引言

让我们回到过去。我表情呆滞地望着我的数学老师。电子黑板上写着一串公式，还画了一幅图，图上有一条曲线和几条与它相交的直线。和其他每个学数学的初三生一样，我必须弄懂这些方程和图形的含义。为什么？就我个人而言，是因为我想学天文。当时我不知道的是，我实在太没耐心，所以根本学不好这门学科。但要是我那时候就知道呢？而且知道我最后学的专业几乎从来不用计算？那我就会打开谷歌（Google）输入下面这个问题：数学有什么用？

谷歌反馈的第一条结果是荷兰一份日报上的一篇文章，讲的是毕达哥拉斯定理和怎么切比萨，十分具体，但它只说明了数学很小的一部分用途。要是没有数学，我甚至没法用谷歌来搜索这个问题的答案，或者只能搜到一篇和问题完全无关的文章。谷歌这样的搜索引擎必须依靠数学才能工作。我指的不光是计算机采用了二进制；谷歌利用了数学中一个巧妙的分支来为我的问题寻找一个有价值的答案。在谷歌创始人谢尔盖·布林和拉里·佩奇于1998年设计出这种方法之前，比如你在搜索框中输入“比尔·克林顿”，只会得到他的照片和当时的那个笑话。如果你用雅虎（Yahoo）搜索“Yahoo”，关于它本身的词条甚至不会出现在前十！幸运的是，现在情况变了——为此我们应该感谢数学。

但时至今日，还有很多人和初中时的我有同样的感觉。对他们来说，数学是一面写得满满当当的黑板，上面的方程几乎都看不懂，而且你一旦离开学校就再也不需要它了。难怪那么多人觉得数学似乎既无法理解又没用。但事实恰恰相反：数学在我们的现代社会中扮演着非常重要的角色，只要把眼光放到方程以外的地方，其实它也没有我们平时想的那么难理解。谷歌为我们选择信息的方式，展现了数学对我们的日常生活有多么大的影响，包括正面的和负面的。谷歌、脸书（Facebook）和推特（Twitter）这样的数字化服务能强化人们已有的意见和信念。今天我们经常看到假新闻，这很难避免，部分原因就是这些服务运作的方式。要想学会怎么与假新闻斗争，首先我们必须理解互联网服务如何强化我们的意见，以及要改变它们的运作方式为什么很难。

在这本书中，我想展现数学是多么有用。现在我对数学有了更深的了解，从某种意义上说，这本书是写给小时候的我的；但它同样写给那些和以前的我一样，觉得数学计算又难学又没用，并且为自己和数学扯不上关系而感到庆幸的人。因为我是数学哲学家，关于数学如何运作以及我们如何学习数学，我思考得很多，所以我知道，它和我们所有人都有着密切的关系，无论我们在工作中用不用得上它。数学绝不仅仅是方程，所以这本书里的方程才这么少。如果你想解决一个具体的问题，方程确实有用，但它们常常分散你的注意力，让你看不到数学背后的理念。

在这本书中，为了展现数学其实不像很多人想的那样与我们毫不相关且难以理解，我会介绍数学的几个领域和它们背后的理念。这些领域的应用多得惊人，而且谁都能轻松理解，要是我们能忘记那些方程，那就更轻松了。比如说图论，既可以用于谷歌这样的搜索引擎、对搜索结果进行排序，也可以应用于预测癌症患者对某种特定疗法有何反应，还可以用于研究大城市里的交通流。

我在本书中介绍的现代数学其他领域的情况也一样，譬如统计学和微积分。它们背后的理念往往简单得出乎意料，而且比你在学校里学这些东西时所以为的有用得多。我们几乎每天都会在新闻里接触统计学，涉及罪案、经济、政治等领域的数据。很多时候我们并不清楚这些数据到底意味着什么，以及它们来自哪里。早在一个世纪前，人们就警告过，误导性的统计数据会带来什么危险。这是有道理的。时至今日，这些警告甚至变得更加重要。

和图论一样，微积分之所以有用，是因为它让各种应用得以实现。而对此，我们甚至都没有意识到。自工业革命以来，人们一直在应用微积分提高蒸汽机的效率，让汽车实现自动驾驶，修建摩天大楼，诸如此类，多不胜数。如果说有哪个数学领域改变了历史，那就是微积分。

但在我更详细地讨论数学的众多现代应用之前，我们必须先回到它的源头。这并不意味着寻找复杂的历史结论或者考证古代的先贤学者，而是检视人类自身的历史。我们每个人生来就拥有五花八门的数学技巧，靠着它们，哪怕不上数学课，我们也能生存下来。但历史告诉我们，等到人们过起了大集体生活，这些与生俱来的技巧就不够用了。当社会发展到某个特定阶段，由于规模过大，它离开数学便不能正常运转，于是我们不得不将注意力转向算术和几何。有的文明没有发展出任何形式的数学，也依然幸存了下来，但其社会规模一直不大，都没有发展起城镇。组织一个社群，为了确保安全而修建房屋和其他建筑，以及调节食物供给等，做好这类事情需要抽象的数学。数学让实际的问题变得更简单，让我们周围的世界变得更容易掌控。

数学到底有什么用？这个问题问的不仅是数学的实际应用，它首先问的是哲学。所以这本书始于哲学，到最后又回归哲学。许多个世纪以来，数学哲学家们一直在自问——数学到底是什么？它如何运作？他们反而不会过于操心求和、方程之类的事情。这些问题中有一部分还没得到解答，但数学哲学发展至今，已经足以让我们知道，正确的答案看起来应该是什么样子。

不过，和大部分哲学问题一样，你必须确定自己对数学的看法，你觉得哪些答案最有吸引力，以及你对如今人们使用数学的方式是否满意。比如说，脸书是否利大于弊？这个问题我留给你自己来回答。与此同时，我会试着解释，数学在脸书这样的社交服务平台中发挥着怎样的作用，如今我们都很熟悉的弊端为什么会出现，以及这些弊端为什么不能通过简单地改变它们背后的数学理念来解决。