第4章
爱因斯坦的比热

1907年夏季的一天，爱因斯坦在专利局上班时被告知有人来访。他匆匆下楼到大厅里转了一圈，既没看到熟悉的面孔，也没人来打招呼，只好回到楼上的岗位。不久，他又被告知楼下有访客在等。再度下楼后，果然有个人迎了上来，自我介绍是从柏林来的马克斯·劳厄（Max Laue）。

劳厄是普朗克的助手 。他和普朗克都已经与爱因斯坦通信联络一两年了，但还素未谋面。劳厄这次是受普朗克之托专程来伯尔尼拜访。他先去了当地的大学，意外地发现那里并没有“爱因斯坦教授”。等打听到爱因斯坦在专利局后，他也没想到对方会是一个年轻小伙子。所以爱因斯坦第一次下楼时他没相认。

奇迹年的四篇论文已经问世一年半了。那年爱因斯坦还向苏黎世大学提交了另一篇论文，获得博士学位。他原以为这些论文会引起轰动，很快让他重返学术界，结果却相当失望。只有一个年轻没名气的副教授约翰内斯·斯塔克（Johannes Stark）曾邀请他去做实验室助理。因为提供的薪酬远不如专利局，爱因斯坦谢绝了。 ^{[5] 135} 他新得的博士头衔倒是在专利局管了点用，让他从“三级技术专家”提升为“二级技术专家”，工资上涨了15%。

劳厄的不请自来重新点燃他的希望。他立刻请了假，陪同劳厄在伯尔尼的街头漫步，兴致勃勃地谈论物理学的最新进展。他还慷慨地为劳厄敬上他几乎不离口的烟。劳厄实在无法忍受这专利局职员的廉价货，在过桥时假装失手弃之于河中。 ^{[11] 34-37, [2] 140-143}

爱因斯坦的兴奋也很短暂。劳厄走后，他的生活重归平静，没有等来预期中的学术界佳音。

作为《物理年鉴》负责理论物理的编辑，普朗克对爱因斯坦发表的一系列论文有着先睹为快的便利。他很快成为最早发现、介绍爱因斯坦的体制内物理学家。不过他的热情集中于爱因斯坦奇迹年的第三篇论文。那篇论文在1905年9月问世后，普朗克立即在柏林大学举办了一个讲座。那是相对论 第一次登上学术大雅之堂。紧接着，普朗克在1906年初发表论文，证明狭义相对论符合物理学传统的“最小作用量原理”（principle of least action）。这便是出自爱因斯坦之外的第一篇相对论学术论文。 ^{[5] 88; [2] 132,140-141}

在其后两年里，普朗克几乎所有的科研都围绕着相对论进行。作为他的爱徒，劳厄在之后四年中也连续发表了八篇关于相对论的论文。 ^{[2] 142}

但他们都没有触及爱因斯坦的第一篇论文：量子理论。

爱因斯坦从一开始就清楚量子理论比相对论更具备革命性，也就更难以被接受。在普朗克——量子的所谓始作俑者——身上，他的预想得到证实。

在爱因斯坦提出相对论之前，以太的存在与否、迈克尔逊和莫雷的实验结果等作为开尔文的第一朵乌云已经在物理学界引起重视。当时的老牌物理学家，比如荷兰的亨德里克·洛伦兹（Hendrik Lorentz）和法国的亨利·庞加莱（Henri Poincare）都已经相当接近揭开这个谜。狭义相对论中著名的“钟慢尺缩”现象的数学方程就是由洛伦兹率先提出，因而叫作“洛伦兹变换”（Lorentz transformation）。庞加莱也已经在试图摒弃绝对的空间、时间概念。只是在爱因斯坦之前，他们都没能迈出最后的决定性跨越，从根本上颠覆经典物理的传统观念。 ^{[2] 133}

