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在经典多准则决策问题中，假设 X ＝｛ x 1 ， x 2 ，…， x m ｝为 m 个备选方案的集合， C ＝｛ c 1 ， c 2 ，…， c n ｝为 n 个评估属性的集合，又设 x ij 为第 i 个备选方案 x i 相对于第 j 个评估属性 c j 的评价值。根据备选方案集和评估属性集之间的关系，可以组成如下的初始判断矩阵 V ＝（ x ij ） m×n ：
在多准则决策过程中，我们通常可以用两类属性来描述决策事物，即定量属性和定性属性。例如，在买房问题的决策过程中，房子面积、房子每平方米的价格都是定量描述的，房子的外观和环境一般则是定性描述。在决策过程中如何比较这两种属性以及如何对待非同类标度的属性的问题有待解决。因此，我们需要对属性进行规范化处理。
在以往的研究中，评估属性的指标类型有：成本型指标、效益型指标、固定型指标、偏离型指标和区间型指标（刘树林和邱菀华，1998），其中以成本型指标和效益型指标最为常用。成本型指标是指属性的指标值越小越好的指标；效益型指标是指属性的指标值越大越好的指标；固定型指标是指属性的指标值越靠近某一个固定值越好的指标；偏离型指标是指属性的指标值越偏离某一个固定值越好的指标；区间型指标指的是属性值接近或属于一个固定的时间间隔的更好的指标。在实际的决策过程中，由于评估属性的量纲不同，所以评估需要统一量纲。由于效益型指标 I 1 和成本型指标 I 2 最为常用，所以这里只介绍这两种类型的指标的标准化方法。
（1）极差变化法（Hwang ＆ Yoon，1981）
其中， I 1 是效益型指标， I 2 是成本型指标， M ＝｛1，2，…， m ｝。这种标准化方法的好处是处理后的每个属性指标的值都严格从0到1变化，并且不会带来结果上的比例差异。
（2）线性刻度转换法（Nijkamp，1977）
其中， I 1 是效益型指标， I 2 是成本型指标， M ＝｛1，2，…， m ｝。这种标准化方法的好处在于所有结果都进行了线性转换，并且结果重要性的排序得以保留。
（3）向量标准化法（Nijkamp ＆ Delft，1977）
其中， I 1 是效益型指标， I 2 是成本型指标， M ＝｛1，2，…， m ｝。这种标准化方法的优点在于所有列具有相同的单位长度，这使得属性间的比较成为可能。
当量纲统一之后，我们需要根据决策矩阵对各方案进行评估，而决策的目的就是要找出所有方案中“最满意”方案。经典多准则决策方法有多种，这里只介绍几种常见的多准则决策方法。
（1）简单线性加权法
假设 ω ＝（ ω 1 ， ω 2 ，…， ω n ）表示评估属性的权重集合，且满足 ω 1 ＋ ω 2 ＋…＋ ω n ＝1， ω i ≥0，则有：
其中： r i 为加权后的评估结果，因此，可以通过比较 r 1 ， r 2 ，…， r n 的大小来对方案进行选择或者排序。
（2）层次分析法（AHP）
层次分析法（analytic hierarchy process，AHP）是由美国著名的运筹学家、匹兹堡大学的Thomas L. Saaty教授在20世纪70年代初期提出的，是用定量的方法对定性问题进行分析的一种简洁、方便、灵活而且非常实用的多准则决策方法。层次分析法是将评估的决策问题按照某种准则，把决策问题分成目标层、子目标层、准则层以及具体的方案层，然后利用不同的计算方式来求解判断矩阵的特征根和特征向量，并且求出每一目标层中的不同元素对上一目标层中某一个元素的相对优先权重，最后逐步合并各备选方案对总目标的最后的权重，其中，权重中的最大者即为最优评估方案。层次分析法适用于目标值难于定量描述且具备分层交织的评价指标的决策问题，对于复杂的递阶层次结构化问题而言，层次分析法则显示出更好的鲁棒性。当运用层次分析法进行决策评估时，人们通常情况下是按照四个步骤进行评估的：①分析评估过程中各个评估属性间的各种关系，创建递阶的层次结构；②对同一评估层的不同的准则相对上一评估层中的某一评估准则的重要性进行成对比较；③依据得到的判断矩阵，计算被比较元素的相对权重值；④计算不同层次中的准则相对于总目标的组合权重，然后进行最终排序。
层次分析法的层次结构一般分为三类：最高层或目标层、中间层或准则层、最底层或方案层。具体结构见图2-1。
图2-1 层次分析法的层次结构图
