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1）变速直线运动的瞬时速度
设一物体做自由落体运动，其运动方程为 s = s （ t ），其中 s 为物体在时刻 t 离开起点的位移，求物体在任一时刻 t 0 的瞬时速度.
设物体在时刻 t 0 的位移为 s （ t 0 ），从 t 0 到 t 0 +Δ t 这段时间间隔中，物体的位移为
物体在这段时间间隔内的平均速度为
显然这个平均速度不能精确地反映物体在时刻
t
0
的瞬时速度，但
越小，用平均速度表示时刻
t
0
的瞬时速度就越精确.因此当Δ
t
→0 时，若极限
存在，人们就定义此极限值为物体在
t
0
时刻的瞬时速度，即
2）切线斜率
设曲线 C 是函数 y = f （ x ）的图形（图 2-1）.求曲线在点 M （ x 0 ， y 0 ）处的切线斜率.
图 2-1
在 C 上 M 附近任取一点 N （ x 0 +Δ x ， y 0 +Δ y ），其中Δ x 可正可负，Δ y = f （ x 0 +Δ x ）- f （ x 0 ），作割线 MN ，于是割线 MN 的斜率为
当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时，割线 MN 将随之转动，若割线 MN 存在极限位置 MT ，则称直线 MT 为曲线 C 在点 M 的切线.当 N 无限接近 M 时，Δ x →0， φ → α （ α 为切线 MT 的倾角），故曲线 y = f （ x ）在点 A （ x 0 ， y 0 ）处的切线斜率为
或记为斜率
3）非均匀细杆的质量
设有一根质量非均匀分布的细杆，取杆的一端为坐标原点，分布在[0， x ]上细杆的质量 m 是点 x 的函数 m = m （ x ），求细杆在点 M （ x 0 ）处的线密度（图 2-2）.
图 2-2
若细杆均匀分布，则单位长度杆的质量称为此细杆的线密度.为求非均匀细杆在
M
（
x
0
）点处的线密度，可在
M
（
x
0
）附近任取一点
N
（
x
0
+Δ
x
），则在[
x
0
，
x
0
+Δ
x
]上细杆的质量为Δ
m
=
m
（
x
0
+
Δ
）-
m
（
x
0
），
表示细杆在[
x
0
，
x
0
+Δ
x
]上的平均线密度
μ
，
平均线密度不能精确反映细杆在点
M
（
x
0
）处的线密度，但
越小，用平均线密度表示点
M
（
x
0
）处的线密度就越精确.因此定义当Δ
x
→0 时，如果
存在，则称此极限值为非均匀细杆在点
M
处的线密度.记为
上述 3 个问题虽然有不同的实际背景，但是抛开它们的具体意义而只保留其数学的结构，可以抽象出导数的概念.
1）导数定义
定义 2-1 设函数 y = f （ x ）在点 x 0 及其某邻域有定义，当自变量 x 在 x 0 处取得增量Δ x （Δ x ≠0）时，相应的因变量 y 取得增量Δ y = f （ x 0 +Δ x ）- f （ x 0 ）;如果
存在，则称函数 y = f （ x ）在点 x 0 处可导，并称此极限值为函数 y = f （ x ）在点 x 0 处的导数，记为 f′ （ x 0 ），即
也可记为
或
如果此极限不存在，则称函数 y = f （ x ）在点 x 0 处不可导或导数不存在.
函数 y = f （ x ）在点 x 0 处的导数也可用不同的形式表示，常见的有
注 1 导数 f′ （ x 0 ）表示的是函数 f （ x ）在点 x 0 处的变化率;
注
2当且仅当
为定数时，才能称
y
=
f
（
x
）在
x
0
点处可导.
