2.2　双端口网络理论和信号流图

射频微波电路的设计通常都是非常复杂的，涉及有源器件（双极型晶体管、MOS晶体管等）、无源元件（电阻、电感、电容等）甚至分布式元件（微带线等）。简洁高效地分析这些电路，就需要用到双端口网络这个理论工具。双端口网络分析就是完全屏蔽掉电路内部信息，仅利用输入端口和输出端口的一些表征参数来代替整个电路进行分析。这些参数主要用来表征输入/输出端的阻抗匹配性能，以及源端和负载端匹配时的电路前向增益和后向隔离度。对于存在输入源和输出负载情况下的功率传输、电压传输和电流传输等涉及系统性能的核心指标计算，还需要借助信号流图来进行分析。信号流图是一种非常有用的分析工具，除了广泛应用于射频微波电路设计，在低频模拟领域进行有源滤波器设计时，也是一个必不可少的辅助手段 [1] 。

2.2.1　双端口网络

对于一个完整的射频微波电路，将中间电路结构打包封闭，仅剩余输入端口和输出端口，形成一个双端口网络，并通过特征阻抗为 Z 0 的传输线，将源连接至双端口网络的输入端口，将负载连接至双端口网络的输出端口，组成一个完整的功率传输系统，如图2-8所示。

由式（2-38）可知，驻波不会产生功率的传输，即只有行波才能进行功率传输。反射波成分越多，驻波越明显，传输的功率越小，因此可以把功率理解为一个一维线性矢量，入射功率和反射功率便是两个符号相反的功率值。在式（2-25）中，令

V + ( d )= A 1 e j βd

（2-55）

V − ( d )= B 1 e −j βd

（2-56）

则

V ( d )= V + ( d )+ V − ( d )

（2-57）

且

联立式（2-57）和式（2-58），可得

对比图2-8中所标注参量，并令

式中， i =1,2。当 i =1 时式（2-63）和式（2-64）分别表示输入端口的入射电压和反射电压，当 i =2 时式（2-63）和式（2-64）分别表示输出端口的入射电压和反射电压。由于双端口网络两边的对称性，下面仅针对源端进行分析，结果可以等同到负载端。观察图2-8的源端，有

V 1 ( l )= E 1 + Z S I 1 ( l )

（2-65）

针对一种典型的情况 Z S = Z 0 进行分析，将式（2-65）代入式（2-60），可得

由式（2-18）可得

a 1 (0)= a 1 ( l )e −j βl

（2-67）

双端口网络的输入端反射系数为 Γ in0 ，则

b 1 (0)= a 1 (0) Γ in0 = a 1 ( l ) Γ in0 e −j βl

（2-68）

当源端与传输线特征阻抗匹配时，传输至双端口网络输入端的功率为

这是一个很有意义的结论。对比式（2-38），不难看出，当源阻抗与传输线特征阻抗匹配时，传输线中的入射功率始终等于源端的最大传输功率。实际传输功率还需要从中减去一部分反射功率。反射功率取决于输入端口的输入阻抗与传输线特征阻抗的匹配性能。

上面的分析均是基于传输线的波动特性进行的推导。为了更好地利用双端口网络理论来简化射频微波电路的复杂分析，考虑一个完整功率传输系统的所有因素，定义如下：

（1）源端反射系数 Γ S

源端反射系数 Γ S 主要衡量信号源内阻 Z S 与传输线特征阻抗 Z 0 的匹配程度。根据2.1.4节的分析可得

式中， b 1 为从输入端口（端口1）到源端的入射电压； a 1 为从源端到输入端口的反射电压。

（2）负载端反射系数 Γ L

负载端反射系数 Γ L 主要衡量负载 Z L 与传输线特征阻抗 Z 0 的匹配程度。

式中， b 2 为从输出端口（端口2）到负载端的入射电压； a 2 为从负载端到输出端口的反射电压。

（3）输入端口反射系数 Γ in

输入端口反射系数 Γ in 主要衡量输入端口（端口1）的输入阻抗 Z in 与传输线特征阻抗 Z 0 的匹配程度，是一个系统级的表征参数，不对其他匹配作要求，可得