在一般的决策过程中，准则层中准则的重要性一般无法直接定量化给出，只能定性地进行两两对比描述，以便判别属性间的重要程度。为了描述两两属性间的重要程度，Saaty等人取1～9标度对重要性程度进行相应的赋值。大量的实验心理学研究表明，人们对事物的属性进行对比并使其做出的判断保持满意一致性的时候，其所能正确判断事物的个数或者属性的等级一般在5～9个（Miller，1956），因此，我们选择1～9标度作为量化标度基本符合人类的心理判断。1～9标度重要性含义和解释详见表2-1。
表2-1 1～9标度重要性含义和解释
在利用层次分析法进行运算时，人们可以根据1～9标度法建立两两对比判断矩阵： A ＝（ a ij） n×n ，其中 a ij 表示准则层元素 i 相对于 j 的重要性标度，且有 a ij ＝1 /a ji ， a ii ＝1。为了获得最后的排序结果，需要知道元素的相对权重，并且进行一致性检验。目前这两部分内容的研究是重中之重。
在计算权重时，常用的方法有算术平均法（Saaty，1980）、几何平均法（Saaty，1980）、特征根法（Saaty，1986）、最小偏差法（陈宝谦等，1989）、梯度特征向量法（Takeda et al.，1987）、非线性特征根法（王连芬和许树柏，1987）等。其中特征根法是基础。特征根法（eigenvector method，EM）也叫作特征向量法或者幂法，用来求解如下判断矩阵的特征根：
其中： λ max 是判断矩阵 A 的最大特征根， ω 是特征向量，且 ω 归一化后即可作为权重向量。
特征根法的具体计算步骤如下：
①任意取与矩阵
A
相同阶数的归一化初始向量，记为：
ω
＝
，其中：
＞0，
＝1，
i
∈
N
②计算
＝
Aω
q
，
q
＝0，1，2，…
③对
进行归一化处理，
④对任意给定的
ε
＞0，当
＜
ε
，
i
∈
N
成立时，则有：
ω
＝
为所求判断矩阵
A
的最大特征根
λ
max
对应的权重特征向量
ω
，并且有
因为决策者认识的局限性以及客观评价的事物的复杂性，判断矩阵通常不可能是完全一致的（其中一致性的条件为 a ij × a jk ＝ a ik ），因此，必须进行一致性检验。经Saaty等学者的研究和一些社会实践，可以得出以下的一致性检验方法（Saaty，1986）：
①计算一致性指标CI（consistency index）
其中： n 为判断矩阵的阶数，且当 λ max ＝ n 时，CI＝0，此时判断矩阵 A 是完全一致性的。
②查找平均随机一致性指标RI（random index），其中：RI是计算机随机从1～9标度的17个值中选取标度值然后组成的随机正反矩阵，最后经过反复计算而得到平均随机一致性指标（见表2-2。）
表2-2 平均随机一致性指标
③计算一致性比率CR（consistency ratio）
一致性比率CR可以用来判断矩阵 A 的一致性。当CR＜0.1时，可以认为判断矩阵 A 通过一致性检验，说明一致性较好；当CR≥0.1时，判断矩阵 A 未通过一致性检验，说明一致性较差，需要对矩阵 A 进行适当的修正。一致性检验计算过程见图2-2。
图2-2 一致性检验计算过程
层次分析法具有深刻的数学原理，并且是一种简洁、方便而且灵活的多准则方法，因此不论在理论上还是在实际生活应用中都得到了人们的重视。Saaty教授在1994年给出了AHP的研究重点和难点（Saaty，1994），包括网络层次、测量标度、权重确定方法、一致性以及排序等问题。基于这些研究的内容，国内外学者也进行了大量的探讨和研究，并提出了网络层次分析法（ANP）（Saaty，2004）、决策矩阵数据一致性指标检验（Koczkodaj，1993；Aguaron ＆ Moreno-Jiménez，2003）、不一致性数据判别模型（Li ＆ Ma，2007；Ergu et al.，2011；Bortot ＆Pereira，2013；Lin et al.，2013；Kou et al.，2014）、残缺矩阵缺失元素估计模型（Carmone Jr et al.，1997；Osei-Bryson，2006；Chiclana et al.，2008；Ergu ＆ Kou，2012）和逆序分析方法（Saaty ＆ Vargas，1993；Stam ＆ Silva，1997；Wang ＆ Elhag，2006；Gomez-Ruiz et al.，2010）。这些内容的研究丰富和扩展了AHP方法，为以后的研究打下了一定的基础。
