美的价值

如果说哲学家之间的争执澄清了一件事，那就是数学关乎某些非常抽象的东西。难怪初中生经常弄不清它有什么用。数学似乎和我们周围的世界无关。如果你把数学看成一个独立的世界，它完全不会和物质世界发生任何接触，那么的确如此。如果你把数学看成一个故事，那么这个故事和我们的现实世界又有什么关系呢？归根结底，既然我们不会通过阅读夏洛克·福尔摩斯的故事来了解昔日的伦敦，那我们又为什么要学习数学的故事呢？既然数学和物质世界无关，我们怎么可能用它来理解这个世界？

实际上，数学能为我们理解周围的世界提供极大的帮助。在第一章中，我们看到了好几个例子，即数学如何发挥重要作用，让问题变得更简单。它之所以能提供帮助，正是因为它是抽象的——而且它提供帮助的场合不仅限于日常生活。几个世纪以来，科学家也一直利用数学做出新发现，这十分出人意料，因为他们的经历表明，数学甚至比我们从上一章的例子中所了解到的更有用。

我们不妨从艾萨克·牛顿（1643—1727）开始。年轻的牛顿坐在一棵苹果树下，望着周围的乡村。突然，一颗苹果砸在他的头上，牛顿恍然大悟：“是了！这就是引力！”至少故事里是这么说的。不管这个苹果存不存在，牛顿关于引力的想法是开创性的。有史以来第一次有人意识并诠释地球上的东西为什么会往下掉，同样地，恒星和行星的运动也可以用这种理论来解释。剩下的就是历史了。我们都知道，牛顿的想法很聪明，绝不是什么把两件毫无关系的事情硬扯到一起的疯狂理论。

但是，那个时代的人恰恰认为牛顿的理论太疯狂了。牛顿把引力描述成一种远距离作用力，它使得物体以一种近乎奇幻的方式互相吸引。当时的人们相信，万事万物必须互相接触才能产生影响。牛顿的想法太奇怪了：没有任何互动的物体怎么能影响彼此呢？如果这两个天体完全没有任何接触，那么地球怎么“知道”太阳就在那里，太阳怎么把地球往自己的方向拉扯？多亏了爱因斯坦，我们现在可以很好地回答这个问题，但在牛顿提出引力理论的时代，这个问题还没得到妥善的解答，只有一些令人印象深刻的数学。问题是，这些数学也是对的吗？

我们知道牛顿基本上是对的，这得感谢他的理论做出的预测。现在，我们可以更准确地测量一切，并看到这些预测和现实的契合度很高。在牛顿那个时代，人们很难看出他的理论才是最好的。科学家们的观测结果与牛顿预测值之间的偏差有时候高达4%，但牛顿还是觉得，一套能同时适用于地球和其他所有天体的理论才是更好的。这样的理论更“简洁”，它不光在物理学方面更简单，在数学上也没那么复杂。

让人惊讶的是后来发生的事。物理学家继续验证牛顿理论。靠着我们如今拥有的仪器，它们当然比牛顿时代任何设备都精确得多，我们知道，他的理论误差绝不超过0.000 1%。虽然他自己并不知道，对简单数学的偏爱最终让他的理论大获成功。尽管牛顿在英国乡村那棵苹果树下想出这套理论的时候还无法做出准确的测量，但后来人们证明了他的数学预测准确度极高。

疑心重的读者可能会说，这一切不过是巧合，比起其他那些名字早已被我们遗忘的人来，牛顿只是运气很好。就算牛顿的发现真的只是巧合，但类似的故事多到了不容忽视的地步。哥白尼提出了直到今天我们还在使用的太阳系模型：太阳在中间，地球绕着它运转。和那些一个比一个复杂的地球在中间、太阳绕着它转的模型相比，哥白尼的模型也使用了更简单、更优雅的数学。

事实上，哥白尼的预测可靠性不如那些更复杂的理论。这是因为，他以为地球的公转轨道是一个圆，但它实际上是椭圆形的。但最后事实证明，更简单的哥白尼理论——数学家们更偏爱的那种——更好。

更值得注意的是保罗·狄拉克在20世纪初做出的发现。当时他正在研究量子力学。和牛顿一样，他的目标是用同一种方式解释物理学的不同方面。他也使用了一套数学模型，它产生的结果符合人们当时的认知。

但狄拉克遇到了一个问题。虽然他的模型完成了既定目标，但它还额外做出了一些奇怪的预测。电子是狄拉克感兴趣的东西之一，这是一种绕着原子核旋转的小粒子。当时的物理学家对电子已经有了不少了解，狄拉克的方程非常准确地描述了它们的行为。但是，根据这个方程，应该存在另一种粒子，它与电子处处相反。当时谁也没见过这种粒子，也没有任何理由相信它存在。

我们现在知道，狄拉克的数学模型做出了一个全新的预测。但在20世纪初，狄拉克和其他物理学家过了好一阵子才意识到这是怎么回事。起初，狄拉克提出，这种神秘的反粒子是质子。当时质子已经被发现了，它携带一个正电荷，而电子携带负电荷。但这是不可能的：质子比电子重得多，所以它不可能与电子处处相反。狄拉克找不到任何解决方案，除非存在一种新的粒子：正电子或反电子。

