3-3　自动微分

反向传导时，会更新每一层的权重，这时就轮到偏微分运算派上用场，所以，深度学习框架的第二项主要功能就是自动微分(Automatic Differentiation)。

下列程序代码请参考【03_02_自动微分.ipynb】。

（1）变量 y 会对 x 自动微分，代码如下。

变量 x 要参与自动微分，须指定参数requires_grad=True。

设定 y 是 x 的多项式，y.grad_fn可取得 y 的梯度函数。

执行y.backward()，会进行反向传导，即偏微分 。

通过x.grad可取得梯度，若有多个变量也是如此。

执行结果中 x ^2对 x 自动偏微分，得2 x ，因 x =4，故 x 梯度=8。

（2）下列程序代码可取得自动微分相关的属性值。

执行结果。

（3）来看一个较复杂的例子，以神经网络进行分类时，常使用交叉熵(Cross Entropy)作为损失函数，下图表达Cross Entropy= CE ( y , wx + b )。

PyTorch会依据程序，建构运算图(Computational Graph)，描述梯度下降时，变量运算的顺序如下所示，先算 x ，再算 z ，最后计算 loss 。

torch.nn.functional.binary_cross_entropy_with_logits是PyTorch提供的交叉熵函数。

执行结果：

（4）自动微分中， z 是 w 、 b 的函数，而 loss 又是 z 的函数，故只要对 loss 进行反向传导即可。

执行结果中， w 、 b 梯度分别为：

（5）TensorFlow使用常数(Constant)及变量(Variable)，而PyTorch自v0.4.0起已弃用Variable，直接使用tensor即可，但网络上依然常见Variable，特此说明，详情请参阅本章参考文献 ^[1] 。

上例以torch.ones替代Variable。

（6）模型训练时，会反复执行正向/反向传导，以找到最佳解，因此，梯度下降会执行很多次，这时要注意两件事：

·　y.backward执行后，预设会将运算图销毁，y.backward将无法再执行，故要保留运算图，须加参数retain_graph=True。

·　梯度会不断累加，因此，执行y.backward后要重置(Reset)梯度，指令如下：x.grad.zero_()

（7）不重置梯度代码如下：

执行结果：

一次梯度下降=75.0；

二次梯度下降=150.0；

三次梯度下降=225.0。

二次、三次梯度下降应该都是75，结果都累加。

（8）使用x.grad.zero_()梯度重置代码如下。

（9）多个变量梯度下降。

执行结果：z=6*(x^5)=18750。

接着改写【02_02_梯度下降法.ipynb】，将改用PyTorch函数微分。

（1）只更动微分函数：原来是自己手动计算，现改用自动微分。

执行结果：与【02_02_梯度下降法.ipynb】相同。

（2）再将函数改为2 x ⁴ -3 x ² +2 x -20。要缩小学习率(0.001)，免得错过最小值，同时增大执行周期数(15000)。

执行结果：与【02_02_梯度下降法.ipynb】相同。

最后来操作一个完整范例，使用梯度下降法对线性回归求解，方程式如下，求 w 、 b 的最佳解。

y = wx + b

下列程序代码请参考【03_03_简单线性回归.ipynb】。

（1）载入套件。

（2）定义训练函数：

·　刚开始 w 、 b 初始值均可设为任意值，这里使用正态分布之随机数。

·　定义损失函数= MSE ，公式见11行。

·　依照2-3-3节证明，权重更新公式如下：

新权重=原权重-学习率(learning_rate)×梯度(gradient)

·　权重更新必须“设定不参与梯度下降”才能运算，参见第14~18行。

·　每一训练周期的 w 、 b 、损失函数都存储至数组，以利后续观察，参见第22~24行。要取得 w 、 b 、损失函数的值，可以使用.item()转为常数，也可以使用.detach().numpy()转为NumPy数组，detach作用是将变量脱离梯度下降的控制。

·　记得梯度重置，包括 w 、 b 。

（3）产生线性随机数据100笔，介于0~50。

（4）执行训练。

执行结果： w =0.942326545715332, b =1.1824959516525269。

（5）执行训练100000次。

执行结果有差异： w =0.8514814972877502, b =4.500218868255615。

（6）以NumPy验证。

执行结果： w =0.8510051491073364, b =4.517198474698629。结果与梯度下降法训练100000次较相近，显示梯度下降法收敛较慢，需要较多执行周期的训练，这与默认的学习率(lr)有关，读者可以调整反复测试。所以说深度学习必须靠试验与经验，才能找到最佳参数值。

（7）训练100次的模型绘图验证。

执行结果：虽然训练次数不足，但回归线也确实在样本点的中线。

（8）NumPy模型绘图验证。

执行结果：回归线在样本点的中线。

（9）损失函数绘图验证。

执行结果：大约在第10个执行周期后就收敛了。

有了PyTorch自动微分的功能，反向传导变得非常简单，若要改用其他损失函数，只须修改一下公式，其他程序代码都照旧就可以了。这一节模型训练的程序架构非常重要，只要熟悉每个环节，后续复杂的模型也可以运用自如。 AbSN3Vy2Xlv3DRMiHI17jvEQqtX8i43VfVMZ7SvlLR7A1N1mRx8WKUCGavJI06K5