（3）理想解法（TOPSIS）
TOPSIS（technique for order preference by similarity to ideal solution）是接近理想方案的序数偏好方法，该方法是由Hwang和Yoon于1981年提出的，建立在备选方案与理想方案离差最小同时与负理想方案离差最大的基础上（Hwang ＆ Yoon，1981）。由于该方法易于理解且计算简单，因此也被Zeleny等学者推荐（Zeleny et al.，1982）。随着社会的发展，为了让该方法有更好的适应性，一些学者对该方法也进行了补充和完善（Yoon，1987；Hwang et al.，1993；Deng et al.，2000；Abo-Sinna ＆ Amer，2005；徐玖平，2002；杨宝臣和陈跃，2011）。在TOPSIS中，理想方案是由所有的最优属性组成的，而负理想方案则是由所有的最差属性组成的，TOPSIS就是通过计算与理想的解的相对贴近程度，同时考虑了方案到理想方案和负理想方案的距离来判断备选方案的优劣程度。具体的决策步骤如下：
①根据标准化方法，统一量纲，建立标准化决策矩阵 V ＝（ x ij ） m×n ：
②假设属性的权重向量为
ω
＝
，其中
＞0，
＝1，
i
∈
N
，建立加权标准化决策矩阵
③根据加权标准化决策矩阵，确立理想解 Z ＋ 和负理想解 Z -
其中： I 1 是效益型指标， I 2 是成本型指标， M ＝｛1，2，…， m ｝。
④假设方案间的距离用Euclid距离来表示，则计算方案与理想方案
Z
＋
间的距离
以及与负理想方案
Z
-
间的距离
可得
⑤计算与理想解的相对贴进度 D i
⑥根据贴进度 D i 的大小对方案进行排序
TOPSIS是以多准则决策问题中的理想解和负理想解为参考点，通过计算各备选方案与这两个理想方案的相对距离来对不同的方案进行优劣评价和排序，这种方法简单明了，可以得到清楚的偏好顺序，因此得到了广大学者的关注。Yurdakul和IC应用AHP方法来确定权重，然后与TOPSIS相结合，对制造工厂的绩效进行评估（Yurdakul ＆ IC，2005）。Yue给出了一种群决策中基于扩展TOPSIS的权重确定方法，该方法重新定义了理想解和负理想解，并且给出了TOPSIS定权的优缺点（Yue，2011）。Tsou提出了一种两阶段的多准则决策方法，首先采用多目标粒子群优化算法给出系统的解决方案，然后基于决策者的偏好，结合多目标粒子群优化算法和TOPSIS方法对方案进行排序（Tsou，2008）。Gu和Song结合灰色关联分析和TOPSIS方法的优缺点提出了一种基于灰色关联分析和TOPSIS的武器系统效能评估模型（Gu ＆ Song，2009）。随着管理科学理论和决策科学理论的发展以及社会系统评估需求，TOPSIS也得到了更好的扩充和应用（Abo-Sinna et al.，2008；Chen et al.，2009；Chang et al.，2010；Kou et al.，2012；Chang et al.，2014；李锋和魏莹，2008；陈锟等，2012；彭怡等，2012；申毅荣和解建仓，2014）。
（4）集结算子
在多准则决策中，信息融合是一个重要的研究内容。在决策过程中，有效的集结算子能够更加清晰准确地反映决策的结果，使得多种评估对象在进行信息集结时不会缺失，并且能够正确体现出决策的目的和效果。同时，在信息集结时，只有准确地确定集结信息权重向量，才能够正确地反映决策者的决策意念和态度，明确地给出体现决策效果的理论和实验依据。在信息集结时，最基本的两个集结算子是算术加权平均算子（WAA）（Harsanyi ＆ Welfare，1955）和几何加权平均算子（WGA）（Aczél ＆ Saaty，1983）。
其中：
ω
＝
是信息向量
的权重向量，且
。
为了更好地集结偏好信息，美国著名学者Yager教授提出了有序加权平均算子（ordered weighted averaging，OWA）（Yager，1988），该算子是一类介于最大值算子和最小值算子之间的信息集结算子，它对信息向量（ x 1 ， x 2 ，…， x n ）按照从大到小的顺序进行重新排序，然后进行加权集结。在集结的过程中，权重向量 ω 与集结属性 x i 没有任何关系，只与集结过程中的位置相关。
