”所在的那一段。式（3.29）不只是对 f d =0，而是对各种 f d 的值进行分析。这相当于3.1.3节里，目标有一定斜视角的情况，其结论相同，只是阵列中有贡献的一小段的位置是随 f d 而变化的。

先举一个通用例子来说明如何用驻相点法解相应的积分，设

式（3.30）中， s （ t ）为 t 的缓变的函数，而 φ （ t ）在积分区间里的变化使 变化很多周。求式（3.30）的驻相点 t ^∗ ，即

从求得的驻相点 t ^∗ ，可解得式（3.30）的积分为

式（3.32）中， φ ^″ （ t ^∗ ）为 φ （ t ）在 t ^∗ 处的二阶导数，其倒数表示驻相点处频率为0处的宽度，宽度越宽，则积分值越大。

现在再回到式（3.29），该式对不同的 f d ，其驻相点 的位置也不同。为此，在各种 f d 的条件下求解下式

即

将式（3.33）的 t ^* 代回到式（3.29），得

式（3.34）中， 为最高多普勒频率（机首方向）。

式（3.34）是对第 n 个目标求得的回波多普勒谱，可以看出，除后一线性相位的指数 外，它与第 n 个目标的位置（ X n ）无关，因而该多普勒谱也适用于其他目标（例如第 l 个目标），只要将式中的 X n 换成 X l ，而线性相位指数项正能反映出目标的横向位置。由此可以写出载机整个飞行过程中所有回波的多普勒谱（式中的幅度部分对下面的分析作用不大，均加以省略）。

式（3.35）中， 没有标明对哪一些目标求和，它应包括波束扫过的所有目标。

式（3.35）的多普勒谱表示式是比较严格的，为球面相位调制函数。如果雷达的波束较窄，则 ，可采用近似式 考虑到 f dM =2 V / λ ，式（3.35）可以写成近似式

式（3.36）中的3个相位指数项中，第三项与式（3.35）相同，表示目标的横向位置；第一项是与垂直距离 R s 有关的常数项；第二项表示相位与 成正比，是抛物线形的二次相位，这是采用了Fresnel近似的结果。

其实，从时域信号通过傅里叶变换，并利用信号为缓变调频波，用驻相点法求得的式（3.34）［及其近似式（3.36）］多普勒谱可以用瞬时多普勒频率的概念直接推导得到。

如图3.10所示，仍以第 n 个点目标 σ n 为例，当雷达横坐标为 x （ x = V t m ）时，设点目标 σ n 回波的瞬时多普勒频率为 f d ，则 ， θ 为该图中所示的斜视角。以图中的原点 O 为基准，从图3.10的几何关系，可得多普勒频率为 f d 时，点目标回波相位为

考虑到式（3.37）中的 （因为 ），而且 ，则式（3.37）可写成

其结果与式（3.34）的相位完全相同。

从式（3.37）的推导过程可知，在雷达波长 λ 和载机速度 V 一定的条件下，目标回波的瞬时多普勒频率 f d 取决于雷达对目标的斜视角 θ 。在载机飞行过程中，对某目标的斜视角随慢时间改变，从而得到多普勒频率与回波相位的关系。

应当指出，回波信号的多普勒谱是从慢时间域信号通过傅里叶积分变换得到的，只有录取了时域信号的全过程，才能得到它的多普勒谱。只是由于现在的雷达回波为缓变的调频波，瞬时多普勒频率有明确的含义，所以可利用瞬时多普勒频率与斜视角的关系推导出相位谱公式。实际上，从一次或少数几次回波是不可能得到它的相位谱的。

