1.5 函数的连续性

1.5.1 连续函数的概念

连续是很多自然现象的本质属性，比如每天的温度变化是连续的，降落伞在空中的位置变化是连续的，嫦娥三号在太空中的运行轨迹是连续的，我们希望精确描述该运行轨迹连续所具有的属性，先来观察图 1-9，其中，只有图 1-9（d）中函数 f （ x ）在点 x ₀ 连续，其余各图中函数 f （ x ）在点 x ₀ 都不连续，因此，有下面的定义.

定义 1-12 若函数 f （ x ）在包含 x ₀ 的某个邻域 U （ x ₀ ， δ ）内有定义，且 ，则称 f （ x ）在点 x ₀ 连续 .

定义 1-13 若函数 f （ x ）在包含 x ₀ 的某个邻域 U （ x ₀ ， δ ）内有定义，且 0，其中Δ y 表示对应于自变量从 x ₀ 变到 x ₀ +Δ x 时函数的增量，即Δ y = f （ x ₀ +Δ x ）- f （ x ₀ ），则称 f （ x ）在点 x ₀ 连续.

定义 1-14 若函数 f （ x ）在包含 x ₀ 的某个右（左）邻域内有定义，且 （ ），则称 f （ x ）在点 x ₀ 右 （ 左 ） 连续 .

若 f （ x ）在开区间（ a ， b ）内每一点都连续，则称 f （ x ）在开区间（ a ， b ）连续.一般地，将开区间（ a ， b ）上全体连续函数构成的集合记为 C （ a ， b ），若 f （ x ）∈ C （ a ， b ），且 f （ x ）在区间（ a ， b ）右端点左连续，左端点右连续，则称 f （ x ）在闭区间[ a ， b ]上连续.同样地，将闭区间[ a ， b ]上全体连续.函数构成的集合记为 C [ a ， b ].

1.5.2 间断点及其分类

要使 f （ x ）连续，根据定义 1-12，必须满足以下 3 个条件:

（1） f （ x ）在 x = x ₀ 有定义;

（2） 存在;

（3） .

若 3 个条件中有一个不成立，则称 f （ x ）在点 x ₀ 间断 ，称均为 间断点 .

间断点又分为第一类间断点和第二类间断点，若 f （ x ）在间断点 x ₀ 处的左右极限都存在，则称 x ₀ 为 f （ x ）的 第一类间断点 ，否则称为 第二类间断点 .第一类间断点又细分为可去间断点和跳跃间断点，若 f （ x ）在间断点 x ₀ 处的左右极限都存在且相等，但是不等于 f （ x ₀ ），或者 f （ x ）在点 x ₀ 处根本没有定义，则称 x ₀ 为 f （ x ）的 可去间断点 .若 f （ x ）在间断点 x ₀ 处的左右极限都存在但不相等，则称 x ₀ 为 f （ x ）的 跳跃间断点 .第二类间断点主要有无穷型和振荡型两种，若 f （ x ）在间断点 x ₀ 处的左右极限中至少有一个为∞，则称 x ₀ 为 f （ x ）的 无穷型间断点 ;若 f （ x ）在间断点 x ₀ 的邻域内作无穷次振荡，则称 x ₀ 为 f （ x ）的 振荡型间断点 .

例 1-23 描述如图 1-10 所示的函数的连续性.

解 这个函数在开区间（-∞，0），（0，3）和（5，+∞）以及闭区间[3，5]上连续， x = 0 是无穷型间断点，第二类间断点， x = 3 和 x = 5 是跳跃间断点，第一类间断点.

例 1-24 讨论函数 在 x = 0 点处的连续性.

解 函数 在 x = 0 处无定义；当 x →0 时，函数值在-1 与 1 之间振荡（图 1-11），所以点 x = 0 是函数 的第二类间断点，也称为振荡间断点.

例 1-25 判断函数 在 x = 0 点处的连续性.

解 显然函数 在点 x = 0 及其附近均有定义，又

所以， ，故 不存在，函数

在 x = 0 点处不连续， x = 0 是函数 f （ x ）的跳跃间断点，其图像如图 1-12所示.

例 1-26 判断函数 在 x = 0 点处的连续性.

解 函数 f （ x ）在 x = 0 及其邻域均有定义，且 f （0）= 0，但

所以 f （ x ）在 x = 0 处不连续， x = 0 是 f （ x ）的可去间断点，第一间断点.

1.5.3 连续函数的运算性质与初等函数的连续性

根据极限的运算性质可以得到连续函数的运算性质.

定理 1-14（连续函数的四则运算法则）若 f （ x ）， g （ x ）均在 x ₀ 连续，则 f （ x ）± g （ x ）， f （ x ）· g （ x ）及 f （ x ） g （ x ）（ g （ x ₀ ）≠0）都在 x ₀ 连续.

定理 1-15（反函数的连续性）若 y = f （ x ）在区间 I _x 上单值，单增（减），且连续，则其反函数 x = φ （ y ）也在对应的区间 I _y = { y y = f （ x ）， x ∈ I _x }上单值，单增（减），且连续.

定理 1-16（复合函数的连续性）函数 u = φ （ x ）在点 x = x ₀ 连续，且 φ （ x ₀ ）= u ₀ ，函数 y = f （ u ）在点 u ₀ 连续，则复合函数 y = f （ φ （ x ））在点 x ₀ 处连续.

由于基本初等函数在其定义域区间内都是连续的，再结合初等函数的定义以及连续函数的运算性质，可以得出结论: 一切初等函数在其定义区间内都是 连续的 .因此，对于初等函数求其在定义区间内的点处的极限就可直接代入.

例 1-27 求函数 的所有间断点，并指出间断点的类型.

解 函数 为初等函数，而且其定义域为 ，根据前面的结论（一切初等函数在其定义区间内都是连续的）可得 f （ x ）除了在 x = 0， x = 1 两点没有定义外，其余各点均连续，又 = .所以， x = 0 是函数 f （ x ）的可去间断点，属第一类间断点， x = 1 是函数 f （ x ）的第二类间断点中的无穷型间断点.

例 1-28 求极限 uMvBPFKRTVcfapyqawGVux6lzPMk5mwHqlfhCRR971spezOgFheS4myw7F4aRyrN