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本节首先推导雷达信号在自由空间传播时的典型雷达方程，以便确定最大作用距离与雷达参数、目标散射特性和环境因素之间的关系，然后再逐步讨论各种实际环境条件对单基地脉冲雷达（简称单基地雷达）作用距离的影响。在分析单基地雷达方程后，再分析双基地雷达方程、外辐射源雷达方程等不同技术体制雷达方程。
经典单基地雷达方程在Blake [1] 、Barton [2] 和Skolnik [3] 等经典的雷达著作中都有详细推导，并对单基地雷达方程的参数选择和应用条件等做了详细分析。为了表示目标位置与雷达之间的空间关系，通常采用的坐标系是以雷达天线为原点的修正球坐标系（ R ， θ ， φ ），如图2.1所示，坐标 R 、 θ 和 φ 分别表示目标离原点的径向距离（斜距）和两个正交角坐标（即方位角和仰角）。在标准的球坐标系中除 R 表示径向距离外， φ 表示余纬， θ 表示经度。余纬范围是0°～180°，而仰角范围是-90°～+90°。经度与方位角范围相同，都是0°～360°，但两者方向相反，方位角按顺时针方向增加，而经度则按逆时针方向增加。对于地面雷达而言，仰角0°相当于水平方向，方位角0°相当于正北方向（绝对方位）或任意参考方向（相对方位）。
图2.1 常用雷达坐标系（假定直角坐标系的 X 轴指向正北）
雷达方程的推导过程通常假定探测目标为点目标，即目标的最大线尺寸小于雷达的分辨单元尺寸（对于天线波束宽度为 β rad、脉冲宽度为 τ 的雷达，其在距离 R 处的分辨单元的横向宽度为 Rβ ，分辨单元的径向长度为 cτ /2，其中 c 为电磁波传播速度）。同时还满足目标位于雷达天线的远场区，即目标到雷达天线的距离大于2 D 2 / λ ，这里的 D 表示天线的孔径尺寸（对于抛物面天线， D 就是天线口径的直径）， λ 表示波长。
设单基地雷达的发射信号功率为 P t ，发射天线增益为 G t ，目标的雷达反射截面积（RCS）为 σ ，雷达天线的有效接收面积为 A r ，雷达天线向自由空间发射信号探测目标，在天线最大增益方向接收距雷达 R 处的目标的回波信号功率为
式（2.1）表明，雷达接收的回波信号功率是3个因子的乘积：第一个因子表示雷达发射信号在目标处的功率密度；第二个因子表示RCS为 σ 的目标散射信号在雷达天线处的散度，前两个因子的乘积就是目标后向散射信号返回雷达天线处的功率密度；第三个因子是接收天线的有效接收面积，它与目标散射信号功率密度的乘积就是雷达接收的回波信号功率。
如果雷达要可靠地检测目标，接收的回波信号功率 P r 必须超过最小可检测信号功率 S min 。当 P r = S min 时，就可得到雷达探测该目标的最大作用距离 R max ，这时式（2.1）可以表示成单基地雷达方程，即
由此可见，目标后向反射的回波信号功率与目标到雷达距离的4次方成反比。这表明，单基地雷达的回波信号经过往返路程的双程传播，能量衰减很大。式（2.2）是基于自由空间传播的单基地雷达基本方程。
接收天线的增益 G r 与天线有效接收面积 A r 的关系为
将式（2.3）代入式（2.2），并考虑信号传输损失和处理损失 L s ，可得自由空间单基地雷达方程为
式（2.4）给出了作用距离和各系统参数间的关联关系，但方程中有2个不能准确预定的量——最小可检测信号 S min 和雷达反射截面积 σ 。其中，最小可检测信号 S min 是随机热噪声统计平均值，它与检测概率和虚警概率取值相关；雷达反射信号具有各向散射异性的特性，且随着目标姿态角快速变化，雷达反射截面积 σ 又是一个与入射工作频率密切相关的值，一般是小观测视角的统计平均值； L s 是信号传输和处理过程中引入的损失因子，它包括信号检测前系统各项损失之和与检测处理损失之积。一般单基地雷达共用发射和接收天线， G t = G r = G ， G t G r = G 2 。
1.方向图修正因子
雷达工作环境一般不满足自由空间的假设条件，雷达辐射的电磁波受地面多径反射的影响，低仰角天线波束还会因地面或海面的反射产生干涉效应，以及因干涉产生波瓣分裂导致天线增益变化等。在实际工程计算中，一般对式（2.4）采取多种因子修正，以得到相对准确的计算结果。为了解决这些问题，雷达方程中引入了方向图传播因子 F t 和 F r 。其中， F t 是从发射天线到目标的方向图传播因子， F r 是从目标到接收天线的方向图传播因子。
方向图传播因子 F 的基本定义为
