§2.2 例题选讲

例 2.17 排列 与排列 具有相同的奇偶性的充分必要条件是n________________＝（mod4）．

解 因为 _{＋ ＝} ＝ ，所以排列 与排列 具有相同的奇偶性的充分必要条件是n ≡ 0（mod4）或n ≡ 1（mod4）．

分析： 易见D的最后一行的元素由 ，…， 变为 ， ，…， ，这就是由x ₁ ，x ₂ ，…，x _n 构成的n阶范德蒙行列式，为了利用范德蒙行列式的结论计算，我们在D的倒数第二行与最后一行之间增加由 构成的行，并增加由 1，x，…，x ^n－1 ，x ⁿ 构成的最后一列，得到由x ₁ ，x ₂ ，…，x _n ，x构成的n＋1 阶范德蒙行列式，于是

n次多项式，从左边看，根据行列式的按行按列展开定理可知这个多项式的n－1 次项的系数为（－1） ^2n＋1 D＝－D；从右边看，利用多项式根与系数的关系可知这个多项式的n－1次项的系数为－ （x ₁ ＋x ₂ ＋…＋x _n ），由此比较两边的系数得D＝ （x ₁ ＋x ₂ ＋…＋x _n ）．

解 因为

比较两边的系数就得D＝ （x ₁ ＋x ₂ ＋…＋x _n ）．1≤i ＜ j≤n

例 2.19 计算f（x＋1）－ f（x），其中

分析 ：f（x＋1）的最后一列元素分别为

由此可得f（x＋1）等于n＋2个行列式的和，前面n个行列式将最后一列的公因式x ^k ，0 ≤ k ≤ n－1 提出后，该行列式有两列元素对应相等，因此其值为零，所以

故f（x＋1）－ f（x）＝（n＋1）！x ⁿ ．

故f（x＋1）－ f（x）＝（n＋1）！x ⁿ ．

例 2.20 三阶行列式有 2 个元素为 4，其余为± 1，则此行列式可能的最大值为____________．

解 根据行列式的定义得三阶行列式的值等于

如果两个 4 出现在同一行或同一列，则上述每一项的值均小于或等于 4，所以必有其值小于或等于24；如果两个4不出现在同一行或同一列，则上述六项中有一项小于或等于16，有两项小于或等于 4，其余三项的绝对值等于 1，因此其最大值必满足三项含有 4 的均为正数．因为

所以上述六项中必有一项为负数或零，所以其值必小于或等于 25（因为有一项为零，则必有两项为零，如果没有为零的项，则至少有一项为小于或等于－1 的项），取

则a ₁₁ a ₂₂ a ₃₃ ＋a ₁₂ a ₂₃ a ₃₁ ＋a ₁₃ a ₂₁ a ₃₂ －a ₁₃ a ₂₂ a ₃₁ －a ₁₁ a ₂₃ a ₃₂ －a ₁₂ a ₂₁ a ₃₃ ＝25，故最大值为25．

例 2.21 元素全为 1 或－1 的四阶行列式的最大值为_____________

解 我们首先考虑元素全为 1 或－1 的三阶行列式的最大值，由定义可得其值为

因为

所以六项中至少有一项等于－1，因此其值小于或等于 4，注意到

因此元素全为 1 或－1 的三阶行列式的最大值等于 4，又由按行按列展开定理得：元素全为 1 或－1 的四阶行列式等于a ₁₁ M ₁₁ － a ₁₂ M ₁₂ ＋a ₁₃ M ₁₃ － a ₁₄ M ₁₄ ≤ 16，且

故最大值为 16．

例 2.22 设A为3 阶方阵，X为3 维列向量，满足A ³ X＋A ² X＋2AX－3X＝0，若向量组X，AX，A ² X线性无关，则 ＝______________．

解 因为向量组X，AX，A ² X线性无关，所以P＝（X，AX，A ² X）为可逆矩阵，由于A ³ X＋A ² X＋2AX－3X＝0，所以AP＝（AX，A ² X，A ³ X）＝ ，从而 ＝ ＝3 ，故 ＝3．

例 2.23 设n ≥ 3，在由 1，2，…，n构成的n！个n级排列中，反序数等于 2 的排列数共有_____________个．

解 设n级排列j ₁ j ₂ …j _n－1 j _n 中排在i前面且大于i的数目为k _i ，i＝1，2，…，n，则

的充分必要条件是k ₁ ，k ₂ ，…，k _n－1 中恰有两个数为1，其余的数均为0，因为k _n ＝0 或k ₁ ，k ₂ ，…，k _n－2 中恰有一个数为 2，其余的数均为 0，因为k _n－1 ≤ 1，故反序数等于 2 的排列数共有