无疑，爱因斯坦在相对论上的贡献也是革命性的，开创了现代物理的时空新理念。但他的这个突破同时也具备一种水到渠成的必然，如他自己所言是麦克斯韦、洛伦兹电动力学的自然延伸。所以，即使是保守的普朗克也早有思想准备，立刻接受了这个新理论。

而量子概念却犹如横空出世，惊世骇俗。它的革命性让所有物理学家措手不及。

劳厄拜访爱因斯坦时，光电效应论文已经问世了整整两年。经过几个小时的散步交谈，劳厄不得不对这位只比他大半年的小职员刮目相看。他觉得爱因斯坦似乎已经彻底颠覆了整个经典物理的基础。

不过，在量子问题上，劳厄还是坚持他和导师普朗克的意见。

普朗克没有在他1900年发表的论文中提及瑞利半年前根据能均分定理所做的论证。他自己似乎也没有尝试过那个途径。当时的普朗克还信不过玻尔兹曼的统计理论。他坚信黑体空腔中的电磁波已经由麦克斯韦方程精确地描述，没有必要再动用靠不住的统计手段。

为了得出他从实验数据拟合而得的黑体辐射公式，普朗克不得不舍近求远地计算作为空腔内壁的“实际”物体的统计规律。他假设内壁由以各种频率做振荡的谐振子构成，通过共振吸收、发射电磁波，与空腔内的电磁波达到热平衡。正是在这一过程中，他不得不绝望地引入一个新的法则：这些谐振子在吸收、发射电磁波时的能量交换不能随意，只能以他那与频率成正比的“量子”为基本单位进行。

五年后，爱因斯坦提出光其实就是由单个、分离的光量子组成，它们的能量正好就是普朗克引入的量子。他列举光电效应、荧光现象作为佐证，但没有直接评判普朗克的逻辑。那固然是由于好友贝索的干预，也因为他自己还没来得及把握其中的奥妙。当时，他以为自己提出的只是与普朗克不同的另一个理解。

一年后，爱因斯坦在1906年又发表了一篇论文，才系统地理清了其中的逻辑关系：他的光量子其实是普朗克推导黑体辐射公式过程中不可或缺的关键部分，只是普朗克自己没能意识到而一笔带过。其实，黑体内壁的谐振子只能以量子为单位吸收、发射电磁波，不是因为那些谐振子有这么一个莫名其妙的怪癖，而是因为自然界只存在有这样的光量子能被吸收、发射。 ^{[8] , [5] 90-93}

显然，这在逻辑上更为自然、顺畅。同时，它也是物理学史上最具革命性的新观点之一。

在论证了这一点之后，爱因斯坦并没忘记继续为普朗克邀功请赏：“在我看来，这些考虑并不否定普朗克的辐射理论。相反，它说明普朗克先生通过他的辐射理论在物理学中引入了一个崭新的假设性概念：光量子假说。”

可惜，普朗克却是绝对不愿意买这个账。一年多后，劳厄来访时依然强调，所谓的量子不过是电磁波被吸收、发射时的一个奇怪现象，绝对不能像爱因斯坦描述的适用于电磁波本身。普朗克也直接给爱因斯坦回信坚持：“量子只在吸收、发射地点存在。我不探讨它们在真空中的意义，而只假设真空中的过程已经由麦克斯韦方程准确地描述。” ^{[2] 141-142, [5] 80}

普朗克和劳厄都没注意到，那时的爱因斯坦其实已经进一步扩展了量子的适用领域。

还是15岁的少年时，爱因斯坦做过两个重大决定：他不但自作主张从中学退学（图4.1），还因为不愿意服兵役干脆放弃了德国国籍。他向父母保证会靠自学考取不需要中学文凭的苏黎世联邦理工学院。一年后，他因为法语和文科科目成绩太差未能过关。但他在数学、物理科目中表现出的才华赢得了物理教授海因里希·韦伯（Heinrich Weber）的青睐。韦伯建议他干脆留在苏黎世旁听他的课程。但爱因斯坦还是选择了在朋友家寄宿，一边在当地中学补习一边与房东的女儿热火朝天地恋爱。又一年后，他如愿以偿，以优异成绩考上苏黎世联邦理工学院。但他的初恋却随着他在大学里遇上米列娃而告终。 ^{[2] 22-31}