对于 F t ，式（2.5）中的 E 是目标实际受到雷达发射波束照射的电场强度， E 0 是自由空间中发射波束方向图在最大增益方向上与目标相同距离处的电场强度。对于 F r ，式（2.5）中的 E 和 E 0 通常用接收天线输出端上的信号电压表示。 E 定义为实际测到的信号电压， E 0 则是在以下3项限定条件下测到的信号电压：①接收路径上为自由空间传播；②目标处于接收波束方向图的最大增益方向；③目标受到的照射与实际非自由空间的情况相同。第③项限定是为了避免接收方向图传播因子中含有发射路径的诸因子。
雷达方程中的天线增益是指实际目标方向的天线增益，雷达天线在不同仰角对应的天线增益是不同的。由于方向图传播因子包含了天线方向图的影响，因此可以定义雷达方程中的 G t 和 G r 都是波束最大点上的天线增益，而天线方向图的影响可以用天线方向图因子表示，它把天线辐射场在自由空间的相对场强定义为雷达坐标系中仰角 φ 和方位角 θ 的函数，即
由此可见，方向图传播因子 F 也是方位角 θ 和仰角 φ 的函数，也可写成 F （ θ ， φ ）的形式。但应注意， f （ θ ， φ ）与 F （ θ ， φ ）不同， f （ θ ， φ ）是一个向量。天线增益可写成
式（2.7）中，| f （ θ ， φ ）|在天线波束最大值方向等于1，在其他方向上小于1。
雷达方程中的天线增益和方向图传播因子一般不用方向角函数的形式表示，所以考虑方向图修正因子的单基地雷达方程表示为
式（2.8）的推导过程表明，单基地雷达的最大作用距离和使用的信号波形与信号调制形式无关，无论对连续波信号还是脉冲信号都适用。
2.可见度因子
对于没有干扰信号和随机平稳噪声的情况下，接收机的热噪声电平是决定监视雷达接收机最小可检测信号功率的基本因素。当回波信号功率电平低于或接近于热噪声电平时，由于噪声本身的随机起伏特性和目标、环境的不确定性，不能确定接收机输出电压的起伏是由目标回波信号还是由噪声产生的，而这与接收机增益大小无关，因为线性接收机会对信号和噪声同样放大。因此，在计算雷达作用距离时，重要的参数不是信号功率本身，而是信号在接收机输出端的信噪比。
最小可检测信号功率 S min 的定义是：按给定检测概率 P d 和虚警概率 P fa 时，检测目标所需的最小可检测信噪比（ S/N ） min 乘以接收机噪声功率。接收机噪声功率 N 0 = kT 0 B n F n ，其中， k 是玻尔兹曼常数1.38×10 -23 J/K， T 0 是接收系统环境温度，一般取室温290K， B n 是接收机带宽， F n 是接收机噪声系数。因子 T 0 F n 可用系统噪声温度 T s 表示。则 S min 表示为
早期监视雷达利用显示器视频积累余辉来观测目标时，通常称（ S/N ） min 为可见度因子 V min 。将式（2.9）代入式（2.8），并用 V min 表示（ S/N ） min ，则通用单基地雷达方程为
由此可见，雷达的作用距离与可见度因子 V min 的4次方根成反比。 V min 相当于雷达的目标检测门限， V min 数值越小，目标检测概率越高，但同时雷达系统的虚警概率也越大，所以必须依据检测概率和虚警概率合理选择 V min 。
3.接收带宽修正因子
监视雷达为了测量目标距离和进行相关处理，一般采用脉冲技术体制发射脉冲信号，对采用矩形脉冲的常规监视雷达，宽度为 τ 的单一载频矩形脉冲，通过FFT（Fast Fourier Transform，快速傅里叶变换）分析表明：1/ τ 信号带宽内含有该脉冲绝大部分能量，即雷达接收机带宽达到1/ τ 带宽量级，就能接收脉冲信号的绝大部分能量，往往是接收信号可检测性的一个更准确度量。如果接收机带宽小于该值，则接收机输出端的信号功率和噪声功率均会减小；反之，若接收机带宽大于1/ τ 的值，将会增加接收机的噪声功率。因此，当输入的信号功率和噪声功率谱密度给定时，接收机输出端产生最大信噪比的最佳带宽为
式（2.11）中， α 表示信号最佳带宽校正系数。因此，可见度因子可以表示为
式（2.12）中， S 是信号功率， N 是噪声功率， E r 是信号能量， N 0 是单位带宽内的噪声功率（即噪声功率谱密度）。这表明，可见度因子等于接收信号能量与噪声功率谱密度之比，且是接收带宽的函数。当 B n = B n（opt） 时， V min 为其可能取得的最小值，通常用 V 0 表示。而一般情况下， B n ≠ B n（opt） ， V min 与 V 0 的关系可表示为
式（2.13）中， C B 称为接收带宽修正因子。当接收机带宽与信号带宽匹配时， C B =1，否则 C B ＞1。
将式（2.11）至式（2.13）代入式（2.10），可得到工程适用的典型单基地脉冲雷达方程为
4.积累检测因子