截至目前，我们在本书举出的案例中还没见过这样的事情。在这个例子里，数学所做的不仅仅是让问题变得更简单，或者做出超乎预期的预测；它还预测了某种我们前所未见的东西的存在。科学家们开始寻找这种新粒子，这完全是因为狄拉克的数学理论看起来无懈可击、不像是错的。

于是，他们挖到了金子。狄拉克做出预测后不久，卡尔·戴维·安德森证明了正电子的存在；1936年，就在他做出这一发现的短短四年后，他获得了诺贝尔奖。正电子不光是电子的反粒子，它还是有史以来人类发现的第一种反物质粒子。数学让正电子的发现成为可能。

在物理学中还有更多类似这样的发现，数学中某些奇怪的东西最终被证明是正确的。大约在1823年，奥古斯丁·菲涅耳对光的行为产生了兴趣。作为物理学家，他也设计了一个简单而紧凑的数学方程，以解释我们周围世界里的一些东西：光被反射的时候会发生什么，比如说被一面镜子反射时。

镜子这个例子很简单，因为它反射光的方式非常准确、可预测。如果你站在一面镜子的正前方，光会直接反射回来，你就会看到你自己。但要是你从某个角度望向镜子，看到的就不再是自己，而是另一边的某个东西，它和镜子的距离与你和镜子的距离完全相等。

菲涅耳的学术追求不止于此。他想知道的是，比如说，光从水中射入空气的时候会发生什么，或者光从空气中射入透明玻璃的时候会发生什么。这听起来很难，但菲涅耳设计的方程并不比镜子涉及的方程更复杂。他只需要增加一个符号。这个数学方程同样简单而紧凑，但和狄拉克的模型一样，它也会产生奇怪的结果。

菲涅耳的方程预测了光有时候会被折向一个不可能的角度。他的数学模型引入了复数，这种“额外”的数字指代的不是我们能用正常方式数出来的东西。当时人们觉得，复数能简化计算，但不能太跟它较真。可当菲涅耳算出了复数的时候，他恐慌了：他的简洁模型预测了某种完全不可能的东西！

菲涅耳由于不想放弃自己的模型，于是决定假设这个奇怪的结果是正确的。他做对了：在模型产生奇怪结果的那些情况下，光展现出了完全符合计算的非常奇妙的行为——他的计算结果归根结底其实没那么奇怪。就连光从水中射向空气的时候都会产生完美的反射，仿佛水面是一面镜子。菲涅耳用他的数学模型发现的是当时物理学家还没有认真思考过的东西。但我们大家现在都知道它。看看图片中的海龟是如何被反射在水面上的。菲涅耳模型产生的奇怪结果，那个谁也不想要的复数，描述的正是这种反射。简洁的数学方程再次被证明是正确的；它产生的奇怪结果让我们看到了前所未见的东西。

这些例子展现了数学能以这么多方式发挥重要作用。它让问题变得更简单，让物理学家得以发现新的东西。这完全是因为他们偏爱简洁的数学模型，并把偶尔出现的奇怪结果当成整体的一部分全盘接受。就算没有任何证据表明这些数学理论是正确的，他们仍坚持自己的方程，而且事实一次又一次证明，他们的坚持很有道理。

当然，事情并不是每次都这么顺利。最终被证明错误的理论同样多不胜数，无论它的数学模型简洁与否。但令人惊讶的是，这种情况出现得很频繁：科学家因其简洁而偏爱的数学模型的确帮助了我们更好地理解世界。对于任何一个思考数学——无论以何种方式——的人来说，这是一个必须解开的谜题。数学显然有用，但我们怎么可能如此成功地应用它呢？

让我们回到柏拉图的抽象世界。那个远离日常生活的数字世界和我们、和物理学家试图描述的世界全然无关。对我们周围的世界做出预测的数学并非来自物理世界，所以，那些预测似乎也是凭空冒出来的。数学世界怎么会知道真实世界的事情？

夏洛克·福尔摩斯的故事也不能帮我们回答这些问题。故事可能不像柏拉图所阐释的数字那样远离现实世界，但无论现在还是未来，它都是虚构的。在牛顿的方程被设计出来以前，我们并不知道它能如此有效地帮助我们理解引力。狄拉克构建方程的时候也没有任何人知道正电子的存在。同样，如果我们发现夏洛克·福尔摩斯的故事里关于当时伦敦的一些事情竟然是真的，那也会很奇怪，因为这都是亚瑟·柯南·道尔编出来的，他把它们写进故事，只是为了满足剧情需要。

所以，我们才这么想弄清楚数学到底如何运作。我可以举出海量的例子来证明数学是多么有用。在下面的章节中，我要做的正是这件事，专注于讲述它如何直接影响我们的日常生活。在最后一章里，我会回到自我成为哲学家以来就一直痴迷的那个问题：数学怎么可能这么有用呢？

但这并不是我在本书中提到的最重要的问题。首先，我们必须承认，数学有用，自己懂一点数学很重要。归根结底，就算知道数学有用，但要是你自己根本用不着，那你为什么要在乎它呢？你就不能完全不跟数学打交道，却依然快乐地生活下去吗？ 9hilb5YtTjJiCglPCqFCeetnuWe5ZtGnMJDcVhCqo8NaUjG9iQoGSA88R/fktGcI