式中， a 1 为从源端到输入端口的入射电压； b 1 为从输入端口到源端的反射电压。该反射系数和上述分析中的 Γ in0 相同。

（4）输出端口反射系数 Γ out

输出端口反射系数 Γ out 主要衡量输出端口（端口2）的输出阻抗 Z out 与传输线特征阻抗 Z 0 的匹配程度，是一个系统级的表征参数，不对其他匹配作要求，可得

式中， a 2 为从负载端到输出端口的入射电压； b 2 为从输出端口到负载端的反射电压。

下面对双端口网络的四个表征参数进行定义，统一称它们为 S 参数或散射因子。散射因子的定义需要一定的系统级匹配条件，包括源端和负载端必须与传输线特征阻抗匹配，即 Z S = Z 0 或 Z L = Z 0 。

（5）输入端口散射因子 S 11

当负载阻抗与传输线特征阻抗匹配时，散射因子 S 11 等于输入端口的反射系数 Γ in ，可表述为

（6）输出端口散射因子 S 22

当源阻抗与传输线特征阻抗匹配时，散射因子 S 22 等于输出端口的反射系数 Γ out ，可表述为

（7）输入端口到输出端口散射因子 S 21

当负载阻抗与传输线特征阻抗匹配时，散射因子 S 21 通常也被称为负载匹配电路前向增益，可表述为

（8）输出端口到输入端口散射因子 S 12

当源阻抗与传输线特征阻抗匹配时，散射因子 S 12 通常也被称为源端匹配电路后向隔离度，可表述为

之所以在不同的条件下定义反射系数和散射因子，主要是因为反射系数只能对系统的一端（源端或负载端）进行分析，无法建立源端、电路和负载端三者之间的内在联系。例如，输入端反射系数 Γ in 和输出端反射系数 Γ out 可以分别反映输入端阻抗和输出端阻抗与传输线特征阻抗的匹配程度，却无法建立起详细的数学模型来指导设计，尤其电路的稳定性设计。但是通过引入散射因子，可以基于数学模型建立起三者之间的内在联系，进而指导电路设计。

由式（2-69）可知，当源阻抗或负载阻抗与传输线特征阻抗匹配时，针对双端口网络的入射电压 a i (0), i =1,2，均是在最大功率传输情况下的一个电压值，幅度为 E i /2，因此在测量 S 21 和 S 12 时，可以将源和负载均设计为与传输线特征阻抗匹配，此时源端电源和负载端电源可以作为输入参考。对于输出参考，由于源阻抗和负载阻抗均与传输线特征阻抗匹配，因此可以直接通过仿真或测量源阻抗和负载阻抗获得输出电压，进而计算出前向增益 S 21 和后向隔离度 S 12 ，再将所得增益增大6dB即可（在进行带有匹配网络的低噪声放大器设计时，经常会使用该方法）。对于 S 11 和 S 22 ，只需在负载端和源端匹配时分别仿真或测试其输入阻抗和输出阻抗即可求得。

需要说明的是，在进行射频集成电路设计时，由于尺寸和面积问题，大部分情况下都是不会集成微带线结构的，因此在射频集成电路领域，只需令传输线长度 l = 0即可，上述参数和结论不受影响。

2.2.2　信号流图

本节主要介绍信号流图方法，并基于此建立源端、电路和负载端三者之间的内在联系，给出具体的数学模型。

大部分情况下，由于PVT（工艺、电压和温度）的影响，所设计电路的阻抗匹配性能均存在一定的偏差。也就是不管是源端内阻还是负载端负载均与传输线特征阻抗 Z 0 存在出入，此时双端口网络的输入端口散射因子 S 11 和输出端口散射因子 S 22 需要使用输入端口反射系数 Γ in 和输出端口反射系数 Γ out 来替代。下面通过信号流图来建立反射系数和散射因子之间的关系。