随着雷达数据处理中处理能力和计算机算力的提高，监视雷达都设计有自动检测目标处理器，这种自动检测目标处理器的设计是以统计检测理论为基础的。这种情况下，检测目标信号所需的最小功率信噪比通常称为检测因子，并用符号 D 0 表示。检测因子 D 0 的定义与可见度因子 V 0 的定义相似，但 D 0 在计算多个脉冲积累检测对信噪比的改善时较常用。在相参积累情况下， n 个脉冲积累检测的信噪比改善可表示为
式（2.15）中， D 0 （ n ）是 n 个脉冲相参积累检测的检测因子， D 0 （1）是单个脉冲检测的检测因子。
当监视雷达采用非相参积累检测时，积累检测的效率会下降，积累检测效率可表示为
式（2.16）中， D x （ n ）是 n 个脉冲非相参积累检测的检测因子。显然，用非相参积累检测因子 D x （ n ）表示雷达参数，单基地脉冲雷达方程可以表示成更通用的形式，即
式（2.17）中，
是发射信号的能量。该式表明，雷达作用距离只与发射信号能量相关，计算时只要知道脉冲功率和发射脉宽即可，不用考虑信号波形和不同的信号脉压比。
监视雷达一般均为搜索雷达，搜索雷达要求雷达必须在时间 t s 内完成对立体角为 Ω 的空域的连续搜索。设天线波束的立体角为 β b ≈ φ V θ H ，天线波束扫描在每个波束位置的驻留时间为 t 0 ，一般搜索过程设计为等检测概率搜索，即搜索过程波束序贯扫描，波束无须重叠也不能跳跃，则总扫描时间为 t s = t 0 Ω / β b 。根据天线增益的定义， G t =4π/ β b ，则天线增益可表示为
将式（2.18）代入式（2.17），发射能量 nE t = P av t d ，接收天线增益 G r =4π A r / λ 2 ，可得单基地搜索雷达方程为
式（2.19）表明，搜索雷达的最大作用距离与平均发射功率 P av 和有效天线孔径面积 A r 的乘积 P av A r 的4次方根成正比，与搜索空域的搜索速率 Ω / t s 的4次方根成反比，而与雷达工作频率无直接关系。功率孔径积 P av A r 的数值大小是搜索雷达的最大资源约束，受各种设计参数选择和边界条件的限制。与工作频率无关可解释为，通常随着 A r 的增大或频率的提高，天线波束变窄，搜索波束位置数也会增加，当搜索空域的搜索速率 Ω / t s 不变时，增加搜索波束位置数会缩短波束驻留时间 t 0 ，增加的天线增益得益会因此被抵消。在搜索雷达中， R max 不仅取决于发射功率和天线增益，还与搜索空域、数据率有密切关系，这将在第6章做详细讨论。
对于采用机相扫工作模式（同时具备机械扫描雷达和相控阵雷达的特点）的监视雷达，或具有数字波束形成能力的监视雷达可产生跟踪波束。跟踪雷达方程即在给定观察时间内连续观测目标，设雷达在时间 t G 内连续观察并跟踪一个目标，则发射信号能量为 nE t = P av t G ，发射天线增益 G t =4π A t / λ 2 ，接收天线增益 G r =4π A r / λ 2 ，将以上关系代入式（2.17），可得单基地跟踪雷达方程为
式（2.20）表明，跟踪雷达的最大作用距离取决于平均发射功率和有效天线孔径面积的乘积 P av A r ，并与跟踪时间 t G 成正比。
上述雷达方程只考虑自然环境影响，而监视雷达常常会收到敌方故意施放的有源干扰信号。其中，噪声压制干扰是最简单有效的一种有源干扰样式，其带宽通常大于监视雷达的接收机带宽，因此其对雷达检测性能的影响就像自然界的“天线噪声”的影响一样，可以用等效噪声功率谱密度来表示。
设干扰机的发射功率为
P
j
，干扰机的天线增益为
G
j
，干扰机的干扰带宽为
B
j
，干扰机到雷达的距离为
R
j
，干扰信号的极化匹配因子为
δ
j
，干扰信号的单程传播损失因子为
L
j
，雷达天线对着干扰机方向的有效面积为
，雷达接收机的信号带宽为
B
n
，则雷达接收到的干扰信号功率为
式（2.21）表明，雷达接收的干扰信号功率是3个因子的乘积：第一个因子表示雷达天线上的干扰信号功率密度；第二个因子是雷达天线的有效面积与极化失配损失和干扰信号传播损失之比，它与雷达天线上的干扰信号功率密度的乘积就是雷达天线接收的干扰信号功率；第三个因子表示雷达接收机的信号带宽与干扰机的干扰带宽之比，它与前两个因子的乘积表示雷达系统接收的干扰信号功率。当 B n ≥ B j 时，干扰信号功率可全部被雷达接收，这种干扰为瞄准式干扰；当 B n ＜ B j 时，干扰信号功率只有部分被雷达接收，这种干扰为阻塞式干扰。
考虑
，干扰信号功率谱密度为
N
j
=
P
j
/
B
j
，因此雷达接收的干扰信号功率谱密度
N
rj
为
式（2.22）中，
是雷达天线对着干扰机方向的天线增益，
F
j
是从干扰机到雷达的方向图传播因子；