2）导函数
定义
2-2 如果函数
y
=
f
（
x
）在开区间（
a
，
b
）内的每点处都可导，就称函数
f
（
x
）在区间（
a
，
b
）内可导，并记为
f
（
x
）∈
D
（
a
，
b
）.这时，对于任意的
x
∈（
a
，
b
），都对应一个确定的导数值
f′
（
x
）.这样就构成了一个新的函数，这个函数称为
y
=
f
（
z
）的导函数，记作
f′
（
x
），
y′
，
或
若用极限表示函数 f （ x ）的导函数，则
因此，函数 y = f （ x ）在点 x 0 处的导数 f′ （ x 0 ）等于导函数 f′ （ z ）在 x 0 点处的值.导函数有时也简称导数，下面我们就用导数的定义推出一些基本初等函数的导数公式.
例 2-1 求函数 f （ x ）= C （ C 为常数）的导数.
故得常值函数的求导公式 C′ = 0.
例
2-2求函数
f
（
x
）= sin
x
的导数
f′
（
x
）及
.
解
即（sin x ）′= cos x. 故
用类似的方法，可求得（cos x ）′= -sin x.
例 2-3 设函数 f （ x ）= x n （ n 为正整数），求 f′ （ x ）.
解
即（ x n ）′= nx n-1 .
以后可以证（ x μ ）′= μx μ-1 （ μ 为实数），这就是幂函数的导数公式.另外一些基本初等函数的导数公式在介绍了导数的运算法则之后再作介绍.
定义
2-3 如果极限
存在，则称此极限值为函数
y
=
f
（
x
）在
x
0
的
左导数
，记作
f'
-
（
x
0
）.如果极限
存在，则称此极限值为函数
y
=
f
（
x
）在
x
0
的
右导数
，记作
f
+
′（
x
0
）.
定理 2-1 函数 y = f （ x ）在点 x 0 处可导的充要条件是 y = f （ x ）在点 x 0 处左右导数存在且相等，即
如果函数 y = f （ x ）在开区间（ a ， b ）内每一点都可导，则称 f （ x ）在开区间（ a ， b ）内可导，并记为 f （ x ）∈ D （ a ， b ）.
例 2-4 求函数 f （ x ）= x （图 2-3）在 x = 0 点的导数.
图 2-3
解
当Δ x <0 时，由左导数定义
当Δ x >0 时，由右导数定义
故
，所以函数
在
x
= 0 点不可导.
由导数的产生背景通过例2 可知，函数 y = f （ x ）在点 x 0 处的导数等于函数 y = f （ x ）所表示的曲线在点（ x 0 ， y 0 ）处的切线斜率，即 f′ （ x 0 ）= tan α. 其中 α 是曲线上点 M （ x 0 ， y 0 ）处的切线与 x 轴正方向的夹角.由直线的点斜式方程可以得到该点处的切线方程为
过曲线 y = f （ x ）上一点 M （ x 0 ， y 0 ）且垂直于该点切线的直线称为曲线在该点的法线，法线方程为
如果 f′ （ x 0 ）为无穷大，则曲线在点（ x 0 ， y 0 ）处具有垂直于 x 轴的切线 x = x 0 .所以有导数必有切线，有切线不一定有导数.
例
2-5 求曲线
的通过点（0，-4）的切线方程.
解 设切点的横坐标为 x 0 ，则切线的斜率为
于是所求切线的方程为
根据题目要求，点（0，-4）在切线上，因此
解得 x 0 = 4.所以切点的坐标为（4，8），切线斜率 k = f′ （4）= 3.于是所求切线的方程为
定理 2-2 若函数 y = f （ x ）在点 x 0 处可导，则函数 f （ x ）在 x 0 连续，反之不成立.
证
由于函数
y
=
f
（
x
）在点
x
0
处可导，即
，所以
Δ
，故
y
=
f
（
x
）在点
x
0
连续.
反之， f （ x ）在 x 0 处连续时， f （ x ）在点 x 0 处不一定可导.
如图 2-4 所示，函数
在区间（-∞，+∞）内连续，但在点
x
= 0 处不可导.这是因为函数在点
x
= 0 处导数为无穷大，即
图 2-4
图 2-5
例
2-6 讨论函数
在
x
= 0 点的连续性与可导性.
解
由于
，所以
f
（
x
）在
x
= 0 连续.事实上
f
（
x
）在（-∞，+∞）内处处连续.
但
不存在，所以
f
（
x
）在
x
= 0不可导（图 2-5）.