例 2.24 若三阶方阵A有特征值 1，2，2，则行列式 ＝___________．

解 因为 3 阶方阵A的三个特征值为 1，2，2，所以A＝4，因此

例 2.25 设三阶矩阵A满足A ^T ＝A ^* ， 3A＋E

分析： 由题设条件可知应该利用方法 2.1.6 与 2.1.7 解答，这需要求出A的三个特征值就可以了，而方程 ＝0 告诉我们只要求出A的两个特征值就可以了．因为A ^T ＝A ^* ，所以AA ^T ＝AA ^* ＝ ，由此得 ，所以 ＝0，于是对这两种情形分类讨论就可以了．

解 因为A ^T ＝A ^* ，所以AA ^T ＝AA ^* ＝ ，由此得 ，所以 ＝1 或 ＝0．若 ＝1，则 ＝ （E－A） ^T ，因此 ＝0，所以 ＝ ＝0；若 ＝0，则AA ^T ＝0，因此2R（A）＝R（A）＋R（A ^T ）≤3，所以R（A）＝0 或R（A）＝1．若R（A）＝0，则A＝0，于是有 2＝2 ＝0，矛盾，所以R（A）＝1，因此A至多有一个特征值不为零，设其为λ，则 2A＋E与3A＋E的特征值分别为1，1，2λ＋1与1，1，3λ＋1，所以 ＝5λ＋2＝0，因此λ＝－ ，所以A ² －E的特征值为－1，－1，（－2／5） ² －1＝－ ，故 ＝－

例 2.26 证明：如果n阶行列式D _n 中所有元素都为 1 或－1，则当n ≥ 3 时， ≤（n－1）（n－1）！．

证明我们首先考虑元素全为 1 或－1 的三阶行列式的最大值，由定义可得其值为

因为a ₁₁ a ₂₂ a ₃₃ ·a ₁₂ a ₂₃ a ₃₁ ·a ₁₃ a ₂₁ a ₃₂ ·（－ a ₁₃ a ₂₂ a ₃₁ ）·（－ a ₁₁ a ₂₃ a ₃₂ ）·（－ a ₁₂ a ₂₁ a ₃₃ ）＝－1，所以六项中至少有一项等于－1，因此其值小于或等于4，注意到 ＝4，因此－1－11 元素全为 1 或－1 的三阶行列式的最大值等于 4，所以 ≤ 4＝2·2！，结论成立；现设n ≥ 3 且 ≤（n－1）（n－1）！，则由行列式的按行按列展开定理知 小于或等于n＋1 个所有元素都为 1 或－1 的n阶行列式的绝对值之和，由归纳假设得

≤（n＋1）·（n－1）（n－1）！＝（n－1）·n！＋（n－1）·（n－1）！＜ n·n！．

故由数学归纳法得n ≥ 3 时， ≤（n－1）（n－1）！．

分析： 易见D的最后一行的元素由 变为 ，这就是由x ₁ ，x ₂ ，…，x _n 构成的n阶范德蒙行列式，为了利用范德蒙行列式的结论计算，我们在D的倒数第二行与最后一行之间增加由 ，…， 构成的行，并增加由 1，x，…，x ^n－1 ，x ⁿ 构成的最后一列，得到由x ₁ ，x ₂ ，…，x _n ，x构成的n＋1 阶范德蒙行列式，于是

是一个n次多项式，从左边看，根据行列式的按行按列展开定理可知这个多项式的n－1次项的系数为（－1） ^2n＋1 D＝－D；从右边看，利用多项式根与系数的关系可知这个多项式的n－1 次项的系数为－ （x ₁ ＋x ₂ ＋…＋x _n ），由此比较两边的系数就得D＝ （x ₁ ＋x ₂ ＋…＋x _n ）．

比较两边x ^n－2 的系数得D _n ＝

（2）应用上述公式，将根式 分母有理化．

（3）请将（1）中的公式推广到一般的情形．

证明 （1）因为 是有理数域上不可约多项式x ³ －2 的根，所以a ＋ ≠0，否则 是a＋bx＋cx ² ∈Q［x］的根，因此x ³ －2 ，所以a＝b＝c＝0，与a，b，c不全为零矛盾．又因为

其中A _i1 表示D的i行1 列元素的代数余子式．令D _i 是将D的第1 列元素换成D的第i列，其余各列元素不变的n阶行列式，则由行列式的性质可得D _i ＝0，2 ≤ i ≤ n．

因为

故（1）中的公式推广到一般的情形为：

设a ₁ ，a ₂ ，…，a _n 是不全为零的有理数，则

例 2.29 计算n（n ≥ 3）阶行列式

其中，

故：原式＝0．

例 2.30 设f（x）＝c ₀ ＋c ₁ x＋…＋c _n x ⁿ ．用线性方程组的理论证明，若是f（x）有n＋1个不同的根，那么f（x）是零多项式．

证明 设k ₁ ，k ₂ ，…，k _n＋1 是f（x）的n＋1 个不同的根，那么

…＝c _n ＝0，故f（x）是零多项式． cTL/MjtvIiNs09eq2ah3ZNAJ0BPjb4GTlPg2OFj6xSmYbr9VP9BDdhrpJ5y6ck28