2.2 模糊集理论与决策

在科学实验、生产实践以及人们的实际生活中，决策起着重要的作用。经典的决策理论和方法一般是在确定或者明确的环境下进行的，它们认为在决策评估过程中，评估属性、约束条件以及决策者偏好等决策要素都是可以用精确数来描述的。因此，在确定的自然状态下进行决策，其结果也必然是确定的。然而，由于客观事物的复杂性、不确定性和人类知识的局限性和思维的模糊性，决策者往往难以给出明确的属性信息，并且一些评估对象也难以准确描述，这就表现出一定的模糊性。而现实中，无论是客观的评估信息还是主观的人为评估信息都可能造成评估过程的不确定性，当多准则决策问题中出现大量的模糊性时，决策问题就变成了模糊多准则决策（fuzzy multiple criteria decision making，FMCDM）问题。FMCDM是应用模糊数学理论来进行量化决策的方法，在决策时，它的决策要素（决策准则或者决策方案）含有一定的模糊信息，并能用以建立选择备选方案的一套方法体系和理论程序。因此，模糊集和多准则决策的结合是数学和决策科学发展的必然结果。

2.2.1 模糊集与模糊运算

在数学上，模糊集与模糊运算是模糊集理论的基础内容。在平时的生活当中，很多概念或者表达的意愿常常有内涵的模糊性或者不确定性。例如，现在房价疯涨，人们买房压力过大，如果房价为8 000元/平方米算是高，那么7 999元/平方米是不是就不算高呢？事实上，这两个价格相差不大，因此，在描述房价贵或者便宜时我们没有一个精确的限制（阈值），只能用主观的语言（模糊性）进行描述。经典多准则决策理论能够根据一定的运算法则或者程序一步步地进行合理决策，因此，对于模糊多准则决策来说，给出模糊集的相关概念和模糊运算法则也势在必行。Zadeh教授提出的模糊集（fuzzy set）概念为FMCDM提供了基础。

定义2.7 令 X 为论域， 为 X 上的模糊集。把 X 上全体模糊集组成的集合定义为 X 的模糊幂集，记作 。定义 为 上的隶属函数，且满足：

定义2.8 设模糊集 ∈ ，对∀ λ ∈［0，1］， 的 λ 截集定义为

其中： λ 称为置信水平或置信度。

定义2.9 设模糊集 ∈ ， 的支集 和 的核 分别定义为

其中：当 时，称 为正规模糊集。

定义2.10 设模糊集 ∈ ，若对∀ x ， y ∈ R 以及∀ λ ∈［0，1］，有

则称 为凸模糊集。

定义2.11 （Dubois ＆ Prade，1978）设模糊集 ∈ ，如果 满足以下条件：

（1） 是正规模糊集；

（2） 是凸模糊集，且对∀ λ ∈［0，1］， 是有界闭区间；

则称 是模糊数。

模糊数 的一般表达式可以记为

其中： L （ x ）为右连续的增函数， R （ x ）为左连续的减函数，且0≤ L （ x ）≤1，0≤ R （ x ）≤1。

根据模糊数的定义，我们给出两种特殊的模糊数：三角模糊数和梯形模糊数，定义如下：

定义2.12 记 ＝（ a ， b ， c ），0≤ a ≤ b ≤ c ，称 为三角模糊数，如果 的隶属函数 ： R →［0，1］表示为

定义2.13 记 ＝（ a ， b ， c ， d ），0≤ a ≤ b ≤ c ≤ d ，称 为梯形模糊数，如果 的隶属函数 ： R →［0，1］表示为

根据三角模糊数和梯形模糊数的定义可以给出它们的图形，如图2-3所示。

为了进行模糊运算，下面给出一些定理。

定理2.1 （分解定理）设模糊集 ， 是模糊集 的 λ 截集，且 λ ∈［0，1］，则有：

其中： 是一个常数与一个普通集合的数量积，可以定义论域 X 上的一个特殊模糊集合。

定理2.2 （Sakawa，1993）（扩张原则）假设论域 X ＝ ，映射 f ： X → Y ， 分别是 上的模糊集，且 y ＝ f （ x ₁ ， x ₂ ，…， x _n ），则 在映射 f 的作用下的像 是论域 Y 上的模糊集合 ，且满足：

其中：

f ^-1 （ y ）表示 f 的逆运算。

分解定理和扩张原则是连接普通集合和模糊集合的纽带，模糊运算就是分解定理和扩张原则的直接应用，因此，它们是模糊集理论的基础，在模糊集应用中起着重要的作用。

定理2.3 设 是两个模糊数，∗∈｛＋，-， × ， ÷ ，∨，∧｝，且当∗是÷时， 是无零模糊数，则 也是模糊数。

根据上述的分解定理、扩张原则以及定理2.3，可以给出下面的模糊数的运算：设 ＝（ a ₁ ， a ₂ ，…， a _n ）， ＝（ b ₁ ， b ₂ ，…， b _n ）是两个模糊数，则定义模糊数的算术运算为

当然，当两个模糊数 和 不相互包含时，模糊数之间还可以进行逻辑运算，得到极大模糊数和极小模糊数。对∀ x ， y ， z ∈ R ，极大模糊数和极小模糊数的隶属函数分别被定义为

