2.1　传输线理论

KVL和KCL是电路与系统中的核心内容，但是两者都仅适用于集总参数系统，不适用于分布式参数系统。对于分布式参数系统，必须引入“波动”的概念。传输线便是一种典型的分布式参数系统。

2.1.1　传输线

传输线是一种能够传输电磁波的线状结构设备。理想传输线可以实现电磁波的无损传输，在阻抗匹配的条件下不存在天线效应，即没有功率损失，不存在辐射干扰等现象。在射频电路中，常用的传输线包括同轴线、微带线和带状线三种，如图2-2所示。

2.1.2　集总参数系统与分布参数系统

集总参数系统和分布式参数系统的核心区别在于是否在空间上存在波动。波动主要是指电压、电流和阻抗（导纳）随距离的分布情况。首先从麦克斯韦方程组定性理解“距离”二字的含义。麦克斯韦方程组的微分形式为

∇⋅ μ 0 H =0

（2-1）

∇⋅ ε 0 E = ρ

（2-2）

式中， 为散度；∇ ×为旋度； H 为磁感应强度； E 为电场强度； ρ 为电荷密度； J 为电流密度； ε 0 为介质介电常数； μ 0 为介质磁导率。从字面意思来理解，“散”表示发散、辐射，“旋”表示旋转，可以理解为在闭合曲线的某点的电场或磁感应强度。

式（2-1）说明不存在纯粹的磁荷，也就是没有磁单极子。这个方程只是一种经验的假设，至少在目前还没有发现磁荷的情况下是正确的。

式（2-2）意味着存在纯粹的电荷，也就是存在电单极子，如正电荷和负电荷，电荷是电场散度的来源。

式（2-3）是麦克斯韦在安培定律的基础上进行的开创性工作，增加了等号右边的第二项，即位移电流项，预言了电磁波的存在。直观观察可以发现：变化的电场会产生旋转的磁场，即改变磁场的旋度。

式（2-4）是法拉第定律，也是发电机的原理，即变化的磁场可以引起电场的旋度。

波动行为的产生可以这样来理解：变化的电场产生磁场，变化的磁场产生电场，而这种互感应是伴随着距离而拓展的，周而复始，产生波动。波动的产生会改变一些经验型理解。例如，经常使用的KVL、KCL甚至欧姆定律都会被限制在一定的使用范围内，而这个限制的因素便是“距离”，也是“集总”和“分布”的本质区别。

现在进行一下简单的分析来帮助理解。对式（2-3）两边分别取散度可得

可以看出，当满足∂ E /∂ t =0 时，即处于静电场模式时，∇⋅ J =0，KCL成立。

同理，由式（2-4）可知，当满足∂ H /∂ t =0 时，即处于静磁场模式时，∇× E =0，KVL成立。

或者可以这样假设，即使电场和磁场均处于波动模式，如果满足 ε 0 = μ 0 =0，KCL和KVL同样也会成立，但是此时电磁波的速度趋于无穷大，波动的波长趋于0，即不存在波动现象。我们往往忽略这样一个事实：麦克斯韦方程中的微分形式均为偏微分，意味着电场强度和磁感应强度除了和时间有关，还和其他变量有关，其中至少要包含“距离”因素，这也是电磁波能够向远处传播所带来的必然结果。既然波动可以影响KCL和KVL的成立，如果波动的距离足够短，在波动距离范围内，可以将电场和磁场等效为静场，此时KCL和KVL近似成立。距离足够短是相对于电磁波的波长而言的，也可以这样理解，如果波动距离与电磁波的波长相比非常小（通常要求要小于电磁波波长的1/10），那么电磁波通过这段距离所需的时间就可以忽略不计，等价于电磁波的速度趋于无穷大，此时便可将系统看成集总系统，采用KVL和KCL对电路进行分析不会产生明显的误差。

由于射频芯片内部的物理尺寸相较于通信频段的电磁波长足够小，因此芯片内部的设计遵循KCL和KVL，可以采用电压或电流的传输模式进行分析（由于较强的寄生效应，微波毫米波频段很难成立，通常需要级间匹配）。对于天线端口与射频芯片之间的馈电部分，由于物理尺寸足够大，KCL和KVL不再成立，需要采用分布式的概念，即波动方程来进行分析。