韦伯是爱因斯坦的第一个科学偶像。大学期间，爱因斯坦总共修了15门韦伯教授的课程，成绩都非常好。尤其是前两年，他认为韦伯的课程最为精彩，总是满怀热情全力以赴并赞不绝口。

但在爱因斯坦逐渐成长为无所畏惧的施瓦本人时，他对韦伯后两年讲授的课程越来越不满，抱怨教学内容至少落后了50年。叛逆的爱因斯坦频繁翘课，甚至拒绝按规矩称呼韦伯“教授先生”，代之以不礼貌的“韦伯先生”。韦伯曾经无可奈何地感叹：“爱因斯坦，你是一个非常聪明的孩子，特别聪明的孩子。但你有一个非常大的毛病：你从来不允许别人告诉你任何事情。” ^{[5] 16-19, [2] 33-34}

爱因斯坦当时不知道，韦伯先生也曾经有过年轻的时候。

在担任苏黎世联邦理工学院教授之前，韦伯最出名的工作是在柏林大学给著名物理学家赫尔曼·冯·亥姆霍兹（Hermann von Helmholtz） 当助手时所做的一系列实验，精确测量了固体的“比热”（specific heat）和温度的关系。

比热是一个基本的热学概念。我们要让水热起来，需要给它提供热量。将1克水的温度升高1摄氏度所需要的热量就是水的比热。这其实是一个现代人在日常生活中已经熟悉的热量单位：卡（calorie） 。

很容易想象，加热不同的物体所需要的热量应该会不一样。但早在19世纪初，法国物理学家皮埃尔·杜隆（Pierre Dulong）和亚历克西斯·帕蒂（Alexis Petit）却发现各种固体金属材料大致有着同样的比热。那似乎是一个普适的常数，不仅与材料无关，也与物体的温度无关。

这个奇怪的现象直到几十年后才由玻尔兹曼用他的统计理论解释。玻尔兹曼假设固体中原子的热运动是不同频率的振动，温度是这种振动所储存的热能的标志。这样，固体温度升高所需要的热量可以通过能均分定理计算。因为原子在固体中振动的自由度数目是一样的，所以比热不会随材料、温度等因素改变，是一个常数。

果然，玻尔兹曼的计算得出了与杜隆和帕蒂实际测量一致的数值。那是经典统计物理的一大成就。

可是，也在同时，实验物理学家逐渐发现有一些固体材料的比热并不与杜隆和帕蒂发现的数值一致。它们会随温度变化。

年轻的韦伯进行了一系列大胆的创新，从-100摄氏度的低温到1000摄氏度高温之间完整地测量了钻石等固体的比热。 他发现，钻石的比热只是在极高温时才趋近杜隆和帕蒂的常数。温度不够高时，比热会随温度的降低而递减。这与玻尔兹曼的理论矛盾。 ^{[8] , [5] 103-110}

韦伯因为这些出色的实验获得苏黎世联邦理工学院教授席位后便淡出了科研领域，演变为爱因斯坦眼中的老古董。他从来没有在课程中谈及自己的工作，爱因斯坦还是在专利局的参考资料中才发现老师当年的辉煌。但更让他感兴趣的是这又是一个能均分定理失效的例子，与黑体辐射中的紫外灾难有异曲同工之妙。

爱因斯坦意识到这个灾难的确来自经典的能均分定理本身。在空腔中，因为高频率、短波长的波能有更多的驻波模式，就有更多自由度。根据能均分定理，处于平衡态的系统在每个自由度都会具备同样的能量。这样，能量便会越来越集中于高频段，导致紫外灾难。

