1.4 无穷小量

1.4.1 无穷小量与无穷大量

定义 1-8 如果函数 f （ x ）当 x → x ₀ （或 x →∞ ）时的极限为 0，那么函数 f （ x ）称为 x → x ₀ （或 x →∞ ）时的无穷小量，简称无穷小.

例如， ，则可称 2 x -4 为当 x →2 时的无穷小量；类似地，可给出 f （ x ）是 x →∞时的无穷小量的定义.例如， ，所以可称 为当 x →∞时的无穷小量.

注 1 无穷小量不是一个数，不要将其与非常小的数混淆.

注 2 0 是唯一可作为无穷小量的常数.

定义 1-9 若对∀ M >0，∃ δ >0，使得当 时，有 ，则称 f （ x ）为当 x → x ₀ 时的 无穷大量 ，记作 .

注 1 对自变量变化过程的其他形式也有类似定义，在此就不一一详述了.

注 2 无穷大量也不是一个数，不要将其与非常大的数混淆.

注 3 无穷大量一定无界，但是无界量却未必一定是无穷大量，如函数 f （ x ）= x sin x ，其图像如图 1-8 所示，可看出 f （ x ）在（-∞，+ ∞）内无界，但 f （ x ）却不是 x →∞时的无穷大量.

无穷小量与无穷大量之间的关系可由下面的定理说明.

定理 1-8 在自变量的同一变化趋势下，

（1）若 f （ x ）为无穷大量，则 为无穷小量;

（2）若 f （ x ）为无穷小量，且 f （ x ）≠0，则 为无穷大量.

有了这个定理，很多关于无穷大量的运算便可转化为无穷小量讨论.

1.4.2 无穷小量的运算性质

设在 x 的一定变化趋势下，lim α （ x ）= 0，lim β （ x ）= 0.

定理 1-9 两个无穷小量的和或差仍为无穷小量，即若lim α = 0，lim β = 0，则lim（ α ± β ）= 0.

注 1 此定理的证明可由 1.4 中定理 1-5 的（1）推出.

注 2 此定理可推广到有限个的情形，但对于无限多个的情形就不同了.例如，尽管 ，但是，

定理 1-10 有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量，即设函数 f （ x ）有界，lim α = 0，则lim αf （ x ）= 0.

证 仅证 x → x ₀ 时的情况，其余情形类似证明.设函数 f （ x ）在 x ₀ 的某邻域 U （ x ₀ ， δ ₁ ）内有界，则∀ M >0，当 时，有 又 α 为当 x → x ₀ 时的无穷小量，即 ，故对∀ ε >0，∃ δ >0（ δ < δ ₁ ），当 时，有

所以 .

由定理 1-10 可得如下结论.

推论 1-3 常数与无穷小量的乘积仍为无穷小量，即若走为常数，lim α = 0，则lim kα = 0.

推论 1-4 有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量，即

例 1-19 求极限

解 因为当 x →∞时，函数sin x 有界，而 所以，由定理 1-10 可得

根据前面的定理和推论，两个无穷小量的和、差、积都依然是无穷小量.而对于两个无穷小量的商却没那么简单.例如，当 x →0 时，函数 x ，sin x ， x ₂ 均为无穷小量，但是

因此，有必要对无穷小量进行比较.

1.4.3 无穷小量的比较

定义 1-10 设 α （ x ）与 β （ x ）为 x 在同一变化过程中的两个无穷小量， α （ x ）≠0.

（1）若 ，则称 β 是 α 的 高阶无穷小 ，记作 β = O （ α ）;

（2）若 ，则称 β 是 α 的 低阶无穷小 ;

（3）若 ，则称 β 是 α 的 同阶无穷小 ;

特别地，若 ，则称 β 与 α 是等价无穷小，记作 β ~ α.

例如，当 x →0 时， x ₂ 是 x 的高阶无穷小；反之 x 是 x ₂ 的低阶无穷小; x ² 与 1-cos x 是同阶无穷小; x 与sin x 是等价无穷小，即 x ~ sin x.

例 1-20 证明：当 x →0 时， a ^x -1 ~ x ln a.

证 令 t = a ^x -1，则 ，当 x →0 时，有 t →0，所以

即当 x →0 时， a ^x -1 ~ x ln a.

值得注意的是，并不是任意两个无穷小量都可进行比较，例如：当 x →0 时， 与 x ₂ 既非同阶，又无高低阶可比较，因为 不存在且不为∞ .

定理 1-11 在自变量的同一变化过程中，函数 f （ x ）具有极限 A 的充要条件是 f （ x ）= A + α ，其中 α 是无穷小量.

证 仅对 x → x ₀ 情形进行证明，其他情形类似可证.

先证必要性.设 ，则 由无穷小量的定义， f （ x ）- A 是 x → x ₀ 时的无穷小量.令 α = f （ x ）- A ，则 f （ x ）= A + α ，其中 α 是 x → x ₀ 时的无穷小量.

再证充分性.若 f （ x ） = A + α ，且 α 是无穷小量，即 则 .

定理 1-12 给出了有极限的函数与它的极限值和无穷小量之间的关系，在今后的学习中会经常用到.

关于等价无穷小，有如下定理.

定理 1-13 若 α ， β ， α′ ， β′ 均为 x 的同一变化过程中的无穷小量，且 α ~ α′ ， β ~ β′ ， 存在或为∞，则

所以 .

例 1-21 求极限

解 当 x →0 时，sin x ~ x ，所以，

定义 1-11 设 α （ x ）与 β （ x ）为 x 在同一变化过程中的两个无穷小量， α （ x ）≠0，若 ， c 为常数， k >0，则称 β 是关于 α 的 k 阶无穷小 .

例 1-22 当 x →0 时， 是关于 x 的几阶无穷小量?

解 ，取走 可使得上式极限为 ，所以 f （ x ）是关于 x 的 无穷小量. FJK5JsBQRB83bA4Q6LcRTalOdLF2vmCjCFZXaa+7rk5LRo0SY+MiscfdXNPTWHsi