2.1.3　传输线波动方程

本节从分布的角度来研究传输线中的电压、电流和阻抗（导纳）随距离的变化情况。

如果将传输线进行无限分割，那么传输线可以看作无数集总元件的集合，这些集总元件就是传输线中任意小段的串联寄生电感和并联寄生电容。如果考虑到损耗，还需要加入串联寄生电阻和并联寄生电导。

传输线电路和等效模型如图2-3所示。为了分析的简便，只针对无损模式进行分析，也就是忽略图2-3（b）中的串联电阻 R 和并联电导 G ，如图2-3（c）所示。在一小段长度Δ z 中，串联电感的集总参数为 L Δ z ，并联电容的集总参数为 C Δ z ，利用KVL和KCL可得到如下方程。

两边同除以Δ z ，并令Δ z →0，可得

需要强调的是，传输线是一种线性设备，输出信号相比于输入信号，不会产生除输入频率外其他的频率成分，只是相关参数（如电压和电流）的幅度和相位随传播距离的变化呈现一种分布状态。不失一般性，以单音信号作为输入信号来分析，电压和电流为

v ( t , z )= f ( z )e j φ v ( z ) e j ωt = V ( z )e j ωt

（2-10）

i ( t , z )= g ( z )e j φ i ( z ) e j ωt = I ( z )e j ωt

（2-11）

式中， f ( z ) 为电压幅度随距离的分布情况； φ v ( z ) 为电压相位随距离的分布情况； g ( z ) 为电流幅度随距离的分布情况； φ i ( z ) 为电流相位随距离的分布情况。将式（2-10）和式（2-11）代入式（2-8）和式（2-9），可得

则

将式（2-15）代入式（2-14），可得

式（2-16）属于二阶常系数微分方程，其特征方程为

x 2 + β 2 =0

（2-17）

式中， 为传输线的传输因子（rad/m），决定着电磁波在传输线中的传输速度。式（2-17）的解为 x =±j β ，则式（2-16）的解为

式（2-18）反映了电压在传输线中的分布情况，其中 C 1 、 C 2 、 A 和 B 可以通过传输线的输入端和输出端的边界条件来确定，且满足

式（2-18）中的 A 和 B 是具有实际物理意义的， A 的模为传输线中入射波的电压幅度， B 的模为传输线中反射波的电压幅度。后续讨论传输线终端接负载时，以及引入双端口网络和信号流图概念后会对此进行更详细的说明。

将式（2-18）代入式（2-14），可计算出电流在传输线中的分布情况：

式中， ，为传输线的特征阻抗，与传输线的制作工艺、使用材料和具体结构有关。

下面推导电磁波在传输线中的波长。

将式（2-18）代入式（2-10）可得

v ( t , z )= A e −j( βz − ωt ) + B e j( βz + ωt )

（2-20）

式中，等号右边第一项为入射波成分，第二项为反射波成分。由于反射波和入射波在传输线中传播时具有等效的波动特性，因此这里仅分析入射成分，令

v 1 ( t , z )= A e −j( βz − ωt )

（2-21）

如果传输线足够短，可以将传输线看作集总元件。此时 z 为固定值，也就是入射波仅在固定点随时间做上下摆动，摆动频率为 Ω 。如果传输线足够长， z 便不再固定，入射波在传输线上呈现波动特性，即波形会在传输线上进行传播。假设入射波传播到距离 z 1 时，时间为 t 1 ，到达距离 z 2 时，时间为 t 2 ，则有

v 1 ( t 1 , z 1 )= v 1 ( t 2 , z 2 )

（2-22）

即

式中， v p 为电磁波在传输线中的传播速度，也叫相位传播速度。从外部来看，传输线上的每一个点都在以周期频率2π/ ω 振动，因此电磁波在传输线上的传播周期同样为2π/ ω ，则电磁波在传输线中传播时的波长为

