1.3 极限的性质与运算

1.3.1 极限的性质

下面仅以 为例，对极限的性质加以讨论，并简要地给出定理证明过程.简要介绍其他形式的极限（如 ）的性质.

定理 1-2 （唯一性）若 存在，则必唯一.

证 （反证法）设 ，且 A ≠ B （不妨设 A < B ）.对于 ，由于 ，则∃ δ ₁ >0，使得当 时，有

同理，由于 则∃ δ ₂ >0，使得当 时，有

因此，当 时，有

同时成立，这显然是不可能的.故得证.

定理 1-3（局部有界性）若 ，则存在 M > 0 以及 δ > 0，使得当 时，有

证 由于 根据极限的定义，对于 ε = 1，∃ δ > 0，使得当 0 时，有 .取 ，则当 时，有

定理 1-4（局部保号性）若 ，且 A >0（或 A <0），则存在 δ >0，使得当 时，有 f （ x ）>0（或 f （ x ）<0）.

证 我们证明 A >0 的情形， A <0 的情形可类似证明.

由于 ，根据极限的定义，对于 ，则∃ δ >0，使得当 时，有 得证.

利用定理 1-4 可以证明，∃ δ >0，当 时，若 f （ x ）≥0（或≤0），且 ，则 A ≥0（或≤0）.

1.3.2 极限的运算

下面介绍极限的四则运算法则、复合函数的极限运算定理和极限存在的两个准则.

定理 1-5（极限的四则运算）若lim f （ x ）= A ，lim g （ x ）= B ，则

（1）lim[ f （ x ） ± g （ x ）]存在，且lim [ f （ x ） ± g （ x ）]= lim f （ x ） ± lim g （ x ）= A ± B ;

（2）lim f （ x ）· g （ x ）存在，且lim f （ x ） g （ x ）= lim f （ x ）·lim g （ x ）= AB ;

（3）若 B ≠0，则 存在，且 .

其中，记号“lim”下面没有标明自变量的变化过程，表示此定理对自变量变化过程的各种形式均适用.对于每种情况，“ lim”表示自变量的同一变化过程.下面仅以 x → x ₀ 为例证明，其他情形可类似证明.

证 （1）只证lim[ f （ x ）+ g （ x ）]= A + B ，过程为 x → x ₀ .

由于 ，所以，对∀ ε > 0，∃ δ ₁ > 0，当 时，有 .对此 ε ，又因为 ，所以∃ δ ₂ >0，当 时，有 ，取 δ =m i n { δ ₁ ， δ ₂ }，则当 时，有

，所以

（2）对∀ ε >0，∃ δ ₁ >0，当 时，有 ，对此 ε ，∃ ε >0，当 时，有 ，取 δ = min{ δ ₁ ， δ ₂ }，则当 时，有

另外， ，记 M ，则

所以 .

定理 1-5 中（3）的证明留给读者.

注 1 定理 1-5 中（1）可推广到有限个函数的情形.

注 2 定理 1-5 中（2）有如下推论.

推论 1-1 lim[ cf （ x ）]= c lim f （ x ）（ c 为常数）.

推论 1-2 lim[ f （ x ）] _n = [lim f （ x ）] ⁿ （ n 为正整数）.

例 1-12 求极限 .

解

在例 8 的求解中，极限 和 都是直接代入，这是求极限的基本方法.至于为什么可以直接代入，将会在 1.5 节说明.

例 1-13 求极限 .

解 当 x →1 时，分子、分母均趋于 0，所以不能直接利用定理 1-5.但是，注意到分子分母有公因子（ x -1），所以

例 1-14 求极限

解 当 n →∞时，这是无穷多项相加，故不能用定理 1-5，需要先变形.

例 1-15 求极限 .

解 当 x →∞时，分子分母极限均不存在，故不能用定理 1-5，需要先变形.

定理 1-6（复合函数的极限运算）设函数 y = f （ g （ x ））是由函数 y = f （ u ）和函数 u = g （ x ）复合而成.且 y = f （ g （ x ））在 x ₀ 的某去心邻域内有定义.若 ，若 且存在 δ ₀ >0，使得当 时，有 g （ x ）≠ u ₀ ，则

证 由 可得，对∀ ε > 0，∃ δ ₁ > 0，当 时，有 .

又由 可得，对上述 δ ₁ >0，∃ δ ₂ >0，当 时，有 .

又当 时，有 g （ x ）≠ u ₀ .取 δ = min{ δ ₂ ， δ ₀ }，则当 时，有 且 ，即 ，因此有

注 定理 1-6 中，若将 换作 或 ，将 换成 ，可得类似结论.

例 1-16 求极限

解 当 x →3 时，分子分母极限均趋向于 0，故不能用定理 1-5，需要先变形.

例 1-17 设 ，求 .

解 因为 b _n = a _n -（ a _n - b _n ），所以由定理 1-5（1）有

定理 1-7（夹逼准则）若函数 f （ x ）， g （ x ）， h （ x ）满足:

（1）当 时，有 g （ x ）≤ f （ x ）≤ h （ x ）;

（2） ，

则极限 存在，且等于 A.

对自变量变化过程的其他形式也有类似于定理 1-6 的结论，在这里就不一一叙述了.

证 因为 ，所以对∀ ε >0，∃ δ ₁ >0，当 时，有 .又 ，所以对上述 ε ，∃ δ ₂ >0，当 时，有

又当 x 时，有 g （ x ）≤ f （ x ）≤ h （ x ），所以，若取 δ ₀ = min{ δ ， δ ₁ ， δ ₂ }，则当 （ x ₀ ， δ ₀ ）时，有

即 .所以， 证毕.

因为当 时，有 所以由定理 1-7 可得如下重要结论:

例 1-18 求下列极限. lo/j81lH/SCjvtVX52wCwUFO9lu8LjJ2XILBZPkDSGC2+PJVxf09mpRUnSwpiOpo