Chapter 02
第2章
各向异性复合材料的本构理论（三维一次结构）

本章理论内容包含一般各向异性材料、单对称材料、正交各向异性材料、横观各向同性材料、各向同性材料的应力-应变关系。着重分析一般各向异性材料、单对称材料、正交各向异性材料、横观各向同性材料、各向同性材料的应力-应变关系的区别与联系。复合材料结构分析逻辑思路如图2.1所示。轻量化设计在单层板与层合板这两个层次上展开；工程结构的轻量化设计（例如新能源汽车轻量化设计等）在复合材料结构力学的基础上开展。

本章的研究对象是复合材料的三维结构的初始本构关系，也称三维一次结构。如图2.1a所示。

单层板，单层设计，二维一次结构：纤维增强复合材料的基本单元，组分材料、体份比、相几何等决定其特性；如图2.1b所示。

层合板，铺层设计，三维二次结构：单层板组成的层合板，单层板特性、铺层几何（铺层方向、顺序）等决定其特性；如图2.1c所示。

实际工程产品结构，结构设计（轻量化设计），三维三次结构：层合板特性和结构几何等决定其特性，形成利用耦合效应等的产品形状和尺寸；如图2.1d～f所示。

这四个结构设计层次互为前提，互为影响，互为依赖，打破了轻量化材料与结构的设计界限，必须将材料设计与结构设计统一考虑，将材料维度和结构层次统一考虑，将材料尺度与结构特性统一考虑。如图2.1所示。

正交各向异性材料的各向异性特征，层合板厚度方向非均质性导致耦合响应，产品结构的轻量化设计，各向异性、非均质性、轻量化设计的实际特性为工程应用的重中之重；

宏观力学特性：考虑单层板的平均表观力学性能，表观参数，宏观实验参数，实用性和可靠性强，不讨论复合材料组分之间的相互作用；

对单层板来说，由于厚度与其他方向尺寸相比较小，因此一般按平面应力状态进行分析，只考虑单层板面内应力，不考虑面上应力，即认为它们很小，可忽略；在线弹性范围内，进行结构分析、计算与轻量化设计。

三维初始弹性模型，三维一次结构；单层板、单向板，单层设计，二维一次结构：层合板，铺层设计，三维二次结构：实际工程产品结构，结构、功能及轻量化设计，三维三次结构：可在同一工艺流程中制作或形成，这也是复合材料的特性之一，如图2.1所示。

这四个设计层次中正交各向异性、非均质性、耦合响应、产品轻量化设计等实际特性为工程应用的重中之重。也即原材料、单层材料、铺层材料及结构材料产品的轻量化设计。

本章知识点包含各种三维一次材料的弹性本构理论，包含：①一般各向异性材料；②单对称材料；③正交各向异性材料；④横观各向同性材料；⑤各向同性材料的应力-应变关系的介绍。典型三维一次材料的结构模型如图2.2所示。

2.1 各向异性复合材料的本构关系

2.1.1 一般各向异性三维复合材料

对于宏观力学，一般各向异性弹性体与各向同性弹性体的本构关系有本质不同，要复杂得多。例如，木材属多孔性复合材料，大孔隙如细胞腔和纹孔等，小如微纤丝间隙，水分很容易渗透进木材内部使其膨胀，引起尺寸变化，即木材的干缩湿胀性能。木材内部微观结构如图2.3b所示。更重要的是，木材为各向异性材料，各方向上随木材含水率变化而不均匀胀缩，易产生翘曲、变形、开裂等缺陷，如图2.3a所示。木材不稳定是因为它是“活”的，会受环境影响而变化，又因为各部分受到的影响变化反应不一样，因此会引发缺陷。在木制品设计过程中，为使木材变得“听话”，必不可少的是轻量化设计。

