1.6 闭区间上连续函数的性质

1.6.1 最值定理

定理 1-17 闭区间上的连续函数在该区间一定有界.

定理 1-18 闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值.

需要指出的是，“闭区间”与“连续”两个条件若有一个不满足，则上述结论不一定成立，例如，函数 y = tan x 在开区间 内是连续的，但它在开区间 内是无界的，且既无最大值又无最小值；又如，函数

在闭区间[-1，1]上有间断点 x = 0，这个函数在闭区间[-1，1]上虽然有界，但既无最大值也无最小值.

1.6.2 介值定理

定理 1-19（介值定理）设 f （ x ）在[ a ， b ]上连续，且 f （ a ）≠ f （ b ），则对于 f （ a ）与 f （ b ）之间的任意常数 C ，在（ a ， b ）内至少存在一点 ξ ，使得 f （ ξ ）= Ca < ξ < b.

推论 1-5 设函数 f （ x ）在闭区间[ a ， b ]上的连续，则对于 C ∈（ m ， M ），必存在 ξ ∈（ a ， b ），使得 f （ ξ ）= C.

定义 1-15 若 x ₀ 使得 f （ x ₀ ）= 0，则称 f （ x ₀ ）为 f （ x ）的零点，由介值定理很容易得到零点定理.

定理 1-20 设 f （ x ）在[ a ， b ]上连续，且 f （ a ）与 f （ b ）异号，则在开区间（ a ， b ）内，至少存在一点 ξ ，使得 f （ ξ ）= 0，即 f （ x ）在（ a ， b ）内至少有一个零点.

如图 1-13 所示，从几何上看（ a ， f （ a ））与（ b ， f （ b ））在 x 轴的上下两侧，由于 f （ x ）连续，显然，在（ a ， b ）上， f （ x ）的图像与 x 轴至少相交一次.

定理 1.20 对判断零点的位置很有用处，但不能求出零点.

例 1-29 证明方程 x ⁵ -3 x = 1 在区间（1，2）内至少有一个根.

证 设函数 f （ x ）= x ⁵ -3 x -1， x ∈[1，2]，则 f （ x ）在[1，2]上连续，且

因此，由定理 1-19，在（1，2）内至少有一点 ξ ∈（1，2），使得 f （ ξ ）= 0，即

因此，方程 x ⁵ -3 x = 1 在区间（1，2）内至少有一个根.

例 1-30 证明：在一个金属圆环形截面的边缘上，总有彼此相对的两点拥有相同的温度.

证 以圆环形截面的圆心为原点，如图 1-14 所示，建立平面直角坐标系.设圆截面的半径为 r ，圆截面上任意一点（ x ， y ）处的温度为 T （ x ， y ），设与 x 轴成 θ 角和 θ + π角，金属圆环形截面的边缘上两点的温度差为 f （ θ ），则 f （ θ ）= T （ r cos θ ， r sin θ ）- T （ r cos θ +π）， r sin（ θ +π））， θ ∈[0，π].由于温度是连续变化的，因此 f （ θ ）在[ θ ，π]上连续且

若 f （0）= 0，则找到了彼此相对且拥有相同温度的两点.若 f （0 ）≠0，则 f （0）与 f （π）异号，由定理1-20 可得，至少存在一点 ξ ∈（0，π），使得 f （ ξ ）= 0，即存在彼此相对的两点拥有相同的温度. 5ZuEAdZDS6cw5kVlWBvj+q23P9gMewvRPebqzLHC4gjbSrqBJ7gUcOXWf/0jBHqg