是雷达在干扰机方向的方向图传播因子。
干扰功率在雷达接收机输入端的等效噪声温度 T j 可表示为
因此，雷达接收机的系统噪声温度可表示为
。
将式（2.23）代入式（2.17），可得有源干扰情况下的单基地雷达方程为
式（2.24）中， D x （ n ）是用信号功率与干扰功率之比表示的积累检测因子。
1.自卫式干扰
自卫式干扰（Self-Protection Jamming，SPJ）是指目标自身携带干扰机施放的干扰，这时，干扰信号从雷达天线的主瓣进入。干扰机到雷达的距离
R
j
与目标到雷达的距离（目标距离）
R
相同，满足
R
j
=
R
，
，且
T
j
≫
T
s
，
。考虑从干扰天线到雷达接收天线的方向图传播因子
F
j
≠1，式（2.24）可简化为
式（2.25）中， R ss 一般称为雷达的主瓣干扰“烧穿”距离，当 R ＞ R ss 时，雷达不能发现目标。由于雷达系统损失因子 L s ≈2 L j ，且目标距离较远时， F t ≈ F j ，式（2.25）可进一步简化为
式（2.26）中，第一项是与雷达性能有关的参数，第二项是与带干扰机的目标有关的参数。令式（2.26）第一项表示为
则 R ss 可进一步表示为
式（2.28）表明， R ss 与干扰信号功率谱密度 N j 的二次方根成反比，因此自卫式干扰机需要的干扰功率比雷达探测目标需要的发射功率要小得多。
2.远距离支援干扰
远距离支援干扰（Stand-Off Jamming，SOJ）是指干扰机在远离目标的位置进行远距离支援干扰，也称为掩护式干扰。干扰机信号通常从雷达天线的副瓣进入，干扰机到雷达的距离为
R
j
，目标到雷达的距离为
R
s
，掩护式干扰机通常干扰功率很强，
T
j
≫
T
s
，
。考虑从干扰天线到雷达接收天线的方向图传播因子
F
j
≠
1，式（2.24）可以简化为
式（2.29）中，
R
s
被称为雷达的副瓣“烧穿”距离，
是雷达天线在干扰机方向的副瓣增益。考虑
L
s
≈2
L
j
，式（2.29）可进一步简化为
式（2.30）中， R ss 与主瓣“烧穿”距离的表达形式相同，是一个与雷达参数有关的距离因子。由于干扰机与目标不在同一方向，当雷达探测目标时， R s 与 R j 的二次方根成正比，与 G s 的4次方根成反比。因此，雷达与干扰机的距离越远，雷达天线的副瓣电平越低，雷达在干扰环境下的探测距离值就越大。
如果目标与干扰机在同一方位角，但不在同一仰角，且目标在雷达天线主瓣内时， R s ≠ R j ， F t ≈ F s ≈ F j ≈1，若设 G s ≈1，式（2.30）可以简化为
3.欺骗式干扰
欺骗式干扰（Deception Jamming，DJ）也称灵巧干扰，干扰机对接收的雷达信号直接转发或通过延时和多普勒偏移产生干扰信号，发射一种与雷达回波信号相似的干扰信号，因此，欺骗式干扰有时又称为转发式干扰。转发式干扰信号与干扰飞机自身的反射信号功率有很大区别：干扰飞机通常采用隐身措施后，反射信号的幅度很小，而欺骗式干扰信号经干扰机放大后的转发回波信号幅度值很大。若欺骗式干扰信号从天线主瓣进入，则欺骗式干扰与目标方位指向相同，但干扰信号采用延时处理后产生虚假距离欺骗式干扰信号；若欺骗式干扰信号从天线副瓣进入，则会使欺骗式干扰信号在距离和方位上都偏离真实目标回波信号。由于欺骗式干扰信号的带宽与雷达信号带宽相似，即 B j ≈ B n ，当雷达接收的假目标信号信噪比大于检测门限时，即可产生干扰作用，故其作用距离可表示为
式（2.32）中， D x （ n ）是相对于接收机内噪声的积累检测因子。
欺骗式干扰机通过控制转发信号的时延和多普勒偏移，可同时产生多个假目标，使雷达系统很难辨认和区分真假目标，因此干扰效果十分明显。雷达系统抑制欺骗式干扰信号可以采取快速捷变、灵活波形设计、天线变极化和降低天线副瓣、副瓣匿隐等措施，相关内容详见第5章。
无源干扰的主要形式是敌方施放的金属箔条云等杂波干扰，一般也包括云雨等雷达环境杂波干扰。金属箔条云相当于无源偶极子反射雷达辐射的电磁波，从而产生一个很强的杂波干扰回波信号，降低雷达对真实目标的发现能力。无源干扰杂波的许多特性与接收机噪声的特性相似，如它们的振幅和相位也是随机起伏的。在大多数情况下，它们具有与热噪声相似的概率密度函数，但是，它们的起伏变化速度很慢，也就是说干扰信号的频谱很窄，远小于接收机的带宽。
杂波背景信号的强度一般用其平均功率电平来表示。通常杂波干扰电平远比噪声电平大，目标信号在杂波背景中被检测时，一般可以忽略热噪声的影响，此时雷达方程中基于噪声背景的检测因子用信号/杂波比代替。由于杂波的起伏速度很慢，杂波信号在脉冲重复周期时间间隔内通常是相关的，所以目标信号在杂波背景中的脉冲积累效果很差。而且有些杂波具有“尖峰”特性，它们的统计特性与热噪声的统计特性不同，与目标回波具有相似性。