定义2.1 OWA算子的具体形式如下：
其中：
ω
＝（
ω
1
，
ω
2
，…，
ω
n
）
T
是与OWA相关联的一组加权向量，且
ω
i
＞0，
＝1，
i
∈
N
，
y
j
是信息向量（
x
1
，
x
2
，…，
x
n
）中第
j
大的属相向量。
当加权向量 ω ＝（1/ n ，1/ n ，…，1/ n ） T 时，OWA算子就退化成为算术加权平均算子（WAA），由此可见，常规的WAA算子是OWA算子的一种特殊情况。特别情况下，当加权向量 ω ＝（1，0，…，0） T 时，OWA算子就退化成为最大化算子，当加权向量 ω ＝（0，0，…，1） T 时，OWA算子就退化成为最小化算子。
OWA算子是信息集结时的常见算子，它具有以下的性质：
（1）单调性。设（ α 1 ， α 2 ，…， α n ）和（ β 1 ， β 2 ，…， β n ）是任意信息向量，且对∀ i ∈ N ，有 α i ≤ β i ，则有：
（2）幂等性。设（ α 1 ， α 2 ，…， α n ）是任意信息向量，且对∀ i ∈ N ，有 α i ＝ α ，则有：
（3）有界性。设（ α 1 ， α 2 ，…， α n ）是任意信息向量，同时令 A ＝max（ α 1 ， α 2 ，…， α n ）， a ＝min（ α 1 ， α 2 ，…， α n ），则有：
（4）置换不变性。设信息向量（ β 1 ， β 2 ，…， β n ）是信息向量（ α 1 ， α 2 ，…， α n ）的任意置换，则有：
基于OWA算子的特性，关于该算子的研究也引起了重视，并应用到金融、管理和决策等各个领域（Filev ＆ Yager，1995；Liu ＆ Han，2008；Okur et al.，2009；陈华友等，2006；王文婕，2011；黄思明和谢安世，2012；张文德和丁源，2014）。随着科学技术的发展，OWA算子也得到了很好的推广和扩展，例如，有序加权几何平均算子（OWGA）（Chiclana et al.，2000；Xu ＆ Da，2002）、有序加权调和平均算子（OWHA）（陈华友等，2004）、广义有序加权平均算子（GOWA）（Yager，2004）、诱导有序加权平均算子（IOWA）（Yager ＆ Filev，1999）、诱导有序加权几何平均算子（IOWGA）（Xu ＆ Da，2003）、诱导有序加权调和平均算子（IOWHA）（陈华友等，2004）、诱导广义有序加权平均算子（IGOWA）（Merigó ＆ Gil-Lafuente，2009）等。其中：IGOWA算子结合了GOWA算子和IOWA算子的优点，在决策时，可以根据不同的决策问题为决策者提供不同的决策形式。以上这些算子都是以数据信息的加权平均方式为出发点，将信息融合过程中的信息数据进行排序，然后再综合集成，但是在信息融合过程中，对数据信息进行集成时的集成权重没有进行深刻的考虑。因此，为了对数据信息进行更加合理和客观的处理，突出集结数据本身的重要性，Yager教授于2001年提出了一种幂平均（power average，PA）算子，这种算子不仅考虑了集结信息时不同数据间的支撑程度对属性权重系数的影响，而且在评估过程中还能捕获决策者要反映汇总值的精致细微差别，使得信息集结的过程完全客观化。
定义2.2 （Yager，2001）假设 a 1 ，…， a n 为一系列信息参数，函数PA： R n → R ，则幂平均（Power average，PA）算子定义为
Sup（ a ， b ）是参数 a 和参数 b 之间的支撑度，它是一种相似性指标，两个参数越接近它们越相似，则它们的支撑度也越大。Sup（ a ， b ）满足以下性质：
① Sup（ a ， b ）∈［0，1］；
② Sup（ a ， b ）＝Sup（ b ， a ）；
③如果
，则有Sup（a，b）≥Sup（x，y）。
根据定义2.2可以看出：PA算子不具有单调性，因为PA是一种非线性加权平均算子，支集对它有直接的影响；但是PA算子仍然具有有界性、幂等性、一般性和置换不变性。
①有界性。设（ α 1 ， α 2 ，…， α n ）是任意信息向量，同时令 A ＝max（ α 1 ， α 2 ，…， α n ）， a ＝min（ α 1 ， α 2 ，…， α n ），则有：