纤维缠绕是用于制造空心、圆形或棱柱形零件（如管道和储罐）加工的技术，其是通过专用卷绕机将连续纤维束卷绕到旋转芯轴上实现。纤维缠绕复合材料用于航空航天、车辆和能源等行业。纤维束通过输送系统送到缠绕机，在缠绕机上以预定设计缠绕到芯轴上。纤维与芯轴的相对角度（称为缠绕角度）可以调整，从而在所需方向上提供强度和刚度。当使用足够多的纤维层时，所得到的层压板在芯轴上固化。成品零件的总体尺寸和形状由芯轴形状和层压板厚度决定。缠绕角度将决定复合材料零件的机械物理性能（如强度、刚度和质量等）。复合材料层压板密度是由缠绕过程中纤维张力控制的。通过这些方法制造的复合材料零件具有良好的比强度-比模量特性。缠绕工艺中主要材料体系基体树脂：包括热固性树脂，如环氧树脂、聚酯、乙烯基酯、酚醛树脂；增强纤维：包括碳纤维、玻璃纤维等；纤维缠绕有两种不同形式：湿法和干法缠绕。在湿法缠绕中，纤维从粗纱上松开，并通过树脂浸渍，然后缠绕在规定方向的芯轴上。干法使用预浸渍形式的纤维，当达到设计层厚度时，组件在烘箱中固化。固化后，移除型芯或将其用作成品的一部分。在固化过程中，发生交联，从而形成三维纤维缠绕复合材料，如图2.4所示。

一般各向异性三维复合材料，如图2.5所示，本构关系如下

式中， C _ij = C _ji ，为刚度系数

式中， S _ij = S _ji ，为柔度系数

2.1.2 单对称三维复合材料（弹性对称面）

单对称三维复合材料含有一个弹性对称面，如图2.6所示，若考察与 z 轴有关的剪应力、剪应变，有：

由对称面定义得

故解得：

基于刚度矩阵的本构关系

式中， C _ij = C _ji ，为刚度系数。

基于柔度矩阵的本构关系

式中， S _ij = S _ji ，为柔度系数。

注意：当 x 轴或 y 轴为弹性主轴时，对应不同的 C 刚度系数取0，故表达式不唯一。

2.1.3 正交各向异性三维复合材料（三个弹性对称面）

在单对称基础上，再增加与单对称面正交的一个对称面，同理可证，正交各向异性材料必然存在第三个对称面与这两个弹性对称面正交，即正交各向异性三维复合材料，如图2.7所示。

正交各向异性材料有三个互相正交的弹性对称面，根据本构理论，可得

故：

式中， C _ij = C _ji ，为刚度系数。

柔度矩阵：

式中， S _ij = S _ji ，为柔度系数。

选取不同的两个弹性主轴，得到相同表达式。说明当存在两个弹性正交对称面时，一定有第三个弹性对称面。这里需要说明，正交各向异性材料是复合材料轻量化设计关键材料。

2.1.4 横观各向同性材料（一个各向同性面）

若经过弹性体的每一点都有一个平面，在这个平面内的所有方向弹性特性均相等，则该弹性体称为横观各向同性体，该平面称为各向同性面。在不同坐标系下的横观各向同性三维材料如图2.8所示。