在杂波背景中分析雷达的最大作用距离，实质上是研究目标回波功率与杂波功率随距离变化的规律，从而确定在多远距离能得到必需的信号/杂波比。在雷达方程中，发射功率与天线增益对目标和杂波的影响相同。但是，目标与杂波散射体的RCS不同，目标与杂波空间位置不同，因此天线方向图因子对目标和杂波回波信号幅度具有不同的影响。
设目标的RCS为 σ t ，回波信号功率为 S ，方向图传播因子为 F t = F r = F ；杂波的RCS为 σ c ，回波信号功率为 C ，方向图传播因子为 F t = F r = F c 。如果目标在雷达作用距离内的任意位置，杂波与目标在同一雷达分辨单元，且回波信号无距离模糊，则由式（2.8）可得信杂比为
式（2.33）表明，信杂比与雷达作用距离无关，但实际上杂波的RCS（ σ c ）是作用距离的函数。按照杂波散射体的分布特性， σ c 与距离的关系有两种情况：一种是面杂波，这种杂波散射体分布在两维表面上，如地杂波和海杂波就是典型的例子；另一种是体杂波，这种杂波散射体分布在三维空间内，如气象杂波和金属箔条云就是典型的例子。由于这两种杂波具有不同的距离关系，所以有两种不同的距离方程。
1.面杂波干扰
面杂波的杂波反射面积 σ c 可以用单位面积内的平均面积 A σ 和面杂波反射率系数 σ 0 来表示，即
面杂波反射率系数 σ 0 将在第4章中详细讨论。 A σ 是雷达波束面分辨单元在散射表面的投影。如果面杂波分布是均匀的，且充满整个波束覆盖范围，则雷达到杂波单元的距离为
式（2.35）中， ρ e =8.49×10 6 是有效地球半径， h r 是雷达天线距地面的高度。
对于地面雷达， A σ 的横向宽度取决于雷达的水平波束宽度 θ H ，径向宽度取决于雷达的脉冲宽度 τ （见图2.2）。如果雷达观测地表面时的入射余角（擦地角）为 ψ ，入射余角较小时， A σ 可近似表示为
式（2.36）中， L p 是波束形状损失。
图2.2 地基雷达的面杂波分辨单元
对于空基雷达（如机载雷达、气球载雷达等），入射余角较大， A σ 的横向宽度取决于雷达的水平波束宽度 θ H ，径向宽度取决于雷达的垂直波束宽度 φ V （见图2.3）。 A σ 可近似表示为
图2.3 空基雷达的面杂波分辨单元
式（2.36）和式（2.37）都是在假定距离分辨单元远小于观测距离的情况下得出的，它们在能给出相同结果的入射余角 ψ 1 处相交，即
在入射余角较小时，式（2.36）的计算结果值比式（2.37）计算的结果值小，反之则相反。由此可见，对于任一给定的 ψ 值，应该用计算结果值较小的那个式子计算 A σ 值。将以上关系代入式（2.33），则地面雷达的信杂比为
如果取检测因子 D 0 （1）= S / C ，且不存在距离模糊，则地面雷达对面杂波区目标的最大作用距离可表示为
式（2.40）中，发射功率虽然没有直接出现，但发射功率必须足够大，使面杂波的回波功率大于接收机噪声功率，该雷达方程才能成立。另外，天线增益也是用波束宽度 θ H 的隐函数来表示的，这表明雷达波束的分辨单元越小，面杂波反射强度越弱，雷达探测目标的作用距离就越远。由于面杂波的回波功率通常远大于目标的回波功率，且 σ 0 和 ψ 等参数均与作用距离有关，因此式（2.40）不能直接用于监视雷达最大作用距离的计算。
如果雷达采用MTI/MTD（Moving Target Detection，动目标检测）或PD处理等抑制杂波干扰措施（关于监视雷达杂波抑制方法的讨论见第4章），那么最终限制雷达最大作用距离的因素是经过杂波抑制处理后的剩余杂波。经过杂波抑制处理，目标检测的信杂比将得到数十分贝的改善。MTI/MTD或PD处理的杂波抑制性能通常用杂波改善因子 I s 来描述，其定义是系统输出信杂比与输入信杂比之比。考虑MTI/MTD或PD处理后，地面雷达对面杂波区目标的作用距离可表示为
式（2.41）中， c 为常数，表示光速。
2.体杂波干扰
体杂波的杂波反射面积 σ c 可以用单位体积内的平均散射截面积 η 来表示，即
式（2.42）中， V σ 为雷达波束的空间分辨单元， η 为体杂波的反射系数，它通常小于体杂波分布的空间体积 V c （见图2.4）。如果雷达的脉冲宽度为 τ ，水平和垂直半功率波瓣宽度分别为 θ H 和 φ V ，则在距离 R c 处，雷达波束的空间分辨单元为
式（2.43）中， L p 是波束形状损失。
图2.4 体杂波分辨单元
将式（2.43）代入式（2.33），则同一分辨单元的目标信杂比为
