1.2 极限的概念

1.2.1 极限引例

春秋战国时期的哲学家庄子在《庄子·天下》中记载了惠施的一句话，“一尺之捶，日取其半，万世不竭”.说的是，一尺长的木杖，今天取走一半，明天在剩余的一半中再取走一半，以后每天都在前一天剩下的里面取走一半，随着时间的流逝，木杖会越来越短，长度越来越趋近于零，但又永远不会等于零.这便是现实中一个非常直观的极限模型，它可以用一个无穷数列表示为

魏晋时期的数学家刘徽在计算圆周率时首创的“割圆术”也是一个不可不提的极限模型“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”便是刘徽对“割圆术”的描述.意思就是，计算圆内接正 n 边形的面积，如图 1-3 所示， n 值越大，正 n 边形的面积 A _n 就越接近于圆的面积 A ，直到 n 无限大，即可得到精确的圆的面积.

另外，唐朝诗人李白在《送孟浩然之广陵》中写道“故人西辞黄鹤楼，烟花三月下扬州.孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流”细细思量“孤帆远影碧空尽”一句，不难体会一个变量趋向于 0 的动态意境.

1.2.2 极限的直观定义

下面，我们通过例 5 直观地来理解极限.

（ 例 1-6 考察函数 在 x = 1 处的极限.

显然， f （ x ）在 x =1 处没有定义.然而，当 x 趋于 1 时，函数会如何变化？更确切地讲，当 x 趋于 1 时，函数 f （ x ）的值会趋向于什么？通过求1 附近的几个值，可得到表 1-4.人们也可画出函数 f （ x ）的草图，如图 1-4 所示.图 1-4 和表 1-4均显示一个相同的结论：当 x 趋于 1 时， f （ x ）趋于 3.

一般地，我们给出极限的直观定义.

定义 1-2 设函数 f （ x ）在点 x ₀ 的某去心邻域内有定义，当 x 无限接近于常数 x ₀ 但不等于 x ₀ 时，若 f （ x ）趋向于常数 A ，则称 A 为 f （ x ）当 x 趋于 x ₀ 时的 极 限 ，记作 .

注 :这里对函数 f （ x ）在点 x ₀ 没有任何要求，甚至都不需要 f （ x ）在 x ₀ 有定义.前面的例子对 在 x = 1 处的讨论也说明了这个问题.极限考虑的是函数 f （ x ）在 x ₀ 附近的变化趋势，与在 x ₀ 的函数值无关.

定义 1-2 使用了“接近”和“趋向”这两个感性的词.但是，多近才算接近，怎样才算趋向？并没有说清楚.为了说清楚，需要给出极限的精确定义.

1.2.3 极限的精确定义

在给出极限的精确定义之前，先看例 6.

例 1-7 利用 y = f （ x ） = x ₂ 的图像[图 1-5（ a）]确定 x 有多靠近 2 时，才能使 f （ x ）在 4±0.05 范围之内.

解 f （ x ）在 4±0.05 范围之内，即 3.95< f （ x ） <4.05.如图 1-5（ b）所示，先画出直线 y = 3.95 和直线 y = 4.05.进而分别通过这两条直线与函数图像的交点作 x 轴的垂线 和 ，如图 1-5（c）所示，若 ，则 3.95< f （ x ） <4.05.由于右端点 2.012 46 更接近于 2，故当 x 落在与 2 相差 0.012 46 的范围之内时， f （ x ）在 4±0.05 范围之内.

进一步地， x 有多靠近 2 时，才能使 f （ x ）在 4±0.01 范围之内呢？读者可类似分析.当然，此时，需要 x 更靠近 2.而且，事实上不管要求 f （ x ）多么接近 4，我们都可以找到合适的靠近 2 的 x 的范围.

定义 1-3 设函数 f （ x ）在点 x ₀ 的某去心邻域内有定义，如果存在常数 A ，若对于∀ ε > 0 （无论 ε 多么小），总∃ δ > 0，使得当 时，总有 ，则称 A 为 f （ x ）当 x 趋于 x ₀ 时的极限，记作

定义 1-3 用 ε 表示任意小的正数，巧妙地将“ f （ x ）趋向于常数 A ”转化为“ f （ x ）与 A 的距离可以任意小”，即“ ”；用 δ 表示充分小的正数，是为了刻画 x 接近 x ₀ 的程度.当然， δ 依赖于 ε ，也就是说给定一个 ε ，就会相应地有一个 δ.

注 1 引入“ ε-δ ”语言叙述极限的定义基本上是由德国数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass，1815—1897）完成的.实际上，在此之前，18 世纪到 19 世纪的许多数学家，如法国数学家达朗贝尔（ d’ Alembert，1717—1783）和柯西（Cauchy，1789—1857）在这方面都做了很多工作.

注 2 极限的精确定义可以说是微积分中较难以理解的概念.要真正完全理解它是需要一定的时间的，毕竟定义 1-3 是经历了漫长的时间由多位伟大的数学家费了很多心血才真正确立的.

注 3 图 1-6 可以帮助充分理解定义 1-3.

注 4 仿照定义 1-3，可类似定义 即

，∃ X >0，当 时，有

有了极限的精确定义就可以用来验证某个数是否是函数的极限了.

例 1-8 证明: .

分析：根据极限定义，对于∀ ε >0，需要找出 δ >0，使得当 时，有 而

因此，我们找到了 δ ，即 .

证 对于∀ ε ，>0，取 ，则当 时，有

因此

例 1-9 证明:

证 函数 在点 x = 1 处没有定义，但当 x →1 时的极限存在与否与其无关，事实上，∀ ε >0，要使 ，取 δ = ε ，那么当 0< 时，有 ，所以

有时还需要考虑单侧极限。下面给出右极限的定义.

定义 1-4 对于∀ ε >0，总∃ δ >0，使得当 0< x - x ₀ < δ 时，总有 则称 A 为 f （ x ）当 x 趋于 x ₀ 时的 右极限 ，记作 或

关于左极限 （或记为 的定义留给读者.至于单侧极限和极限的关系，有如下定理.

定理 1-1 成立的充要条件是左极限 和右极限 均存在且都等于 A.

图 1-7 能帮助我们更直观地理解其内涵.即使函数的左、右极限都存在，也不能保证函数的极限就一定存在.

例 1-10 已知函数

当 x →0 时，证明函数 f （ x ）的极限不存在.

证 当 x →0 时，函数 f （ x ）的左极限 ，而右极限 ;

因左极限和右极限存在但不相等，所以 不存在.

在定义 1-3 注 4 中，我们已给出 _x 的定义.下面进一步给出 以及 的定义.

定义 1-5 对于∀ ε >0，总∃ X >0，使得当 x <- X 时，总有 ，则称 A 为 f （ x ）当 x 趋于正无穷大时的极限，记作

定义 1-6 对于∀ ε >0，总∃ X >0，使得当 x >- X 时，总有 则称 A 为 f （ x ）当 x 趋于负无穷大时的极限，记作 .

显然 的充要条件是

例 1-11 证明:

证 对于∀ ε >0，欲使 ，取 ，则当 时，有 ，所以

定义 1-7 对于∀ ε >0，总∃ N >0，使得当 n > N 时，总有 ，则称 a 为数列{ a _n }当 n 趋于无穷大时的极限，记作 .

若 ，则称数列{ a _n }收敛于 a ;若 不存在，则称数列{ a _n }发散. RG80ZY2vF3iLUVr31e36CMhnj9RkLhDlsb3DpZ9Et5cJQx6qcl7edsLw3P0rbbSS