波长由传输因子 β 决定。对于绝大多数的传输线，电磁波在其中的传播速度与光速近似。

2.1.4　传输线终端接负载

本节主要讨论传输线终端挂接负载的情况。

将传输线的坐标进行变换，如图2-4所示，令 d = l − z ，即传输线的终端接负载处是坐标原点，朝向源端的方向为坐标正方向，这样更加有利于分析，则有

V ( d )= A 1 e j βd + B 1 e −j βd

（2-25）

式中， A 1 = A e - j β l ； B 1 = B e j β l 。

定义反射系数 Γ in 为反射波与入射波的比值，则传输线上任意一点的反射系数为

两边取模可得

这也解释了式（2-18）的具体物理意义。再令 d = 0，可得

当初始条件确定后， Γ in (0)为一固定值，也就是说传输线中反射系数的模始终是固定的，用 Γ in0 来替代，则

由式（2-30）和式（2-31）可得传输线上任意一点的传输阻抗为

由图2-4可知，在传输线终端，即负载端， d =0，阻抗为负载阻抗本身 Z L ，则有

因此，

将式（2-34）代入式（2-32）可得传输线上任一点的阻抗为

由式（2-30）可知， A 1 e j βd 为电压的导行波项，即功率的无损传输项，方括号内为调幅项，即驻波项，其波腹为1+| Γ in0 |，波节项为1−| Γ in0 |，如图2-5所示（图示针对 Γ in0 ⩾0 且为实数的情况，对于 Γ in0 ⩽0 的情况，只需要进行 λ /4（ λ 为传输线中电磁波的波长）的平移即可。另外，对于 Γ in0 为复数的情况，也只需进行简单的平移即可）。考虑时间因素，式（2-30）可以重新表达为

V ( d , t )= A 1 e j( βd + ωt ) [1+ Γ in0 e −2j βd ]

（2-36）

因为传输线中传输的信号为实数域信号，因此仅考虑式（2-36）的实数部分（也可以仅考虑虚数部分，原理等同。 A 1 和传输线长度 l 有关，但不会改变电压在传输线上的传输形状，仅产生振动相移。因此可以忽略掉 l 的影响，令传输线长度 l 为传输波长的整数倍）。考虑 t 为0、π/(2 Ω )、π/ Ω 、3π/(2 Ω )四种情况，如图2-5所示。传输线上传输的波形可以分为两部分：驻波和行波。驻波主要是由入射波和反射波的叠加而产生的一种限幅行为（图2-5中的实线波形，波腹和波节均具有周期性，周期为 λ /2，且相邻波腹和波节相差 λ /4）。在 t 为0、π/ Ω 时刻，虽然信号幅度仍然可以达到| A 1 |(1+| Γ in0 |)，但是并不会产生波形的传播。在 t 为π/(2 Ω )、3π/(2 Ω )时刻，由于没有限幅（振动幅度小于驻波的限幅幅度），波形存在传播行为，称为行波。对于电流的传播，波形同电压传播相同，只是存在90°的相移（ λ /4）。

现在来分析一下驻波和行波是如何影响功率传输的。首先为了衡量驻波的大小，需要引入一个参量，电压驻波比（Voltage Standing Wave Ratio，VSWR），并定义为波腹幅度与波节幅度之比：

可以看出，VSWR总是大于或等于1，其值越大，反射系数越大，驻波成分越高；其值越小，反射系数越小，驻波成分越小。传输至负载端的功率为

式中， T 为行波周期。针对图2-3（a）进行分析，并令 Z S = Z 0 （实际情况就是如此），| A 1 | 便是无损传输的电压项， 是指无损传输的功率项，它是由源端功率决定。由式（2-38）可知，反射系数越大，驻波成分越高时，传输到负载端的功率越小。当 、VSWR=1 时，功率无损传输；当 Γ in 0 =1、VSWR=∞时，不存在功率传输。

接下来针对三种典型的情况进行分析：

（1）终端负载阻抗为 Z 0

终端负载阻抗为 Z 0 时， Γ in0 =0，代入式（2-30）、式（2-31）和式（2-35）可得

Z in ( d )= Z 0

（2-41）

因此对于终端负载与传输线自身特征阻抗匹配的情况来说，在传输线上任何一点看向负载的阻抗均为 Z 0 ，其表现为在传输线上一个完全的行波，不存在驻波成分，功率、电压和电流均可无损传输。通常将该种情况称为功率阻抗匹配传输，是射频集成电路输入端进行阻抗匹配的理论依据。