如果取检测因子 D 0 （1）= S / C ，且不存在距离模糊，则雷达对体杂波区目标的作用距离可表示为
如果雷达采用MTI/MTD或PD处理抑制杂波干扰，则雷达对体杂波区目标的作用距离可进一步表示为
式（2.46）中， I s 是雷达系统对体杂波的改善因子。
3.距离模糊杂波干扰
当雷达的发射功率很大或脉冲重复周期较短时，雷达会收到距离超过第一个脉冲重复周期的杂波回波。产生距离折叠的二次地物回波，也称距离模糊杂波干扰。这种距离模糊的杂波回波常出现在较近的距离上，虽然其回波强度比近距离杂波的强度弱，但这种杂波干扰也足以限制雷达系统的探测能力。在有距离模糊面杂波干扰的情况下，如果面杂波的反射率是均匀的，则雷达作用距离可表示为
式（2.47）中， I s i 是雷达对不同模糊距离杂波的改善因子， R c i 是不同模糊距离的杂波距离， L ac i 是不同模糊距离的电波大气传播衰减， F c i 是不同模糊距离的杂波方向图因子。
当空中存在距离模糊体杂波干扰时，雷达的作用距离可表示为
式（2.48）中， η i 是不同模糊距离杂波的反射率。
当单基地雷达同时受到阻塞式有源干扰和云雨环境杂波干扰时，通常采用脉组频率捷变抑制有源干扰，同时采用多普勒处理抑制云雨杂波干扰，可以定义一个有效的干扰噪声比，以确定干扰信号强度。
设雷达受到多部阻塞式噪声干扰机的干扰，干扰机功率分别为（ P rj1 ， P rj2 ，…， P rj n ），且雷达受到的面杂波干扰功率为 P c1 ，体杂波干扰功率为 P c2 ，那么雷达受到的干扰噪声比可表示为
式（2.49）中， N 0 = kT s B n 是雷达的内部噪声功率密度， I c1 和 I c2 分别是雷达对面杂波干扰和体杂波干扰的系统改善因子。
如果雷达探测目标的信噪比为 E r / N 0 ，那么目标的信号干扰比（简称信干比） E r / J s 大于积累检测因子 D x （ n ）时，雷达方程可以由式（2.17）表示。
双基地雷达是发射机和接收机分置在两个不同位置的雷达系统，其工作原理见9.1.1节。为了获得较好的双基地探测效能得益，其收/发站间的距离 L 值较大，其值与雷达的探测距离在一个量级。由于双基地雷达也是双程电波传播，因此双基地雷达方程的推导过程与单基地雷达方程相似。首先，由发射站雷达天线向探测空间辐射一个信号，该信号照射目标后产生二次散射，因目标回波信号具有多向散射特性，接收站雷达天线可接收相应的散射回波信号，该回波信号的大小由目标的双基地RCS σ b 、双基地角 β 和电波传播的路径决定。如果目标与发射站的距离为 R T ，目标与接收站的距离为 R R ，则双基地雷达方程可表示为
式（2.50）中， P t τ 是发射信号能量， G t 和 G r 分别是发射、接收天线增益， λ 是波长， T s 是接收系统噪声温度， D x （ n ）是 n 个脉冲非相参积累检测的检测因子， C B 是带宽修正因子， L s 是系统的双程损失， F t 是从发射天线到目标的方向图传播因子， F r 是从目标到接收天线的方向图传播因子。
在式（2.50）中， R T 和 R R 取值须满足以下两个基本条件限制，即
此外，实际雷达观测目标时，目标必须处于天线的远场区。
当双基地雷达发射、接收天线的波束指向始终对准目标（即发/收方向图传播因子等于1）时，乘积 R T R R 为常数，其等值线所形成的几何轮廓在任意包含发射站、接收站轴线的平面内都是卡西尼（Cassini）卵形线。在实际情况中，这些条件不可能始终得到满足，详细分析见第9章相关内容。
双基地雷达方程的另一个特点是目标的RCS必须采用双基地的RCS σ b ，它的定义与单基地的RCS的定义不同，详见第9章。单基地的RCS取决于目标的后向散射，它是姿态角（即观测目标的方向）的函数， σ m = σ m （ θ ， φ ）。双基地的RCS取决于目标的双基地角 β ，它是发/收两地波束姿态角（收/发波束指向不同）的函数，即 σ b = σ b （ θ t ， φ t ； θ r ， φ r ）。
外辐射源雷达是一种利用外部辐射源信号（如广播和电视信号）作为发射信号进行目标探测的监视雷达，是一种特殊体制的双基地雷达，其体制特点、定位原理、测量精度、系统设计、关键技术、发展前景等将在第10章介绍，这里仅给出其在噪声背景和干扰背景下的雷达方程。
1.噪声背景下的外辐射源雷达方程
外辐射源雷达的探测威力可由双基地雷达距离积方程来表示，即