其中： 和 分别表示是极大模糊数和极小模糊数，（∨）和（∧）分别表示取大和取小的广义模糊算子。

2.2.2 模糊多准则决策模型

在经典多准则决策问题中，我们可以假设 X ＝｛ x ₁ ， x ₂ ，…， x _m ｝为 m 个备选方案的集合， C ＝｛ c ₁ ， c ₂ ，…， c _n ｝为 n 个评估属性的集合，又设 x _ij 为第 i 个备选方案 x _i 相对于第 j 个评估属性 c _j 的评价值，因此，我们可用初始判断矩阵 V ＝（ x _ij ） _m×n 表示评估对象集与属性之间的关系，并且根据初始判断矩阵进行规范化处理，然后根据多准则决策方法，找出所有备选方案中最满意的方案。然而，在实际的决策过程中，经常会涉及模糊的环境，决策者面对的可能是一系列的模糊变量，例如，属性指标和权重值可能是精确数字，也可能是语言变量。因此，需要在经典多准则决策方法的基础上建立FMCDM模型，然后对决策中的模糊变量进行运算、比较和判别，最终选择最满意方案。

在进行模糊多准则决策前，决策者首先要根据评估的对象和评估属性建立模糊初始判断矩阵 ，具体如下：

其中： 为第 i 个备选方案相对于第 j 个评估属性的模糊评价值。

在实际的决策过程中，模糊评估属性的量纲不同会导致模糊数给出的评估属性值不存在可比性，因此要统一量纲。对于效益型模糊指标 I ₁ 和成本型模糊指标 I ₂ ，本书给出两种标准化方法。

（1）向量标准化法

其中： I ₁ 是效益型模糊指标， I ₂ 是成本型模糊指标， M ＝｛1，2，…， m ｝。

（2）极大极小值法

其中： I ₁ 是效益型模糊指标， I ₂ 是成本型模糊指标， M ＝｛1，2，…， m ｝。

当规范化处理后，可以得到模糊标准化决策矩阵 ，然后根据FMCDM方法可以对模糊标准化决策矩阵进行运算。Bellman和Zadeh于1970年首次给出了模糊决策方法（Bellman ＆ Zadeh，1970），Baas和Kwakernaak于1977年提出的FMCDM方法也被认为是模糊决策中的经典方法之一（Baas ＆ Kwakernaak，1977）。随着模糊集的发展，将模糊集理论与经典多准则决策方法相结合的方法得到了迅速发展，Cheng和McInnis（1980）给出了基于 λ 截集的模糊加权平均方法，Chu和Lin（2009）给出一种基于语言变量的FMCDM方法。AHP方法与模糊集理论的相结合的研究也得到了发展（Chang，1996；Cheng，1997；Zhu et al.，1999）。Chen（2000）给出了经典TOPSIS方法与模糊集理论相结合的模糊TOPSIS（FTOPSIS）方法，随后一些改进的FTOPSIS方法也被一些学者研究（Chen ＆ Tsao，2008；Ashtiani et al.，2009）。随着模糊集理论和决策理论的成熟，越来越多的模糊决策方法被提出。为了更好地了解FMCDM方法，徐玖平和吴巍对以往的研究进行了总结，从不同的研究角度出发，给出了多种FMCDM方法（徐玖平和吴巍，2006），如图2-4所示。

在FMCDM中，评估的结果可能还是模糊数，因此，需要对模糊数进行排序。区间模糊数是模糊数中最常见的，在实际的多准则决策中，当分布函数或者隶属函数难以确定时，应用区间模糊数分析可能就会更加符合人们的判断习惯，决策过程也会变得更加合理。其中关于区间模糊数的讨论也取得一些成果，并应用到经济、管理、决策以及信息等各个领域（Xu ＆ Li，1996；Zhang et al.，2005；Chen ＆ Chen，2009；张全等，1999；徐泽水和达庆利，2001；尤天慧和樊治平，2003；冯宝军等，2012）。

定义2.14 记 表示实数轴上的闭区间，则称 为模糊区间数。

为了比较两个区间数的大小，下面给出可能度的定义。

定义2.15 （Facchinetti et al.，1998）记 ， 分别为两个区间模糊数，则 的可能度 定义为

根据定义2.15可知，可能度有以下性质：

对于两两对比，根据可能度而组成的模糊决策矩阵 V _p ＝［ p _{ij］ n×n} 和可能度的互补性可知， V _p ＝［ p _{ij］ n×n} 是一个模糊互补判断矩阵。于是可以利用一个简洁的排序公式（徐泽水，2001）对该模糊互补判断矩阵进行求解：

然后根据 v _i 的大小顺序进行排序。

当然，模糊数的排序方法还有很多种。例如，最优程度法（Baas ＆ Kwakernaak，1977）、Hamming距离法（Yager，1980）、 λ 截集法（Mabuchi，1988）、均值散布法（Lee ＆ Li，1988）以及质心指标法（Yager，1980；Murakami et al.，1983）等。徐玖平和吴巍（2006）对以往的研究进行了总结，给出了多种模糊排序方法，如图2-5所示。

总之，模糊集理论和经典决策理论的融合，拓宽了决策科学的研究领域，而基于模糊理论和决策科学的FMCDM也是当前正在蓬勃发展而且有待继续发展的一个重要研究领域。由于现代决策具有复杂性和模糊性，因此FMCDM也是决策科学发展的必然。但在上述已有文献综述的基础上可以发现，模糊决策理论和方法还不完善，仍有许多问题需要研究。本书也正是在这样的背景下，针对模糊环境下的多准则决策问题、信息集结问题以及属性权重信息不完全的决策理论方法及其应用进行系统的探讨，以丰富和完善模糊决策理论。