2.4　一维距离像回波的相干积累 ^[6]

宽带信号的高距离分辨率在应用中也会带来一些不便，主要是脉冲间目标回波的距离徙动容易使像的距离单元错开，难以实现一串回波的相干积累，同时也难以实现动目标回波与固定杂波的分离；而这些性能对一般雷达是不可或缺的。

其实，高分辨距离像的上述越距离单元徙动，在一定条件下可以用新的算法加以补救。先以点目标为例，当有多个不同距离、不同速度的点目标时，其总的基频回波可写成

式（2.31）中， t m 和 分别为慢时间和快时间， t m = m T r ， ， T r 为脉冲重复周期（或脉冲重复间隔）； A i 和 R i （ t m ）分别为第 i 个点目标回波的幅度和 t m 时刻的距离； p （⋅）为归一化的回波包络； f c 为载波频率（简称载频）。

将 从快时间域变换到基带频率（ f ）域，此处还可称为距离频率域，得

式（2.32）中， P （ f ）为 的傅里叶变换。如前面所述的匹配滤波处理，在距离频域乘以 P ^* （ f ），对发射信号频率分量进行相位补偿，则 化为

如果各点目标在 t m 时刻里近似以恒速飞行，即 ， v i 为各点目标的径向速度，则式（2.33）可写成

式（2.34）中， ，式（2.34）第一个等式中的第一个指数项表示目标在0时刻的位置，第二个指数表示包络平移，而第三个指数则为多普勒效应引起的载波相位变化，即多普勒频率 。

将式（2.34）中第一等式的后两个指数项合并，得到第二等式的第二个指数项，即从频域看，也可看作对不同频率分量具有不同的多普勒频率，即 。

上述现象对宽带和窄带信号都是存在的，但影响程度有质的差别。若信号频带为Δ f ，则信号的基频| f |≤Δ f /2，雷达的距离单元长度近似为 c /（2Δ f ）。因此，当目标在 t m 时刻的一定时间间隔Δ t m 内移动的距离 v i Δ t m 远小于 c /（2Δ f ）时，则式（2.34）里的 。从而用 f dc i 补偿后可以得到相干积累，这是窄带雷达常用的多普勒滤波器组算法（用FFT实现）。

宽带信号通常不满足上述条件，因此在频域里，多普勒频率是 f c + f 的函数。将式（2.34）中相位随波形平移有关的部分，以等相位线的形式画在 f - t m 平面里［见图2.9（a）］，正是由于多普勒随 f c + f 变化，不同频率分量具有不同的多普勒频率，因而它们随时间的相位变化也不同。以 t m =0 时刻为准，垂直于 f - t m 平面，画各频率分量的 φ − t m 关系，为作图方便，在图2.9中将其画在 f - t m 平面里，实际上的相位变化线只在 t m =0 时与平面相交，其余部分应离开纸面旋转90°。可见相位线的斜率随多普勒频率变化，从而回波频谱有线性相位，即包络会有平移。

为了消除波形的平移，可以定义一个虚拟时间 τ m ， τ m 与 t m 有下列关系，即

式（2.35）的意义是：当 f =0 时， τ m 与 t m 相同；当 f >0 时， τ m 大于 t m ，且与 f 成线性关系，即将由原来因 f 不同而增加的相位变化，视之为用加大时间间隔（ τ m ）得到的。 f <0 时的情况也类似，只是 τ m 是减小的。于是在 f - τ m 的平面里，如图2.9（b）所示，一个点目标的等相位线将是平行的。即以 τ m 为新的时间来度量，则逐次回波不会在频谱里出现线性相位因子，即波形不再有平移。

将式（2.35）的关系代入式（2.34）的第二等式，得到以虚拟时间 τ m 表示的信号快时间的频谱为

式（2.36）中， 为与载频 f c 相对应的各目标的多普勒频率。

从式（2.36）可见，它的第二等式中的第二个指数项不再与 f 有关，它只是表示相位沿 τ m 按多普勒频率 f dc i 变化，而与 f 有关的第一个指数项只是表示目标在 t m =0 时离雷达的距离（ R i 0 ）。因此，式（2.36）频谱对应的各个点目标的回波信号的包络“凝结”在 t m =0 时的距离，而相位则按各自的多普勒频率变化。

式（2.36）的时间频率 f 和慢虚拟时间 τ m 都是以连续变量表示的，数字处理首先要把它变换成离散变量。

在（ f - t m ）平面，信号采样点用图2.9（a）中的“。”表示，它是以矩形格式采样的，在（ f - τ m ）平面，原来的信号采样点将变成梯形格式［或称楔石（keystone）形格式］，在图2.9（b）中用“。”表示。为了能采用FFT快速处理，需要将 f - τ m 平面的采样点插值成为矩形格式，如图2.9（b）“·”所示。