式（2.53）中， R t R r 为双基地雷达距离积； P t 为辐射源发射功率； T c 为单次相参积累时间； G t 为发射天线功率增益； λ 为波长； G r 为接收天线功率增益； σ 为目标双基地的RCS； F t 为从发射天线到目标路径的方向图传播因子； F r 为从目标到接收天线路径的方向图传播因子； k 为玻尔兹曼常数（1.38×10 -23 J/K）； T s 为接收系统噪声温度； D 0 为检测因子； C B 为带宽修正因子； L t 为发射损失，是发射机输出功率与实际传到天线端功率之比； L r 为回波接收和处理检测的总损失。
P t T c 体现了外辐射源雷达长时间积累的特点。大多数外辐射源是连续波信号，单次相参积累时间为 T c ，理论上积累总能量可以表述为功率与时间的乘积。而实际信号是起伏的，尤其表现在经过载波调制后，辐射信号的瞬时带宽、功率强度的变化。如果无法准确测量和计算各种辐射源的非平稳性，一般只能够采用经验统计的积累损失来表述，并可以将其归集到信号处理损失中。
检测因子 D 0 （也称可见度系数）可表示为
式（2.54）中， E r 是单次检测处理获得的目标回波能量， N 0 是单位带宽噪声功率。 E r 和 N 0 都是在滤波器输出端的测量值。
系统噪声温度可表示为
式（2.55）中， L r 表示天线输出馈线损失， F n 表示接收机自身噪声系数， T 0 =290K， T a 表示接收天线输出端噪声温度，即
式（2.56）中，
表示天线噪声温度，
L
a
表示天线损失。
在典型的外辐射源（如87～108MHz的调频广播）频段，太阳噪声、银河系噪声等环境噪声较强。天线噪声温度取决于接收天线波瓣内各种噪声源的噪声温度，当波束内充满相同温度的噪声源时，天线噪声温度与天线增益和波束宽度无关。如果各噪声源的温度不同，那么合成的天线噪声温度就是各种噪声源温度的空间角度加权平均。太阳相对于雷达观测点的张角约为0.53°，在VHF频段100MHz带宽内，太阳宁静时在该张角的等效噪声温度约为106K，在爆发后数小时内噪声温度约为107K。宇宙噪声分布如图2.5所示，其中主要为银河系噪声。银河系中心的噪声最强，最强区域相对于雷达观测点的张角约为3°×3°。该图中等温线数值为200MHz频率噪声温度，箭头标示区域数值已按照公式 T F = T 200 · （200/ F MHz ） 2.5 换算到 F =100 MHz频率对应的噪声温度。当接收波束指向太阳、银河系中心噪声最大区域时，背景噪声将比设计噪声（全空域平均噪声）高。
图2.5 宇宙噪声分布
传播因子 F t 和 F r 的定义是：目标位置处的场强 E 与自由空间中发射天线和接收天线波束最大增益方向上距雷达同样距离处的场强 E 0 之比。这两个因子说明目标不在波束最大值方向上的情况（ G t 和 G r 是最大值方向上的增益），以及自由空间中不存在的各种传播增益和传播损失。
当目标的RCS一定时，对一个固定参数的外辐射源雷达系统，定义常数
则式（2.53）可表示为
式（2.58）表明，对一定的接收信噪比，外辐射源雷达探测目标的辐射源和接收站的距离乘积为一常数，对应检测信噪比的目标位置为一卡西尼卵形线。对不同的信噪比可得到一组卡西尼卵形线，随着收/发基线的增大，等信噪比卵形线逐渐收缩，该卵形线可能会演变成双纽线，最终断裂为围绕发射站和接收站的两个部分。
外辐射源雷达测量的是目标的距离和，表示目标位于焦点为发射站和接收站的椭球面上。双基地平面与该椭球面相交，构成等距离和椭圆，称为距离等值线。因此，外辐射源雷达的距离等值线和等信噪比曲线不共线，距离等值线上的每个目标位置的信噪比是变化的。
2.干扰背景下的外辐射源雷达方程
由于调频广播和电视等典型外辐射源的发射信号为连续波体制，外辐射源雷达的回波通道中存在较强的直达波干扰。
实际环境中，其他辐射源的频率有时会非常接近（如不同调频广播电台之间的中心频率间隔只有200kHz），甚至完全相同（如单频网）。在当前有限的频谱资源条件下，这种情况更加常见。这些形成了外辐射源雷达中的同频或邻频干扰。
类似于有源干扰情况下的单基地雷达方程式（2.24），直达波干扰和同频（邻频）干扰对外辐射源雷达检测性能的影响，可以用等效噪声功率谱密度来表示。
设干扰辐射源的发射峰值功率、天线增益及发射损失因子分别为 P tj 、 G tj 和 L tj ，工作波长为 λ j ，从干扰辐射源到接收站的距离为 R Lj ，干扰信号的极化匹配因子为 δ j ，从干扰辐射源到接收站的方向图传播因子为 F tj ，接收站天线在干扰方向的增益和方向图传播因子分别为 G rj 和 F rj ，干扰信号带宽为 B j ，接收站的接收带宽为 B n ，则接收站接收到的干扰信号功率谱密度为
若直达波干扰（或同频/邻频干扰）的对消比为 L c ，则干扰功率在外辐射源雷达接收机输入端的等效噪声温度可表示为
这样，干扰环境下的外辐射源雷达方程可以表述为
式（2.61）中，
