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1）集合
集合 是由某些指定对象组成的总体.通常用大写字母 A ， B ， C ，…表示集合.构成集合的成员称为 元素 ，一般用小写字母 a ， b ， c ，…表示.并且，若 a 是集合 A 的元素，则可记作 a ∈ A ，读作“ a 属于 A ”.不含任何元素的集合称为 空集 ，记作⌀.本书所涉及的集合主要是数集.一般来说，自然数集合用 N 表示；正整数集合用 N *表示；整数集合用 Z 表示；有理数集合用 Q 表示；实数集合用 R 表示.
2）区间
设
a
和
b
都是实数，且
a
<
b
，则数集
称为开区间，记作（
a
，
b
）;数集
称为
闭区间
，记作[
a
，
b
].类似地，
和（
a
，
b
] =
都称为
半开区间
.以上这些区间的长度是有限的，统称为
有限区间
.否则，称为
无限区间
，如
.
另外，还有一类特殊的区间在本书的数学表述中经常遇到，就是邻域.开区间（
a
-
δ
，
a
+
δ
）称为点
a
的
δ
邻域
，记作
U
（
a
，
δ
）.点
a
的
δ
邻域去掉中心
a
后，称为点
a
的去心
δ
邻域
，记作
在以后的数学表述中，有两个常用的逻辑量词符号“∀”和“∃”.“∀”表示“任意”，“∃”表示“存在”.
生活中充满了许多变化的量，而这些量的变化往往不是独立的，它们是遵循一定规律相互关联的.例如，自由落体运动中物体下落的距离 s 随时间 t 而变化；圆的面积 A 随半径 r 的改变而改变……为更好地把握变量变化之间的客观规律，人们可以用图形、表格或数学表达式来表示它们之间的数量关系.下面来看几个具体实例.
例 1-1 专家发现，学生的注意力随老师讲课时间的变化而变化.讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后，学生的注意力开始分散.设 f （ t ）表示学生的注意力， t 表示时间 . f （ t ）越大，表明学生注意力越集中.经实验分析得知:
例 1-1 中的学生注意力 f （ t ）就是时间 t 的函数，而且还是分段定义的.函数 f （ t ）的图像如图 1-1 所示.
图 1-1
例 1-2 据统计，20 世纪 60 年代世界人口数据见表 1-1 （单位：亿），根据表中数据，可用关系式 N （ t ）=e 0.186t-33.0383 进行数据拟合得到世界人口随时间的变化规律.
表 1-1
例
1-3 某小行星运行过程中位置的 10 个观测点数据见表 1-2，据此，也可模拟出此小行星的运行轨道方程为
表 1-2
例
1-4 如图 1-2 所示，在匀强磁场中匀速转动的矩形线圈的周期为
T
，转轴
O
1
O
2
垂直于磁场方向，线圈电阻为 2 Ω.从线圈平面与磁场方向平行时开始计时，线圈转过 60
°
时的感应电流为 1 A.于是人们可以计算出任意时刻线圈中的感应电动势与时间的关系式为
图 1-2
例 1-5 某储户将 10 万元存入银行，年利率为 1.5%，则 10 年间每年年末的存款额与时间的关系可用表 1-3 说明.
表1-3
纵观上述例子，可以给出函数的定义.
定义 1-1 设 x 和 y 是两个变量， D 是一个给定的数集.如果对于∀ x ∈ D ，按照某一法则 f ，变量 y 都有确定的值和它对应，则称 f 为定义在 D 上的 函数 .数集 D 称为该函数的 定义域 ， x 称为 自变量 ， y 称为 因变量 .与自变量 x 对应的因变量 y 的值可记作 f （ x ），称为函数 f 在点 x 处的 函数值 . D 上所有数值对应的全体函数值的集合称为 值域 .
上述例 1 至例 5 中均涉及了不同的函数.例 1 中的
f
（
t
）是定义在区间[0，40]上的函数，例 2 中的关系式
是以时间
t
为自变量，人口
N
为因变量的函数，例 3 中的轨道方程说明了小行星运行位置的坐标之间的函数关系，例 4 中的关系式给出了任意时刻线圈中的感应电动势与时间的函数关系，例 5 中存款额是定义在正整数集
N
*上的函数.
若对∀ x ∈ D ，对应的函数值总是唯一的，则将函数称为 单值函数 ，否则称为 多值函数 .本书中如不特别说明，所指函数均为单值函数.
1）函数的有界性
函数的有界性是研究函数的自变量在某一确定范围变化时，其取值是否有界的性质.具体来说，设
f
（
x
）在集合
X
上有定义，若∃
M
>0，使得对∀
x
∈
X
都有
，则称函数
f
（
x
）在
X
上
有界
;否则，称函数
f
（
x
）在
X
上
无界
.
例如，函数
f
（
x
）= sin
x
在（-∞，+∞）上是有界的，因为∃
M
= 1>0，使得对∀
x
∈（-∞，+∞）都有
.当然，这里
M
的取值并不是唯一的，也可以取
M
= 2.类似分析可得到函数
f
（
x
）= e
x
在（-∞，+∞）上无界，但在（-∞，0）上有界.
2）函数的单调性
函数的单调性是在研究函数的自变量增加时，其取值是增加还是减少的性质.具体来说，设 f （ x ）在区间 I 上有定义，若对∀ x 1 ， x 2 ∈ I ，且 x 1 < x 2 ，恒有 f （ x 1 ）≤ f （ x 2 ），则称函数 f （ x ）在 I 上 单调递增 ;若对∀ x 1 ， x 2 ∈ I ，且 x 1 < x 2 ，恒有 f （ x 1 ）≥ f （ x 2 ），则称函数 f （ x ）在 I 上 单调递减 .
3）函数的奇偶性
函数的奇偶性是研究函数的图像关于坐标轴以及坐标原点是否具有对称性.具体来说，设 f （ x ）的定义域 D 关于原点对称.若对∀ x ∈ D ，恒有 f （- x ）= - f （ x ），则称函数 f （ x ）在 D 上为 奇函数 .此时，函数 f （ x ）的图像关于坐标原点对称；若对∀ x ∈ D ，恒有 f （- x ）= f （ x ），则称函数 f （ x ）在 D 上为 偶函数 .此时，函数 f （ x ）的图像关于 y 轴对称.
例如，函数 y = cos x 和 y = x 2 都是实数域上的偶函数，函数 y = sin x 和 y = x 3 都是实数域上的 奇函数 .
4）函数的周期性
函数的周期性是研究函数的取值是否随自变量增加而有规律地重复的性质.具体来说，设 f （ x ）的定义域为 D ，若存在常数 T ≠0，对∀ x ∈ D ，恒有 x + T ∈ D ，且 f （ x + T ）= f （ x ），则称函数 f （ x ）为 周期函数 ，称 T 为 f （ x ）的一个 周期 .通常，周期函数的周期是指最小正周期.
例如，函数 y = sin x 和函数 y = cos x 都是以 2π为周期的周期函数；函数 y = tan x 和函数 y = cot x 都是以π为周期的周期函数.周期函数的图形在相邻两个长度为 T 的区间上是完全相同的.