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“有可能是你”，这是英国国家彩票1994年首次发行时的广告语。该广告鼓励人们花1英镑购买彩票，一只巨大的手就会从天而降，指向一个普通人，把足以改变人生的头奖送给了他。虽然中奖的机会非常渺茫，但正如老话所说，只要买了一张彩票，你中奖的机会就会大大增加（甚至无限增加，如果我们谈论的是相对概率）。
迈克·麦克德莫特是这一推理的忠实信徒。2002年10月5日星期六深夜，当这位朴次茅斯的电工查看他的彩票号码时，他简直不敢相信自己的眼睛。他成功押中了那个鼓形结构产生的7个数字中的6个，这意味着他将获得超过12万英镑的奖金。对大多数人来说，这一大笔意外之财足以改变其一生。但是在这之前，迈克和大多数人的经历并不一样。
当英国国家彩票刚发行时，参与者需要在1到49之间选6个数字（所谓的49选6），然后国家电视台将直播经过认证的“重力抽彩”机器抽出6个“主数字球”和1个“奖励球”的过程。如果与6个主数字球相同，将赢得该期头奖的一部分（或全部，如果你是唯一的赢家），但如果只有5个主数字球和1个奖励球匹配，也会赢得一笔可观的奖金。在10月那个漆黑的夜晚，迈克做到了后者。
赢得大奖的概率大约是1400万分之一。从机器中出来的第一个号码球可以是49个球中的任何一个。第二个是从剩下的48个球中选出，再下一个是从47个球中选出，以此类推，直到第6个球从剩下的44个球中选出。最后会从鼓中剩下的43个球中随机选出奖励球。因此，从49个球中依照特定次序抽取6个球，一共有49×48×47×46×45×44种不同抽法（你也可以算出来，最终结果超过100亿）。在数学上，这些不同排序叫作排列。这些排列中可能会包含相同的数字，只是从鼓中抽取的先后次序不同。例如，排列1、2、3、4、5、6不同于排列6、5、4、3、2、1，也不同于排列3、4、6、1、5、2，以此类推。
但对于大多数彩票来说，球出来的顺序并不重要。把中奖号码按数字升序排列，有可能得到相同的结果。当一组数字的顺序无关紧要时，那么它们就是组合。这个词最常用于在数学语境中描述“密码锁”，比如自行车锁或保险箱的密码锁。（具有讽刺意味的是，这些锁实际上应该被称为“排列锁”，因为数字的顺序很重要。）
要根据排列数计算出组合数，需要除以被选择的球的排序方式的种数。6个不同的球有720（6×5×4×3×2×1）种排序法（第一个位置有6种可能，第二个位置有5种可能，以此类推，直到最后一个位置只有1种选择）。为了计算球的不同组合的真实数目，我们用从49个球中选6个球的100亿种方法，除以6个不同数字的720种排序法，得到大约1400万种不同的可能组合。因此，1400万分之一是你所选择的数字在本轮抽奖中被抽中的大致概率。
迈克在10月份得到的结果其实比赢得大奖要容易一些。他也匹配了6个数字，但匹配的是前7个中的6个（5个主数字球和1个奖励球），而不是前6个中的6个。由于匹配前6个数字中的5个有6种不同的方法（或者说，从前6个数字中排除1个数字有6种方法，两个说法等价），这意味着得到迈克的结果比赢得大奖的可能性高5倍。
尽管如此，迈克中奖的概率还是不到200万分之一。对个人来说，这个概率似乎低得惊人。但是考虑到2002年每轮抽奖售出的彩票数目在2000万到6500万张之间，那么几乎每周都有人中奖就不应让人们感到惊讶了。事实上，根据保守估计，假设有2000万张独立的、随机选择的彩票被售出，没有人同时匹配5个主数字球和1个奖励球的概率是非常小的，平均来说，每抽奖5331次才会发生一次这种情况。在迈克中奖的那次抽奖中，还有16张彩票也满足匹配5个主数字球和1个奖励球的条件。
但迈克中奖这件事真正令人惊讶的是，这已经不是他第一次中奖了。就在4个月前，迈克用完全相同的数字，成功匹配了5个主数字球和1个奖励球，赢得了近19.5万英镑的奖金。这看起来真的太不可能了。迈克自己也说：“我们认为用同样的号码中两次奖是根本不可能的。”
由于所有的抽奖都是相互独立的，要计算任何一个人在任意两次特定抽奖中两次匹配5个主数字球和1个奖励球的概率，需要将他们中一次奖的概率（1/2330636）乘以自身，得到的概率还不到5.4万亿分之一。南安普敦大学的西蒙·考克斯教授在接受《每日邮报》采访时表示：“可能性这么低的事情，想也是不可能的。这件事太离奇了，我想不出还有什么比这更不可能发生的事情了，除了中两次彩票。”
虽然这确实是一个不寻常的事件，但它可能并不像“5万亿分之一”的头条新闻所描述的那么不可能。首先，我们说过，考虑到每周有大量的人买彩票，应该可以预计会有数十人中和迈克一样的奖。数百次抽奖后，有可能中奖的人数就会达到数千人。当然，这些中奖者获得第二次中奖的机会取决于他们是否继续买彩票。你可能会问，既然在赢了大笔现金后，再次中奖的可能性似乎极低，他们为什么还会买彩票呢？的确，对于从未中过彩票的人，中两次奖的机会比只中一次的机会要小得多。但是，不管这听起来多么违反直觉，我们要知道当他们在某一次抽奖中成功中奖后，他们再次中奖的概率不会因为曾经中奖的经历而受到任何影响，而是与其他彩民中奖的机会相等（即使他们继续选择第一次获奖时选择的号码）。