表示系统噪声温度，
D
0j
表示信号功率与干扰功率之比的检测因子。
多输入多输出监视雷达（简称MIMO雷达）是利用多个发射天线同步发射相互正交波形，同时利用多个接收天线接收回波信号并进行综合处理的一种新型体制雷达，本书第9章将做详细介绍。MIMO雷达具有空间分集、波形分集、频率分集、极化分集和编码分集等分集得益，可显著提高雷达的检测、跟踪、参数估计和识别能力。MIMO雷达天线既可以是独立的单元天线，也可以是天线子阵，MIMO雷达按照天线布置的“远近”分为集中式MIMO雷达和分布式MIMO雷达两大类。鉴于目前没有分布式MIMO雷达系统装备实例，本节仅讨论集中式MIMO雷达方程和相关参数选取依据，对分布式MIMO雷达不展开讨论。
雷达方程定量地描述了雷达作用距离和雷达系统参数、目标特性及环境特性的关系。对于MIMO雷达，设有 N t 路发射单元和 N r 路接收单元，每个发射单元信号带宽为 Δf ，接收天线可以与发射天线共用或者相互独立，即收/发单元数可以相同，也可以相异。每个发射通道频率不同，同时多载频发射且相互正交，发射波束在空间是相互独立的，没有波束合成和功率合成得益，则每个接收天线单元的来自任意一路发射信号分量所对应的雷达方程为
式（2.62）中， G t（ i ） 为单个发射天线阵元的增益， G r（ i ） 为单个接收天线的增益， S min（ i ） 为任意单个发射单元、单个接收单元接收的最小可检测信号噪声功率比。
式（2.63）中， P s-r（ i ） 为单个单元接收的信号功率， P N-Δf 为单个单元信号带宽为Δ f 的噪声功率。
由MIMO雷达的工作原理可知，接收时，
N
r
路接收单元可进行DBF波束合成，信号同相相加，则整个MIMO雷达接收的回波信号功率增加
倍。设发射脉冲宽度为
τ
，每个发射单元信号带宽为Δ
f
，则合成发射信号总带宽为
B
=
N
t
Δ
f
，且满足
τ
Δ
f
≈1，得时宽带宽积
N
t
=
τB
。对于
N
t
个发射阵元采用基于正交基的频率步进多载频发射信号，如线性调频信号，对时宽带宽积
N
t
=
τB
的信号采用脉压比为
N
t
的脉冲压缩后，信号峰值功率提高
倍（忽略加权损失）。MIMO雷达发射采用正交信号，接收采用DBF技术，目标观测时间取决于相参积累脉冲时间。
设在一个波位驻留时间内（不出现跨距离、多普勒单元）积累脉冲数为
N
p
，则相参积累后信号功率增加
倍，对MIMO雷达的
N
t
个发射信号进行脉冲压缩，对
N
r
个接收单元信号进行DBF和对
N
p
个积累脉冲数进行相参积累，信号功率得益为
则回波信号总功率为
而对MIMO雷达的 N t 个发射信号进行脉冲压缩，对 N r 个接收单元信号进行DBF和对 N p 个积累脉冲数进行相参积累，则 N t 个发射单元、 N r 个接收单元的MIMO雷达系统最小可检测信号噪声功率比为
式（2.66）中， P N-B 为带宽为 B = N t Δ f 的噪声功率，对于非起伏平稳噪声，噪声功率一般可由噪声带宽表示，单个接收单元接收的信号功率表示为 P s（ i ） ，则有 N t 路发射单元，每个发射单元信号带宽为Δ f ， N r 路接收单元的MIMO雷达方程为
无源雷达是自己不发射信号而只接收信号的外辐射源信号的无源探测定位系统。这种系统的布站方法与双/多基地雷达相似，所以无源雷达方程只表示单个接收站的探测能力。为提高目标定位精度，无源雷达通常采用双站或多站交叉定位来确定目标在参考坐标系中的位置，其系统通过测量目标辐射电磁信号到达各接收站的到达时间和到达角，来确定目标的位置坐标。
如果目标辐射的电磁信号功率为 P s ，目标发射天线的有效孔径面积为 A st ，雷达接收天线的增益为 G r ，雷达的最小可检测信号为 S min ，信号的极化失配因子为 δ p ，电磁波的单程传播损失因子为 L α ，则无源雷达方程可表示为
由于 A st = G st λ 2 /（4π）， λ = c f ， S min 可以用式（2.9）表示，考虑雷达天线最大增益方向不可能始终对准目标，且系统存在带宽失配损失，因此式（2.68）可进一步表示为
式（2.69）中， F st 是从目标辐射天线到雷达接收天线的方向图传播因子； F r 是从雷达接收天线到目标的方向图传播因子； f 是辐射源的信号频率，它一般在接收系统的工作带宽内； T 0 是接收系统环境温度； F n 是接收机噪声系数； B n 是接收机噪声带宽；（ S / N ） min 是最小可检测信噪比； C B 是带宽失配因子。
式（2.69）表明，无源雷达的作用距离与辐射功率和接收机灵敏度的二次方根分别呈正、反比关系，因此这种系统具有较大的探测潜力。