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一群囚犯被铁链锁在墙边。他们的头被固定了，只能看到面前没有窗户的另一堵墙。对于一辈子都被锁在这堵墙边的他们来说，唯一真实的事物就是面前那堵墙上的影子。要是靠得够近，他们就能摸到那些影子。他们谁也不知道监狱以外的生活是什么样的。他们的世界里只有影子。
柏拉图的洞穴寓言就是这样开始的。柏拉图把我们比作洞穴里的囚犯，我们在自己周围看到的，只是无法直接被我们看到的某些东西投下的影子。比如说，你坐在一张桌子旁边，当然，这张桌子的确存在；但柏拉图把它看作墙上的影子之一。他感兴趣的不是这张特定的桌子，而是联系着所有桌子的抽象概念，是它让你面前的这件物品成了一张桌子，而不是其他的什么东西。你无法直接看到这个抽象概念。你必须弄清它到底是什么，是什么在这堵墙上投下了影子。你通过观察周围各种各样的桌子来完成这个任务。
按照柏拉图的说法，数学也是这样运作的。数学到底是干什么的？对柏拉图来说，数字就是投下影子的抽象概念之一。这就是他的答案。我们无法直接看到它们。你不能把一个数字抓在手里，也不会在边看手机边走路的时候踢到它。当然，我可以写下一个数字，比如“2”，但正如“太阳”这个词不是一颗恒星，数字“2”也不是我现在说的这个意义上的数字。用柏拉图的例子来说，我们周围的世界不过是一些影子，而数字总是藏在我们背后的某个地方。
我们可以用这种方式看待数学。谈到数字的时候，举个例子，1+1=2，如果是这样的，那么我们讨论的是真正存在的一些东西。但它们存在的方式和你面前的这张桌子不一样。柏拉图认为，它们“更真实”，因为他觉得抽象的知识比关乎具体事物的知识更有价值，所以他才会把人们平时在身边看到的东西理解成抽象概念的“影子”，并相信数字和其他“真实”事物飘浮在另一个宇宙中。我觉得这扯得有点儿远了，但他看待数字的理念影响深远，以至于直到今天，我们仍把那些赞同他的主张的人称为“柏拉图主义者”。
那么，数学也是这样吗？用这种方式看待数学似乎很合逻辑。你的数学老师向你描述数学世界是什么样的：那是一个真实的世界，只是你看不见它。数学家们研究那个世界，就像物理学家研究我们能看见的世界一样。结果，数学看起来离我们的日常生活十分遥远。难怪有那么多人跟数学不对付：了解那个世界之前，你必须先搞清楚该怎么找到那个世界。
如果你无论如何都没法看到、触摸到、闻到或者感知到一个世界，那你该如何了解和它有关的知识呢？根据柏拉图和柏拉图主义者的说法，数学独立于我们日常生活中的所有东西。但它也不是完全独立的：柏拉图以朋友家的奴隶为例，来说明我们能以何种方式接触数学。这名没受过教育的奴隶得到命令，要在沙子上画一个面积两倍于已有正方形的正方形，但不能做任何测量。这实在很困难。你如果把正方形的每条边延长到原来的两倍，最后会得到一个四倍于原面积的正方形。要在不用尺子的情况下解决这个问题，你需要一个巧妙的方案。
在柏拉图的例子里，这名奴隶身边的人向他提出了各种问题。这些问题经过精挑细选、具有诱导性，所以奴隶明白了，应该先在原始的正方形里画一条对角线。在下面的示意图里，原始的正方形用浅灰色标了出来。在它旁边画三个大小相同的正方形，构成一个四倍于原面积的大正方形。然后，用示意图中的虚线将这个大正方形分成两半。于是，你得到了一个恰好两倍于原面积的正方形。
如何画一个两倍于原面积的正方形
在这个例子里，柏拉图帮助这名奴隶的唯一方式是提问。奴隶逐渐“自己”明白了该如何把正方形的面积扩大一倍。柏拉图想向我们展现数学如何运作，他说奴隶实际上早就知道这个答案；哲学家只是帮他把答案想了起来。柏拉图宣称，这是因为我们前世已经知道了所有的数学知识。这些知识仍埋藏在我们的潜意识深处。按照柏拉图的说法，要学习数学，我们只需要回想起自己已经知道的东西。
这听起来其实有点儿牵强，我希望你也这么认为，因为柏拉图的解决方案毫无道理。在他的例子里，他给奴隶提问题实际上是在作弊。他把解法先画了出来，然后问了一堆“是不是”的问题，以证明使用对角线的技巧是有用的。这名奴隶之所以能“教会自己”，完全是因为柏拉图以提问的形式一步步向他解释了整个过程。然后柏拉图宣称，这些东西全都来自奴隶前世的记忆：往最轻里说，他的前世肯定非常特别。
那么，既然柏拉图的方案毫无道理，我们到底该怎么了解数学世界呢？真相是，我们自己也不清楚。如今的柏拉图主义者——相信数学关乎真实数字的人——用别的方式回答了这个问题。至于他们的答案对不对，那又是另一回事了。当然，他们的确认为，我们可以学习数学：说到底，我们刚刚才学会了该怎么画一个两倍于原面积的正方形。就连基础很差的小学生也知道一些和数字有关的知识。柏拉图主义者只是没搞明白这是怎么做到的，数学世界抽象得看不见摸不着，我们怎么可能学到关于它的任何知识。
但我们为什么会觉得数学世界抽象得看不见摸不着呢？柏拉图认为，这是因为他那个时代有很多数学家这样说，直到今天仍有很多数学家持有同样的看法。但我们应该相信他们吗？现代有一大群哲学家表示，最好别信。忘了洞穴里的囚犯吧，想想夏洛克·福尔摩斯。