横观各向同性材料含有一个各向同性面，若 YOZ 面为各向同性面。

则：

得：

刚度矩阵：

柔度矩阵：

换一个各向同性的弹性对称面，刚度矩阵为

柔度矩阵：

选取不同的各向同性面， C 的取值也不同，所以表达式不唯一。同理，对 S 也是一样。

2.1.5 各向同性材料本构关系

各向同性材料三维模型如图2.9所示。下面分析各向同性材料的本构关系。

各向同性材料的应力应变关系为

由

得

刚度矩阵：

讨论内容：请考虑这里的 μ 是否代表弹性剪应变？即如果要写成工程剪应变，是否应该把2 μ 改为 μ ？

柔度矩阵

各向同性材料本构关系表达式唯一。

【例2.1】试求某些纤维增强复合材料比强度与比模量，已知这些材料基本性质测定数据为：

解：方法一，比强度计算公式为： ，比模量计算公式为： ，为方便计算，取 g =10m/s ² ，

材料Ⅰ：比强度为

比模量为

同理，材料Ⅱ，比强度为7.63×10 ⁵ m，比模量为9.02×10 ⁶ m

材料Ⅲ，比强度为6.95×10 ⁵ m，比模量为7.63×10 ⁶ m

方法二，比强度为拉伸强度-密度之比；比模量为弹性模量-密度之比。

讨论：以上哪个方法及结果更加准确？请计算与分析。

【例2.2】用应变能密度 ，证明广义胡克定律的刚度系数对称性，即 C _ij = C _ji 。

证明：广义胡克定律， ε= （ ε ₁ ε ₂ … ε ₆ ） ^T ， σ= （ σ ₁ σ ₂ … σ ₆ ） ^T ，有 σ=Cε 或 σ _i =C _ij ε _j i ， j= 1，2，3，…，6；

对于等温条件下的完全弹性体，其体内的应变势能为

式中， w 为应变能密度， 。

把广义胡克定律代入上式得：

即应变能密度是应变分量的二次函数，对两边取偏导数为

又因为对弹性体采用了连续介质假设，故应变能密度 w 是应变分量的 n 次连续可微函数，由数学分析的结论便有

即 C _ij = C _ji

因而一般各向异性有21个独立的材料参数。[（36-6）/2+6=21]。

【例2.3】试证：各向同性体的泊松比的范围为-1＜ v ＜0.5。

证明：

方法1 各向同性弹性体应力应变关系

将上式写成矩阵形式

此式可简记为 ε = D ^-1 σ

由于应变能 且 W 是正定二次型，所以 D 和 D ¹ 都是正定矩阵，其逐级主子式皆大于0。

由 ，

所以2 v -1＜0⇒ v ＜0.5

又由 ，所以-1＜ v ＜0.5，得证。

方法2 对各向同性体，剪切模量为

体积模量为

由于 G 和 E 都为正，由 与 E ＞0，得 ν＞-1 ，同理，由 与 E ＞0，得 ν ＜0.5，各向同性体的泊松比范围为-1 ＜ν＜ 0.5。

【例2.4】求证横观各向同性材料泊松比的限制条件 ，式中， E 、 ν 为各向同性面（102面）的弹性模量和泊松比， ν ₃₁ = ν ₃₂ = ν′ ， E ₃ = E′ 。

解：

方法一 已知应变能密度表达式 ，根据热力学第一定律，应力做功的总和必为正值，因此 C 和 S 是正定矩阵。因此， S 的对角元素须是正值，即 S ₁₁ ， S ₂₂ ， S ₃₃ ， S ₄₄ ， S ₅₅ ， S ₆₆ ＞0，各向异性材料的弹性常数与柔度系数关系为

可得： E ₁ ， E ₂ ， E ₃ ， G ₂₃ ， G ₃₁ ， G ₁₂ ＞0。

因正定矩阵行列式必须为正，得到

由于 E ₁ ， E ₂ ， E ₃ ＞0，只需1 -ν ₁₂ ν ₂₁ -ν ₁₃ ν ₃₁ -ν ₂₃ ν ₃₂ -2 ν ₁₂ ν ₂₃ ν ₃₁ ＞ 0（*）

由横观各向同性性质得：

由 S 的对称性质：

将上述性质代入（*）式，得到： ，设 ，可看出 x ＞0，由不等式 2（ x＞ 0）可知 即 ， ν 的范围为-1＜ ν ＜ 。

方法二：横观各向同性材料的本构关系如下

引入广义的弹性模量 E _i 、泊松比 ν _ij 和剪切模量 G _ij 可得

将式（2.23）代入式（2.22）得到柔度矩阵为

弹性体的应变能 W 可表示为

由于能量是一个恒为正的标量，柔度矩阵 S 为正定矩阵，其顺序主子式应都大于零。

于是可得

由式（2.24）～式（2.27）可确定 ν 的范围为

各种材料刚度系数比较与正轴、偏轴及一般坐标系，如表2.1和图2.10所示。讨论：请分析复合材料三维一次结构向二维一次结构转化的简化几何模型，如图2.11所示，可否成立。