直接用插值方法从楔石形格式的数据得到所需的矩形格式，虽然只是一维变换，但运算量还是很大的。为了便于工程实际应用，必须探索运算量较少的方法。

从式（2.35）和图2.9（b）可知，对于均匀的 t m 采样，虽然 f ≠0 时 τ m 的采样间隔会有所伸缩，但对一定的 f ， τ m 仍为等间隔采样，只是间隔的尺度有所变化，即乘以尺度因子 。所以，从楔形格式数据变换成矩形格式实质上是一种变尺度变换，而习惯上常称它为楔形变换。

下面介绍一种变尺度变换方法。在快时间 和慢时间 t m 的离散采样顺序分别以 n 和 m 表示，设采样点的总数目分别为 N 和 M 。两个时间对应的频率分别为距离频率（ f ）和方位多普勒频率（ f d ）分别用 l 和 k 表示，而两者采样的总数目分别为 L 和 K ，且有 N = L ， M = K 。这里研究的是不同距离频率 f 时慢时间 t m 的变尺度变换，主要对象是 S （ f , t m ）离散化，取 f = l Δ f / L （Δ f 为信号带宽）和 t m = m T ；同时令 ， ，则可写出式（2.34）的离散形式为

将虚拟慢时间 τ m 离散采样的顺序以 m ^′ 表示，设其采样点的总数也为 M ；与 τ m 相对应的虚拟离散多普勒域采样点的顺序以 k ^′ 表示，其总数为 K ^′ （= K = M ）。应当指出的是 m ^′ 和 m ，以及 和 k 虽然同样以整数值表示，但它们的尺度是不同的，且在不同的 l （即不同的 f ）有不同的尺度关系。

为了从 S （ l , m ）得到 S （ l , m ^′ ），即完成楔形变换，可以先通过傅里叶变换将 S （ l , m ）变换到 S （ l , k ^′ ）（ k ^′ 与 m ^′ 相对应的离散多普勒域），然后再通过逆傅里叶变换，变换到 S （ l , m ^′ ）。应当指出的是前一个变换的时、频域之间具有不同的尺度，傅里叶变换不能用FFT，只能用离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transformation，DFT）对各个 k ^′ 的值逐个计算；而后一个傅里叶变换则可采用FFT，其变换过程如下

式（2.38）中，设 M 为偶数。

应当指出，从 S （ l , m ）到 S （ l , k ^′ ）的变换只能采用DFT，其运算量仍然比较大，因为在 l 为各种数值时都要对 k ^′ 逐个计算。变尺度变换还可设法进一步减少运算量。

在推导式（2.38）的过程中已经指出，由于将信号从 m 维（即慢时间 t m 维）变换到 k ^′ 维（即相当于虚拟慢时间 τ m 的多普勒域），由于存在尺度上的不同，只能采用DFT进行运算，由此大大增加了运算量。实际由 m 维的慢时间域变换到 k 维的多普勒域，离散频谱的 K 个采样点等间隔（=2π/ K , K = M ）地分布在频率复平面的单位圆上。当要将 m 维的离散信号变换到对应于虚拟慢时间 τ m 域的 k ^′ 维时，由于尺度不同，若仍以原来的频率复平面表示频谱采样点的位置时， k ^′ （= K = M ）个采样点仍在单位圆上等间隔分布，只是间隔变为 。当 l 为负时，间隔比原来的小。不再是在整个圆周上均匀分布，因而FFT的算法不能应用。

由于FFT算法具有高效性，对于并非在频率复平面的整个圆上，而是为任意一组等间隔采样的情况，有人提出将DFT表示成卷积形式，进而采用多次FFT的算法，称为线频调变换算法，其运算量比直接用DFT小得多。这些内容可以从一般的数字信号处理的书籍和论文中查到 ^[7-8] ，具体算法这里不再介绍。

应当指出，以上的楔形变换算法对不同速度的多个散射点同时存在时仍然适用，将不同频率分量的时间变尺度后，可视为将各点的位置“凝结”在 t m =0时刻，回波相位仍按各自的多普勒频率变化，因此，它适用于多散射点的复杂目标。但是，以上算法是针对恒速目标，如果目标有加速度、加加速度等，当 t m 较大时，它对相位变化的影响还必须考虑。此外，在上述的讨论中，假设回波的不存在多普勒模糊，当发生多普勒模糊时，若得知模糊次数，上述算法只要做小的修正即可。 fY9bh7J4nHYvFgDFQ2dfdAqSonyCd7stIpwWcwWqh627yT3UJ5Yt4tEODSzUXIOo