（2）终端短路

终端短路时， Z L =0，负载处反射系数 Γ in0 =−1，传输线处于全反射状态，有

Z in ( d )=j Z 0 tan( β d )

（2-44）

电压和电流在传输线上随距离均呈现波动特性，由于此时VSWR=∞，在负载端不存在功率传输。该结论也可以通过式（2-42）得到，在负载端 d = 0，电压处于驻波波节处，为0，也就是说终端短路系统不会进行功率和电压传输。观察式（2-43）可知，此种情况电流是可以进行无损传输的。这个和我们在集总系统中的直观印象也是相通的。集总系统中可以假设传输线长度 l = 0，如果将上一级模块的输出端接地，则可以将原先流过负载中的电流无损抽取出来。电阻值随传输线距离成正切分布，周期为 λ /2波长，式（2-44）是进行微带线阻抗匹配的一个重要依据。

（3）终端开路

终端开路时， Z L =∞，负载处反射系数 Γ in0 =1，传输线处于全反射状态，有

该情况与传输线终端短路情况类似，不同的是，终端开路可以进行电压无损传输，不可以进行功率和电流无损传输。式（2-45）与集总系统中的开路情况是相同的，只需将传输线的长度看作0，便可以得到类似的结论。

2.1.5　传输线特征阻抗

以同轴线为例来分析传输线特征阻抗的取值问题。

参考图2-6，同轴线的内导体直径为 d 1 ，外导体直径为 d 2 ，中间绝缘层介质介电常数为 ε r 。在高频段，由于趋肤效应，同轴线的传输损耗为

式中， Z 0 为同轴线的特征阻抗。

式（2-49）从直观上很好理解，增大外导体直径 d 2 （外导体厚度不变）会增大介质层厚度，减小内外导体之间的并联寄生电容，从而使特征阻抗增大；减小内导体直径 d 1 ，一方面会增大介质层厚度，减小寄生电容，另一方面还会增大内导体的串联寄生电感，从而增大特征阻抗。介电常数越小，内外导体之间的寄生电容也会越小，特征阻抗相应增大。

将式（2-49）代入式（2-48）可得

式中，内外导体之间介质的介电常数是固定值，变量有两个，即内外导体直径 d 1 和 d 2 。考虑到可制造性、便于使用性和外观， d 2 一般都会预先选取好，因此式（2-50）中仅剩下 d 2 / d 1 项。改变 d 2 / d 1 的值并观察 L T ，当 d 2 / d 1 = 3.6时， L T 最小，即传输损耗最小。对一条用空气（ ε r = 1）作绝缘层的同轴线来说，在最小衰减点处对应的阻抗约为77Ω，但如果使用固体聚乙烯（ ε r = 2.3）作绝缘层的话，最小衰减点对应的阻抗约为51Ω（人们习惯取整为50Ω）。目前在射频通信中，大部分的同轴线都是采用聚乙烯作为绝缘材料的，因此50Ω的特征阻抗便作为一个标准值被确定了下来。

对于微带线（见图2-7），假设导体带的厚度 t 相对于介质的厚度 h 可以忽略不计（ t / h < 0.01）。窄微带线（ w / h < 1）的特征阻抗为

式中， ε e 为有效介电常数。

宽微带线（ w / h > 1）的特征阻抗为

式中， ε e 为效介电常数。

在射频集成电路中，微带线的使用局限性较大，通常都是在PCB上用于连接射频集成电路输入端阻抗匹配网络与天线输出端挂接的同轴线。对于PCB来说，介质材料和厚度一般都是事先固定好的，因此微带线特征阻抗的设计只需要调整导体的宽度，并按照式（2-51）～式（2-54）进行即可。 p80uTLhzNWgypGFhIl4uxvVN8DZvAw3/T8Cg+DJozSqP6VLuR0P5As9phcjeWWv9