经典波动理论中，频率只是波动模式的一个标志，没有更显著的物理意义。但普朗克提出的能量子第一次让频率与能量挂上了钩。高频率的能量子的能量比低频率的会大得多。在爱因斯坦的重新推导中，当同样的能量均分到高频率和低频率的波动模式时，会导致高频的能量子在数目上远远少于低频的能量子。

如果温度本身就比较低，以至于达不到单个高频能量子所需要的能量，那个高频的自由度上便不会存在任何能量子，也就不会为黑体辐射做任何贡献。这样，室温的辐射中没有可见光。即使温度高了，也不足以“激发”紫外线等高频率的辐射。这些高频的自由度被“冻结”了，压根就不参与能量的均分，也就避免了紫外灾难。同样地，这样计算得出的能量子的数目——无论是在低频还是高频段——都会是有限的，不至于导致总能量的无穷大。

这正是黑体辐射中被普朗克当作数学手段而隐匿了的物理机制。

爱因斯坦进一步领悟，这个自由度被冻结的机制不仅会存在于电磁波中，也会出现在任何振荡模型里。固体的比热便是现成的一个例子。

只有在相当高的温度下，固体中的振荡自由度才会被全部激发，因而有着能均分定理带来的普适比热数值。杜隆和帕蒂研究的那些金属只是恰好在室温下就已经达到了这个条件。韦伯的钻石则不然，需要高得多的温度才能趋近这个条件。当温度不够高时，固体内高频率的振动像黑体中的紫外辐射一样没能被激发，也就不会参与热运动。因此，固体的比热会随温度降低而逐渐减少：越来越多的自由度在低温下被冻结。

他还做出进一步的预测：当温度降至绝对零度——物理上温度的最低限——时，固体中的所有自由度都会被彻底“冻结”，不存在任何热运动，其比热也会因之降至零。

顺着这个新思路，爱因斯坦构造了一个数学上非常简单化的模型，定性地描述了固体比热随温度的变化，与韦伯的实验结果相当吻合。

有意思的是，爱因斯坦这篇论文中不仅采用了被他看不起的韦伯的成果（图4.2），也援引了他同样不屑的德鲁德的相关观点。在那之前，德鲁德已经创立了金属中的自由电子理论，解决了金属导电、导热等一系列问题 。爱因斯坦指出，德鲁德的自由电子是固体中新的、玻尔兹曼当时不知道的自由度。如果将这些自由度也包括在计算之内，能均分定理便无法得出杜隆和帕蒂的常数。只有在新的量子理论中，才可能有自圆其说的解释：那些自由电子对固体的比热没有贡献，同样是因为它们的自由度未能被激发。 ^[12]

爱因斯坦这篇论文发表时，韦伯早已退休。德鲁德也没能看到当初对他很冒犯的爱因斯坦这一新表现。作为正在脱颖而出的年轻才俊，德鲁德在1906年成为柏林大学物理所负责人，同时也进入了普鲁士科学院。不过正值事业登峰造极之际，他出乎意料地自杀身亡，年仅42岁。 ^[13]

爱因斯坦这篇《普朗克的辐射理论和比热理论》 的论文于1906年底投寄，1907年初问世。这是量子理论在固体物理中的第一个应用，由此开创了量子固体物理学。

在这篇论文中，爱因斯坦旗帜鲜明地指出，这个“普朗克的”辐射理论应该是普适的。它不仅适用于电磁波的吸收、发射，真空中的电磁波，还适用于固体中与电磁波完全无关的原子振荡。因为物理科学中所有领域都存在某种振荡的模式，爱因斯坦认为它们都将成为新理论的用武之地。在他的眼里，已经开始有了一个崭新、奇异的量子世界。

在那个年代，这个新世界还只存在于这一个孤独、固执的施瓦本人的目光中。 fc+22ZAxVDaXaDY84OWxeL8dFWcVclA4tphHNR8t8hWsHqj909teFULziXIWHZ4K