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本节给出了模糊数的一些定义、性质和运算，从而为后面的模糊决策提供理论基础。
为了对模糊集进行运算，首先给出
λ
截集的相关定义，在第2章，由定义2.8可知，模糊集
，对∀
λ
∈［0，1］，
的
λ
截集为：
＝{
x
|
x
∈X，
～（x）≥
λ
}，其中：
λ
称为置信水平或置信度。
为了与GFN进行对比，在此给出两种模糊数（三角模糊数和梯形模糊数）：
1）记
＝（
a
，
b
，
c
），0≤
a
≤
b
≤
c
，称
为三角模糊数，如果
的隶属函数
：
R
→［0，1］满足：
2）记
＝（
a
，
b
，
c
，
d
），0≤
a
≤
b
≤
c
≤
d
，称
为梯形模糊数，如果
的隶属函数
：
R
→［0，1］表示为
基于三角模糊数和梯形模糊数的定义，下面给出GFN的定义。
定义3.1
记
＝（
a
，
b
，
c
，
d
）
n
，
n
＞0，0≤
a
≤
b
≤
c
≤
d
，称
为泛化模糊数（generalized fuzzy number，GFN），如果
的隶属函数
：
R
→［0，1］表示为
为了更清楚地介绍GFN，我们假设 a ＝2， b ＝6， c ＝8， d ＝12，并且给出参数 n 取不同数值时的GFN的隶属函数的图形，如图3-1所示。
图3-1 不同 n 下的GFN的隶属函数图形
从图3-1可以看出，GFN是一个非线性的模糊数，并且当参数 n 取不同数值时，GFN表现出不同的模糊性。例如，当参数0＜ n ＜1时，GFN的隶属函数的图形左右两支扩张，当参数 n ＞1时，GFN的隶属函数的图形左右两支收缩。特别地，当参数 n ＝1时，GFN的隶属函数的图形退化成梯形模糊数隶属函数的图形；当参数 n ＝1且 b ＝ c 时，GFN的隶属函数的图形退化成三角模糊数隶属函数的图形。另外，由图3-1可知，GFN也表现出一些特征，例如，随着参数 n 的增大。GFN所表现出的模糊性区间也逐渐增大，在决策时应用GFN，减少了模型主观参数的选择，提高了模型的鲁棒性，为决策者提供了合理的模糊评判。
下面给出GFN的一些运算法则。
假设
和
是任意的两个GFNs，
λ
是一个正的常数，则GFNs的运算可以定义为
（5）两个GFNs间的Manhattan距离
然而，在GFN运算法则中，两个GFNs间的Manhattan距离在运算中比较复杂，且容易受到参数影响，为了减少计算的复杂性，我们引入了经典的Hausdorff距离（Nadler，1978）来表述GFNs之间的距离。Hausdorff距离是一个最大最小距离，可以说明两集合间的相互关系，并且可以测量两组集合之间最大程度的不匹配性。由于模糊数可以被看作一个集合，因此，我们可以用Hausdorff距离作为GFNs的距离，从而简化决策过程。
定义3.2 （Nadler，1978）记 A 和 B 是任意两个集合，则 A 和 B 之间的Hausdorff距离 H （ A ， B ）可以定义为
其中：
h
（
A
，
B
）＝
‖
a
-
b
‖，‖·‖表示某个空间（例如：
L
2
空间或者
H
2
空间）上的范数。
根据定义3.2可以给出两个模糊集合间的Hausdorff距离。
定义3.3
记
和
是任意两个模糊集合，则模糊集合
和
之间的Hausdorff距离
可以定义为
其中：
和
分别是两个模糊集合的
λ
截集，且是论域
X
上的非空有界闭区间，
和
分别表示为
和
，
和
分别为区间的下限，
和
分别为区间的上限。
因此，对于任意两个模糊集合
和
，可得
通过式（3-3）和式（3-4），可得模糊集合
和
之间的Hausdorff距离
为
由于GFN也是模糊集合的一种，因此可以通过式（3-5）来确定GFN的Hausdorff距离。
假设
是一个GFN，且
，0≤
a
≤
b
≤
c
≤
d
，
n
＞0，由定义2.8可得
的
λ
截集为
根据上述分析，对于任意的两个
和
，它们之间的Hausdorff距离可以定义为：
定义3.4
记
和
是任意两个GFNs，
和
＝
，
n
＞0，则
和
之间的Hausdorff距离
可以定义为
证明：因为
和
，
n
＞0，由定义2.8可得
和
的
λ
截集分别为
于是可得：
把式（3-8）和式（3-9）代入式（3-5）可得：
因此，公式（3-7）是成立的。
证毕。
在FMCDM中，属性的权重也是一个非常重要的参数，它直接影响着决策结果的合理性和准确性。因此，一些权重确定方法也被提出，例如：AHP法（Saaty，1980）、信息熵法（Mon et al.，1994）、数学规划法（Wei，2008）、灰色关联定权法（钱吴永等，2008）、TOPSIS定权法（王旭等，2011）等，这些方法都取得了不错的评估结果。为了更好地拓展模糊权重的确定方法，在本章中，我们给出一种基于离差最大化的线性规划方法，针对属性权重部分信息未知的情况进行权重确定。