2-2　万般皆自“回归”起

要探究神经网络优化的过程，要先了解简单线性回归求解，线性回归方程式如下：

y = wx + b

已知样本( x , y )，要求解方程式中的参数权重( w )、偏差( b )。

一般求解方法有两种：

（1）最小平方法(Ordinary Least Square, OLS)；

（2）最大似然估计法(Maximum Likelihood Estimation, MLE)。

以最小平方法为例，首先定义目标函数(Object Function)或称损失函数(Loss Function)为均方误差(MSE)，即预测值与实际值差距的平方和，MSE当然越小越好，所以它是一个最小化的问题，我们可以利用偏微分推导出公式，过程如下。

（1）

其中 ε ：误差，即实际值( y )与预测值 之差；

n ：样本个数。

（2） MSE = SSE / n ， n 为常数，不影响求解，可忽略。

（3）分别对 w 及 b 偏微分，并且令一阶导数=0，可以得到两个联立方程式，进而求得 w 及 b 。

（4）先对 b 偏微分，又因

f ′( x )= g ( x ) g ( x )= g ′( x ) g ( x )+ g ( x ) g ′( x )=2 g ( x ) g ′( x )

→ 两边同除以2

→ 分解

→ 除以 n ， 为 x 、 y 的平均数

→ 移项

（5）对 w 偏微分：

→ 两边同除以-2

→ 分解

→ 代入步骤(4)的计算结果

→ 化简

结论：

范例1.现有一个世界人口统计数据集，以年度(year)为 x ，人口数为 y ，按上述公式计算回归系数 w 、 b 。

下列程序代码请参考【02_01_线性回归.ipynb】。

（1）使用Pandas相关函数计算，程序如下：

执行结果：

w =0.061159358661557375， b =-116.35631056117687

（2）改用NumPy的现成函数polyfit验算：

执行结果：答案相差不大。

w =0.061159358661554586, b =-116.35631056117121

（3）上面公式， x 只限一个，若以矩阵计算则更具通用性，多元回归亦可适用，即模型可以有多个特征( x )，为简化模型，将 b 视为 w 的一环：

一样对 SSE 偏微分，一阶导数=0有最小值，公式推导如下：

→ 移项、整理

( xx ′) w = xy

→ 移项

w =( xx ′) ⁻¹ xy

（4）使用NumPy相关函数计算，程序如下：

执行结果与上一段相同。

范例2.再以Scikit-Learn的房价数据集为例，求解线性回归，该数据集有多个特征( x )。

（1）以矩阵计算的方式，完全不变。

执行结果如下：

（2）以Scikit-Learn的线性回归类别验证答案。

执行结果与采用矩阵计算的结果完全相同。

（3）PyTorch自v1.9起提供线性代数函数库 ^[1] ，可直接调用，程序改写如下：

执行结果与NumPy计算完全相同。 opLtXiDmAATX5sfX847i8Ug1AiTazxcAzTC2fEYJYElWOwR11uvFwkOpsTBbnsFg