我最喜欢的一个笑话就是建立在对不太可能的独立事件的这种推理之上的。笑话是这样的：我昨晚遇到了一个搭便车的人。看到我爽快地停车并让他上车，他感到很惊讶。车开起来后，他问我：“你不担心我是个连环杀手吗？”“不担心。”我回答说，“同一辆车里有两个连环杀手的可能性太低了。”这个笑话好笑的点是，你是连环杀手并不会降低另一个人也是连环杀手的可能性，尽管两个连环杀手独立出现在同一辆车里的可能性确实非常低。同样，尽管从未中过奖的人中两次奖的机会非常小，但中过一次奖并不会降低你再次中奖的可能性。
事实上，许多第一次中彩票的人都觉得他们第二次中奖的机会更大了。他们觉得中过奖的人更幸运，这种想法通常会让他们更频繁地买彩票。举个例子，在遇到了中奖两次这种概率极低的事件之后，迈克告诉围在一起观看他喷香槟酒的媒体人员说：“人们说事情一发生就会接二连三，所以我肯定会继续使用这组数字。我现在相信一切皆有可能。”另外，许多中奖者都有一种感激之情，而且与中奖前相比，在获得新的流动资金后，他们有能力购买更多的彩票，这会进一步增加他们中奖的概率。
因此，尽管迈克的号码在一次抽奖中再次出现的概率不到200万分之一，但考虑到之前有成千上万的中奖者，许多人仍然在买彩票，而且会购买多张彩票，所以很容易看出，某个人在第一次中奖后又多次购买彩票且再次中奖真的不是那么不可能。
那么一个人中一次甚至两次彩票的概率是多少呢？巨数法则告诉我们，概率其实很高，但理性告诉我们，中奖的可能不会是你。
2009年，保加利亚国家彩票发生了比迈克两次中奖更不寻常的事情。保加利亚的彩票机每周都会在独立的彩票委员会的见证下，从42个可能的数字中选出6个数字（42选6彩票）。9月6日，选出的数字是4、15、23、24、35和42。4天后，同样6个数字又出现了（尽管出现的次序不同）。重复抽出相同的号码在全世界都成了新闻。在连续两次抽奖中出现同一组数字的概率还不到275万亿分之一。在注意到这一巧合后，一位彩票发言人说：“这是彩票52年历史上的第一次。看到如此离奇的巧合，我们都感到震惊。”尽管彩票官方声称“不可能有操纵行为”，但这一事件的不可能性还是促使保加利亚体育部长斯维伦·尼科夫对这一事件展开了调查。
不过，如果更仔细地分析这个问题，就会发现大奖号码重复出现的可能性并不像听起来那么小。第一次抽奖会抽出哪些数字并不是那么重要，只有当同样的数字再次出现时，才会引起人们的注意。鉴于任意一组6个数字重复出现，我们都会感到惊讶，所以我们其实只需要考虑在第二次抽奖时出现相同一组数字的概率。对于这种42选6彩票，这个概率是1/5245786，这比报纸头条报道的275万亿分之一的概率高出了5000多万倍。
同样一组数字出现在连续两次抽奖中当然令人惊讶，但如果抽出的号码跟之前任意一次的大奖号码相同，可能仍然会成为新闻。保加利亚的彩票已经运行了52年。假设每周抽奖两次，那么总共抽出了超过5400种相互独立的6个数字组合。因为我们关心的是两组不同的6个数相互匹配的问题，所以真正重要的是抽出的两组数可以形成的配对总数。两次抽奖可以形成的配对总数会按照抽奖次数的二次方增长。抽奖3次，有3种可能的配对；抽奖10次，有45种配对；100次对应4950种配对；抽奖5400次，就有超过1450万种配对。这1450万组配对号码都不相同的概率只有6%。简而言之，在保加利亚52年的彩票历史中，极有可能出现过两组相同的大奖号码。
考虑到在足够长的时间内出现相同大奖号码的可能性这么大，一旦真的出现，也不应该引起我们的怀疑。9月6日保加利亚第一次开出那组号码时，没有人中头奖，但在4天后第二次开出那组号码时，有18人同时中奖，于是人们开始提出疑问，有些地方似乎不对劲。但是，有多人中奖也有一个明确无误的解释。对于许多老玩家来说，选择前一次抽奖的中奖号码是一种特别常见的策略，在随后的抽奖中，这些数字被选中的预期频率通常是其他数字的100倍以上。第二次抽奖有如此多的人中奖正是我们应该预料到的。
理性地思考一下，如果你要操纵彩票，你多半不会告诉其他17个人，而且你几乎肯定不会选择前一次的中奖号码。尽管彩票的结果是相互独立的，但还是有18个人选择了上周出现过的号码，这一事实可能更能说明彩票玩家讲迷信，以及他们不了解如何尽可能多地赢取奖金（我们在前一章已经简要提及了这个问题，在下一章还将进一步研究），而不能说明可能存在干扰因素。每位中奖者失望地领到了4600英镑奖金。对中奖号码重复出现的调查直至结束，也没有发现任何不当行为的证据。
考虑到世界上有数百种不同的彩票，那么当有一种彩票开出了跟之前完全相同的号码时，其实也不算离谱。举个例子。2010年10月16日，以色列的彩票以相反的顺序，开出了三个多星期前（也就是9月21日）刚刚开出过的6个数字。彩票官员先是撤销了这个结果，因为他们担心机器被人做了手脚或者是出了问题。电台接到大量声称抽奖被操纵的电话，但是对抽奖的调查同样没有发现任何不当行为的证据。巨数法则表明，如果有足够多的机会，即使看似极不可能的事情也可能发生，而且确实会发生。