众所周知，载机飞行过程中得到的时序信号，相当于合成阵列单元在各个位置时的输出，对这一组信号做傅里叶变换相当于在远场条件下对不同的斜视角做数字波束形成。前面讨论长阵列处理时曾指出，当目标位于近场而仍用远场方法进行处理时，对一定指向的波束，起作用的只是其中的一小段，其他部分对合成输出基本没有贡献 ^[2] 。所以用多普勒波束锐化的数字波束形成的方法，用不长的合成阵列可以得到“瞬时”的多普勒谱。当然，这时得到的只是目标回波多普勒谱的一小段 ^[3] ，横向分辨率是很差的。如果将总的时序信号逐段处理，同一目标在各段有不同的斜视角，即回波多普勒谱有不同的数值，从而将各段拼接可获得宽的多普勒谱，再将它们作“聚焦”处理（即下面介绍的匹配滤波），可以获得高的横向分辨率。

上面讨论的是单个点目标 σ n 的情况，如果在图3.9所示的场景中心线上，在不同横坐标处分布有多个点目标，则这时所有回波的多普勒谱为各个目标多普勒谱的线性和，如式（3.35）所示。前面已经提到过，当目标的 R s 相同时，其非线性相位谱分量是相同的，只有线性相位项与目标的横坐标成正比。

比较众多目标回波的时域信号 s （ t m ）和它的多普勒谱 S （ f d ）可知，同一慢时间时刻 t m 的回波来自波束覆盖区域的所有目标，而同一多普勒频率 f d 的回波来自同样的斜视角 ，其观测时刻是不同的。至于各回波的观测时刻则以线性相位表现在多普勒谱的线性相位项中。

载机飞行过程中，雷达的波束依次扫过各个目标，以瞬时多普勒频率作为自变量，由于雷达到目标的斜视角不断变化，瞬时多普勒频率也随之改变，于是可得到每一回波的多普勒谱。如果各目标均位于同航线平行的线上（即 R s 相同），则各个回波多普勒谱的非线性相位项 也相同，至于目标的横向位置则表现在它的线性相位项 。由此可见，只要雷达波束有一定的张角，由雷达至目标斜视角变化而产生的多普勒谱足够宽，则可获得高的横向分辨率，而且它的线性相位还可确定各个目标的横向位置。

3.2.3　运动平台合成孔径雷达回波的匹配滤波

在式（3.35）的多普勒谱表示式中有两个相位指数项，第二个指数项为点目标的平移项，它表示各点目标的横向位置；第一个指数项是共同项，为球面相位调制，应在匹配滤波中做匹配处理，匹配滤波特性应与该指数项成共轭关系，即

式（3.35）的总回波通过匹配滤波后，其输出多普勒谱为

式（3.40）中， 为雷达与第 n 个目标最接近时的慢时间值。

式（3.40）有一定的近似，主要在于它的幅度谱，在分析式（3.35）的多普勒谱时，实际上忽略了它的幅度变化部分，同时也没有考虑波束方向图对回波幅度调制的影响，相当于将波束方向图看成是矩形的，在波束宽度内增益为1，而在波束宽度外增益为0，从而得到式（3.40）的矩形多普勒谱。

在上述近似条件下，将式（3.40）的输出信号通过逆傅里叶变换从多普勒域变换回慢时间域，得横向压缩后的信号为

式（3.41）中， 为信号的多普勒谱宽。信号波形如图3.9（b）中最下面的一串脉冲。

顺便提一下，为了简化对横向分辨率的分析，上面是在单频连续波发射的基础上进行的，实际雷达总是采用宽频带的周期脉冲信号，不断获取载机行进中的距离信息，由此带来的一系列问题将在第5章里讨论。这里需要提出的是由于回波具有一定多普勒谱宽度，为了避免出现多普勒模糊，脉冲重复频率应大于回波的多普勒谱宽 。上面也已提出， 是以波束宽度为准的矩形波束宽度，实际波束方向图是缓变的，在波束宽度外不可能立即下降到零，所以实际的重复频率应为Δ f d 的1.5～2倍。 Ldvq8aHfqaKbOIeKo1O4fHt0cQH8rxEYjd+OL0bv4Wz8gzQR1DdBXJPDT/6KcpJF