蜂巢

密叶蜡蜂房，花下频来往。不知辛苦为谁甜，山月梅花上。

——宋·李石

蜂巢，也叫蜂窝，是蜂群生活和繁殖后代的处所，后来人们将其引申为像蜂窝似的多孔形状的物体，如蜂窝电话、蜂窝结构等。

蜂窝构造非常精巧，它由无数个大小相同的房孔组成，房孔都是正六边形，这些房孔紧密相连，中间只隔着一堵蜡制的墙，形成一群六边形棱柱的拼贴。棱柱截面的蜂蜡六边形边长相同，厚度及误差都很小，墙之间的角度正好是120°，形成一个完美的正几何图形。这些六边形棱柱一端开口，另一端则是封闭的六角棱锥体的底。这些菱形两个钝角都是109°28′，而两个锐角都是70°32′。不可思议的是，全世界所有蜜蜂的蜂窝都是按照某位蜜蜂工程师的统一图纸建造成这个统一的角度和模式。这种蜂窝结构强度高，重量轻，宜于隔音隔热，使得蜂窝温度保持35℃。而且建造这种结构非常节省材料。这种蜂窝形状不仅结构优美，更重要的是代表了最有效的建造成本，它是大自然最伟大的杰作之一。

华罗庚这样描绘蜂巢：“如果把蜜蜂放大为人体的大小，蜂箱就成为一个二十公顷的密集市镇。当一道微弱的光线从这个市镇的一边射来时，人们可以看到是一排排五十层高的建筑物。在每一排建筑物上，整整齐齐地排列着薄墙围成的成千上万个正六角形的蜂房。”

事实上蜂窝的拼贴方式正是几何学的一个基本内容。如何应用相同的图形无缝拼贴，有很多数学原理。如果拼贴的图形只有一种，就被叫做一元拼贴，如果这图形还是正多边形或正多面体，则称为正规一元拼贴。自古以来，人们都对蜜蜂精心制作的存储系统的六边形图案感到惊讶。早在公元前，古罗马的学者就认为：蜜蜂的蜂巢之所以成六边形是为了更好地适应蜜蜂的六只脚；不过另外一种观点认为蜂巢的结构是为了有效地保存蜂蜜，这个用蜂巢的等周长特征给予解释的理论则得到当时数学界的支持，后来古希腊数学家为此给了一个初步的证明，对蜜蜂显然具有“某种几何构想”的观点进行了评论。这种讨论总结为“蜂窝猜想”，即依据六边形的构造模式对已给定的面积在一个给定平面所进行的分割，其边缘的长度是否为最小？

虽然蜜蜂的巢房是一个三维结构，但每个巢房在方向上是均匀的，且垂直于蜂巢的底基。因此，蜂巢的六边形截面形状可以完全用于计算蜜蜂建筑巢房所需要的蜂蜡。于是，数学家所关心的蜂窝猜想就变成了一个二维的平面问题。1943年，匈牙利数学家托特（L.Fejes TÓth）证明了，在所有首尾相连的多边形中，能够连续排列同样面积的几何图形最多有6条边，在边长为直边的条件下，只有正六边形的周长是最小的，可以对给定平面进行等量分割的方式就是蜂窝的正六边形。简单地说，在一个公共顶点处围聚了 m 个正 n 边形，由于该多边形的一个内角为 ，所以 ，即（ m －2）（ n －2）＝4，这表明， n －2＝1，2，4，或者 n ＝3，4，6。也就是说一个公共顶点可以围绕正三、四或六边形。在后面，我们会证明同面积的条件下，圆的周长最小。然而圆并不是最优的分割，因为圆和圆之间会留下空隙而浪费空间，所以可以直观地想到，在上述几种情形下，最接近圆的正六边形的分割最经济。托特还认为，多边形的边是曲线时，正六边形的周长仍然是最小的，但他没有证明这一点。1999年美国密歇根大学的数学家黑尔斯（Thomas C. Hales）给出了蜂窝猜想的证明。在考虑了周边是曲线时，无论是曲线向外突，还是向内凹，都证明了由许多正六边形组成的图形周长最小，黑尔斯得出结论是：以同等面积的区域对一个平面进行分隔，周长为最小的几何形状是蜂窝状的正六边形。于是古老的蜂窝猜想变成了蜂窝定理。

然而这只是解决了二维问题，那么由此延伸的三维呢？蜂窝猜想依然是开放的。其问题是：以同样大小的巢房在空间进行排列，其表面积为最小的结构是正六边形蜂窝结构吗？会不会是其他的多面体？即哪种多面体是最优空间分割？当然管状的正六边形是不是三维空间的最优分割，大自然可能有另外因素的考量，例如为了工作的方便，蜜蜂需要快捷地进出。但这个问题在其他领域仍然成立，如晶体、细胞等。这些问题不仅涉及数学，还关系从流体、气泡等物质结构到生物组织结构的特征。

难怪13世纪的蒙特福特（De Montfort）说：“古建筑上，蜜蜂的才能超越了阿基米德。”19世纪，达尔文将蜂窝描述为“在节省劳动力和蜡方面绝对完美的”工程杰作。他这样赞美：“凡是考察过蜂巢的精巧构造的人，看到它如此美妙地适应它的目的，而不热烈地加以赞赏，他必定是一个愚钝的人。”当我们用数学揭开蜂房的奥秘时，我们不得不与先哲们同感。

即便在三维空间上还未得到彻底解决，蜂窝结构已经因其优越性被应用在很多地方了。由于重复的几何形状对于降低生产成本非常重要，平常超市货物的摆放，鸡蛋盒的制作，都用到了蜂窝结构。在计算机领域人们研究蜂窝结构进行网格划分。如蜂窝网络，移动网络是一种移动通信硬件架构，分为模拟蜂窝网络和数字蜂窝网络。由于构成网络覆盖的各通信基地台的信号覆盖呈六边形，从而使整个网络像一个蜂窝而得名。

回到建筑领域，人们还根据蜂巢的原理设计了一种建筑构件，称为U2建筑构件来做幕墙，它既是建筑的外表皮，也是建筑结构的受力主体。这样核心筒之外的内部空间不再需要额外的柱子支撑，因此室内空间获得了极大的灵活性。现在的航天飞机、人造卫星、宇宙飞船在内部大量采用蜂窝结构，卫星的外壳也几乎全部是蜂窝结构。 V5KHDK7akQm+skjXc1lGayDqV3mHkPjAsWi4+vBO3P5ugfC4wkHadP0lrwslQaLN