当负载端存在失配时，传输至负载的入射波 b 2 会存在一定的反射 a 2 ，由于端口2的反射效应，传输至端口2的入射波 a 2 也会存在一定的反射进而影响 b 2 。一段时间之后， b 2 和 a 2 肯定存在一个稳定的状态，只需将不匹配的负载等效为一个匹配负载和一个电源的串联即可，电源的发射电压和 a 2 ( l )相同，如图2-8所示。源端负载同样可以用这种方法等效。因此对于图2-8所示的功率传输系统，相对于双端口网络，在观察反射波 b 1 时，可以看成两部分的叠加。一部分由源端电源 E 1 引起（ E 1 中包含由失配引入的等效电源部分），一部分由负载端电源 E 2 引起（ E 2 主要是用来等效负载的不匹配部分），则

b 1 (0)= S 11 a 1 (0)+ S 12 a 2 (0)

（2-78）

同理可得

b 2 (0)= S 22 a 2 (0)+ S 21 a 1 (0)

（2-79）

为了更加直观地描述代数方程，S.J.梅森于1953年提出了信号流图方法。信号流图方法是借助拓扑图形求线性方程组解的一种方法，由一系列的节点和方向支线组成，能将各有关变量的因果关系在图中明显地表示出来。对于式（2-78）和式（2-79），可用信号流图表示为图2-9。

由图2-8可知， a 2 是负载端的反射波（由电源 E 2 等效产生），其和负载端反射系数 Γ L 、负载端入射波 b 2 的关系为

a 2 ( l )= Γ L b 2 ( l )

（2-80）

对于源端来说，式（2-65）成立，联立式（2-58）可得

简化后为

a 1 ( l )= b s + Γ S b 1 ( l )

（2-82）

其中

则整个功率传输系统的信号流图如图2-10所示。

根据式（2-18）传输线波动方程，式（2-82）可以变换为

a 1 (0)e j βl = b s + Γ S b 1 (0)e −j βl ⇒ a 1 (0)= b s e −j βl + Γ S e −2j βl b 1 (0)

（2-84）

对于负载端，

根据式（2-84）和式（2-85），图2-10可以变换为图2-11的形式。根据图2-11可以计算出双端口网络的输入端口反射系数 Γ in 和输出端口反射系数 Γ out 。这两个系数是判断一个功率传输系统是否稳定的重要判据，后续会讲到该问题。

由图2-11可得

同理，

如果功率传输系统中不存在传输线，只需令传输线长度 l = 0即可。需要强调的是，在计算反射系数和散射因子时，参考阻抗 Z 0 仍然设定为50Ω，这并不影响计算的结果，在此情况下，参考阻抗设定为其他值也可，结论并不会改变，只是已经习惯采用50Ω来计算。

例2-1 采用集总和分布两种方法计算图2-12中负载的接收功率（其中 Z S 和 Z L 均为实数）。

解：

方法1：集总参数方法

利用KVL可得负载电阻 Z L 上的电压为

则其接收功率为

方法2：分布参数方法

分布系统存在信号的波动，即存在信号的入射和反射现象。利用信号流图方法（其中传输线长度 l = 0）重绘图2-12，如图2-13所示。由上述分析可知， S 11 的测量是在 Z L = Z 0 情况下进行的，因此 S 11 = 0；同理 S 22 = 0。在测量 S 21 和 S 12 时，可以同时令 Z S = Z L = Z 0 ，测得 S 21 = S 12 = 1。

将散射因子代入式（2-86）可得 Γ in = Γ L ，该结果由图2-12也可以直观地看出。回到图2-13，以下两式成立：

b 1 (0)= Γ L a 1 (0)

（2-90）

a 1 (0)= b s + Γ S b 1 (0)

（2-91）

式中， b s 如式（2-83）所示，则有

则传输至负载的功率为

由式（2-93）可知，传输的功率部分与传输线特征阻抗无关，这也印证了传输线阻抗的随意性，只是为了保证损耗最小才选取了50Ω。由本例和上述分析可知，集总系统是分布式系统的一个子集，当电路尺寸相较于传输信号的波长可以忽略时，基于KVL和KCL的集总参数系统是成立的。 xeBjxuUEiMZ/N7C7EkIEq1zRNllBEMEgtxDrxfBVJKyyRkQQTBkDJQIfjO8tACzG