②幂等性。设（ α 1 ， α 2 ，…， α n ）是任意信息向量，对∀ i ∈ N ，有 α i ＝ α ，则有：
③一般性。假设∀ i ≠ j ，有Sup（ α i ， α j ）＝ k ，则有：
④置换不变性。设信息向量（ β 1 ， β 2 ，…， β n ）是信息向量（ α 1 ， α 2 ，…， α n ）的任意置换，则有：
PA算子的提出引起了学者的注意，一些基于PA算子的新的集结算子也陆续提出。
定义2.3 （Xu ＆ Yager，2010）假设 a 1 ，…， a n 为一系列信息参数，函数PGA： R n → R ，则幂几何平均算子（power geometric average，PGA）定义为
其中：
PGA算子同样具有有界性、幂等性、一般性和置换不变性，但也不具有单调性。
定义2.4 （姚平等，2012）假设 a 1 ，…， a n 为一系列信息参数，函数 PHA ： R n → R ，则幂调和平均算子（power harmonic average，PHA）定义为
其中：
PHA算子同样具有有界性、幂等性、一般性和置换不变性，但也不具有单调性。
类似地，基于OWA算子和PA算子、PGA算子以及PHA算子，一些学者给出了POWA算子（Yager，2001）、POWGA算子（Xu ＆ Yager，2010）以及POWHA算子（姚平等，2012）。定义分别如下：
定义2.5 假设 a 1 ，…， a n 为一系列信息参数，函数POWA： R n → R ，则幂有序加权平均算子（power ordered weighted averaging，POWA）定义为
其中：
在式（2-35）和式（2-36）中，
Q
是一个BUM函数，
表示第
i
个信息参数与其他信息参数之间的支撑程度，
是信息参数
a
j
（
j
＝1，…，
n
）中第
j
大参数。
定义2.6 假设 a 1 ，…， a n 为一系列信息参数，函数POWGA： R n → R ，则幂有序加权几何平均算子（power ordered weighted geometric averaging，POWGA）定义为
其中： u i 由式（2-35）和式（2-36）确定， a index（ i ）是信息参数 a j （ j ＝1，…， n ）中第 j 大参数。
定义2.7 假设 a 1 ，…， a n 为一系列信息参数，函数POWHA： R n → R ，则幂有序加权调和平均算子（power ordered weighted harmonic averaging，POWHA）定义为
其中： u i 由式（2-35）和式（2-36）确定， a index（ i ）是信息参数 a j （ j ＝1，…， n ）中第 j 大参数。
同样地，POWA算子、POWGA算子以及POWHA算子同样具有有界性、幂等性、一般性和置换不变性，但也不具有单调性。
当然，经典的决策方法不仅仅限于这几种，例如，多属性效用理论（MAUT）（Fishburn，1974；Huber，1974）、ELECTRE（Benayoun et al.，1966）、PROMETHEE（Brans ＆ Mareschal，1992）、QUALIFLEX（Paelinck，1997）、REGIME（Hinloopen et al.，1983）、数据包络分析（data envelopment analysis，DEA）（Charnes et al.，1978；Banker et al.，1984；魏权龄，2004；Sueyoshi ＆ Goto，2012；LaPlante ＆ Paradi，2015）等都属于经典决策中的常用方法。然而，随着生产和生活的不断发展，人们的决策活动越来越复杂，现实生活中的许多决策问题都不能准确地用确切数去评估，因此，经典的决策方法往往不能解决这些复杂的决策问题。通常情况下，每一个决策者偏好结构和知识构成是不同的，加之有些评估属性不能具体描述，甚至比较抽象，以及决策的信息有限、决策的背景也比较复杂，这就导致决策者往往不愿意给出精确的数值，而是用不确定信息或者模糊信息来表示，因此，需要一种新的理论来支撑和融合经典的决策理论。1965年，美国著名的控制论专家、加利福尼亚大学Zadeh教授提出了模糊集（fuzzy set）的概念（Zadeh，1965），并建立了模糊集合理论，以便用来解决管理决策中存在的大量模糊性。