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蜉蝣优化算法（mayfly optimization algorithm，MOA）是由Konstantinos Zervoudakis等于2020年提出的一种新型群体智能优化算法，其灵感源于蜉蝣的社会行为，特别是它们的交配过程。
如图1.1所示为蜉蝣。蜉蝣是一种体量很小的昆虫，生长于水泽地带。幼虫期稍长，个别种类有存活两三年的。成虫有两对翅，常在水面飞行，在空中飞舞交配，完成其物种的繁衍后便死亡。成虫寿命很短，只有几小时至一星期左右。
图1.1 蜉蝣
MOA包含雌性蜉蝣群体和雄性蜉蝣群体，在蜉蝣交配行为中，雄性蜉蝣的最优个体和雌性蜉蝣的最优个体进行交配，得到一个最优子代；同理，雄性蜉蝣次优个体和雌性蜉蝣次优个体进行交配得到次优子代，依此类推。这一过程符合优胜劣汰规律，逐步淘汰适应度较差的个体。
假设每个蜉蝣在 d 维搜索空间中的位置为 x =( x 1 , x 2 ,…, x d )，并根据预先确定的目标函数或适应度函数对其进行搜索性能评价。同样，假设每个蜉蝣在 d 维的搜索空间中的速度为 v =( v 1 , v 2 ,…, v d )，每个蜉蝣的飞行方向是个体和社会飞行经验的动态交互，蜉蝣都会朝向目前为止个体历史最优位置（ pbest ），以及当前蜉蝣群体的全局历史最优位置（ gbest ）调整自己的轨迹。
当雄性蜉蝣投放在一个固定的区域内时容易发生聚集行为，向着群体中心位置靠近。蜉蝣个体的位置是按照自身经验或邻近个体的行为进行调节的。
假设
是在第
t
次迭代时雄性蜉蝣
i
在搜索空间中的当前位置，雄性蜉蝣
i
的位置更新是第
t
+1次的迭代速度
加上第
t
次迭代的位置之和，其位置表达式如下：
雄性蜉蝣向中心不断地聚集和移动，并在水面上的一定距离内表演舞蹈，其速度更新如下：
式中，
为雄性蜉蝣
i
在
j
维度第
t
次迭代的速度；
为雄性蜉蝣
i
在
j
维度第
t
次迭代的位置；
a
1
和
a
2
为雄性蜉蝣移动行为的吸引系数；
pbest
ij
为迄今为止雄性蜉蝣
i
的个体历史最优位置；
gbest
j
为迄今为止雄性蜉蝣群体的全局历史最优位置；
为雄性蜉蝣的能见度系数，用于控制雄性蜉蝣的能见范围；
为当前位置与
pbest
ij
的距离；
为当前位置与
gbest
j
的距离。其距离的计算公式如下：
式中， X i 为 pbest 或者 gbest 的位置； X ij 为 pbest 或者 gbest 在 j 维度的位置； x i 为雄性蜉蝣个体 i ； x ij 为雄性蜉蝣个体 i 在 j 维度的位置； n 为雄性蜉蝣的维度上限。
为了得到最优雄性蜉蝣个体的位置，雄性蜉蝣须不断更新速度，其速度更新如下：
式中， d 为舞蹈系数，用于不断吸引异性； r 为[−1,1]之间的随机数。
雌性蜉蝣不会像雄性蜉蝣一样成群结队地聚集，但当雌性蜉蝣被雄性蜉蝣吸引时，雌性蜉蝣会向雄性蜉蝣飞行靠近并交配繁殖，否则雌性蜉蝣会随机飞行。假设
为在第
t
次迭代时雌性蜉蝣
i
在搜索空间中的当前位置，雌性蜉蝣
i
的位置更新是第
t
+1次的迭代速度
加上第
t
次迭代的位置之和，其位置更新如下：
雌性蜉蝣被雄性蜉蝣吸引的过程是随机的，但是在MOA中将这一吸引过程简化为一个确定性过程，即根据蜉蝣的适应度规定，最优的雌性蜉蝣应该被最优的雄性蜉蝣吸引，次优的雌性蜉蝣应该被次优的雄性蜉蝣吸引，以此类推。因此，雌性蜉蝣的速度更新如下：
式中，
为雌性蜉蝣
i
在
j
维度第
t
次迭代的速度；
为雌性蜉蝣
i
在
j
维度第
t
次迭代的位置；
a
2
为雌雄蜉蝣吸引系数；
为一个固定的能见度系数；
r
mf
代表雌性蜉蝣
i
距离雄性蜉蝣
i
的距离；
fl
是一个随机游走系数，只有雌性蜉蝣没有被雄性蜉蝣吸引时起作用；
r
为[−1,1]之间的随机数；
f
(·)为适应度函数。
雌雄个体交配是生物自身的特点，蜉蝣亦是如此。蜉蝣的交配过程可用交叉算子表示，其交配过程为，从雄性蜉蝣群体中选择一个父本，从雌性蜉蝣群体中选择一个母本，选择父本的方式与雌雄蜉蝣吸引的方式一致。雌雄蜉蝣按照适应度的大小选择交配个体并进行交配，雄性蜉蝣的最优个体与雌性蜉蝣的最优个体进行交配，雄性蜉蝣的次优个体与雌性蜉蝣的次优个体进行交配，交配后得到最优和次优的两个子代，其子代如下：
式中， male 为父本； female 为母本； L 为[−1,1]之间的随机数。
蜉蝣优化算法的流程图如图1.2所示，具体步骤如下。
步骤1：设定参数，初始化雌性蜉蝣和雄性蜉蝣种群位置以及速度。
步骤2：计算适应度并排序，获取个体历史最优位置 pbest 和全局历史最优位置 gbest 。
步骤3：更新雄性蜉蝣和雌性蜉蝣速度及位置。
步骤4：计算适应度。
步骤5：根据适应度对雄性蜉蝣和雌性蜉蝣进行排序。
步骤6：雌雄性蜉蝣交配产生子代蜉蝣。
步骤7：计算子代蜉蝣适应度。
步骤8：随机将子代分配给雄性和雌性。
步骤9：用较优的子代替换较差的雄性和雌性。
步骤10：计算适应度，更新个体历史最优位置 pbest 和全局历史最优位置 gbest 。
步骤11：判断是否满足停止条件，如果满足则输出全局最优解和适应度，否则重复步骤3～步骤11。
图1.2 蜉蝣算法流程图