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上式右边是对 1，2，…，n这n个数的所有排列j 1 …j n 求和，π（j 1 …j n ）是j 1 j 2 …j n 的逆序数．
说明： ①在实际问题中，利用行列式的定义来计算行列式的情况很少，但它却是讨论行列式的性质和其他计算行列式的方法的理论基础，因此考生应了解这个方法．
②利用方法 1 不难得到
其中（2.2）中前、后两个行列式分别称为上、下三角形行列式；（2.3）中前、后两个行列式分别称为次上、次下三角形行列式．
所谓降阶法是利用行列式的性质把行列式的某一行（或某一列）变成只有一个非零元素，再把行列式按这一行（或这一列）展开，化高阶行列式为低阶行列式并最终化为二阶行列式以便求出行列式的方法．
说明： 阶数小于或等于 5 的具体行列式（行列式的元素都是或多数是具体的数）一般要利用方法 2.1.2 计算．
例 2.1
问λ，μ取何值时，齐次线性方程组
有非零解．
解
因为系数行列式
＝－μ（λ－1）
故λ＝1 或μ＝0 时，齐次线性方程组有非零解．
利用行列式的性质将行列式化为上（下）三角形行列式或次上（次下）三角形行列式并利用公式（2.2）或（2.3）计算行列式的方法，称为三角形法．
说明 ：n阶行列式常常需要利用方法 2.1.3 计算．
说明 ：①除第1行，第1列与主对角线上的元素外，其余位置上的元素全部为零且i行i列的元素（i＝2，3，…，n）都不为零的行列式，称为爪形行列式．
②作行变换r
1
－
＝2，3，…，n），可以把爪形行列式变为下三角形行列式，也能a
j
得到相同的结论．
形行列式，用类似的方法计算可得该行列式为：a
1
a
2
…a
n－1
（a
n
－
）．
分析 ：这两个行列式的共同特点是除主对角线上的元素外，其余位置上的元素相同，且第一行（或第一列或第n行或第n列）的元素相同，它们皆可化为上三角形行列式，也可以化为下三角形行列式
说明 ：①作行变换r j － r n （j＝1，2，…，n－1）可以把（1）中的行列式化为下三角形行列式．
②作列变换c j － c 1 （j＝2，…，n）可以把（2）中的行列式化为下三角形行列式．
例 2.4 计算行列式
分析： 这两个行列式的共同特点是除第1 行（或第1 列）与主对角线上的元素外，其余位于相同的行（或相同的列）的元素都相同，即它们都可以化为爪形行列式，进而化为上（或下）三角形行列式．（b j ≠ a j ，j＝2，…，n）
（2）计算方法与（1）类似，略．
说明： 令e 1 ＝b 2 ＝…＝b n ＝a，e 2 ＝…＝e n ＝a 2 ＝…＝a n ＝b，可得
分析： 这个行列式除第 1 行，第n列与次对角线上的元素外，其余位置上的元素都为零且次对角线上的元素除 1 行n列外都不为零，它与爪形行列式的特点比较类似，我们把它称为次爪形行列式，它可以化为次上（或次下）三角形行列式．
说明：
①作行变换r
1
－
＝2，…，n）可把次爪形行列式化为次下三角形行列式，得到完全相同的结果．
列式，类似计算可得该行列式为：（－1）
·a
2
a
3
…a
n
．
③如下形式的行列式
这两个行列式的共同特点是除第n行（或第n列）与主对角线上的元素外，其余位于相同的行（或相同的列）的元素都相同，它们都可以化为次爪形行列式，进而计算出它们的值如下：
分析： 这个行列式的特点是主对角线与主对角线上方的元素为同一个数，它可以化为下三角形行列式．
说明： ①作行变换r j － r j＋1 （j＝1，2，…，n－1）也能把行列式化为下三角形行列式．
②主对角线与主对角线下方的元素为同一个数的行列式可以化为上三角形行列式．
③次对角线与次对角线上（下）方的元素为同一个数的行列式可以化为次下（上）三角形行列式．
我们有时需要利用行列式的性质并结合行列式的按行按列展开定理才能化行列式为所熟知的行列式．
分析： 这个行列式称为循环行列式，其各行与各列的元素之和相同，这类行列式通常是把各行各列元素加到第 1 行（或把各列元素加到第 1 列）提出公因式后，再利用行列式的性质把第 1 行（或第 1 列）变为只有一个非零元素再按该行（或该列）展开．
说明： ①最后一个等式利用了公式（2.5）的结论；
②若作列变换C j －C 1 （j＝2，3，…，n），虽然也能把第 1 行变为只有一个非零元素，但按第 1 行展开后的行列式就不易计算了．
利用行列式的性质并结合行列式按行按列展开定理，把n阶行列式D n 用同样形式的n－1 阶或更低阶的行列式表示出来（即找出递推关系式），然后根据递推关系式求出D n ，这种计算方法称为递推关系法．
我们首先给出两个已知递推关系式，n阶行列式的计算公式．
性质 2.1 如果
D n ＝pD n－1 ＋qD n－2 （n ＞ 2）
p，q是与n无关的常数，p 2 ＋4q ≠ 0，D n ，D n－1 ，D n－2 是同类型的n阶、n－1 阶、n－2 阶行列式，则
其中C
1
＝
，C
2
＝
，α，β是一元二次方程x
2
－ px－ q＝0 的两个根．
证明 由根与系数的关系：p＝α＋β，q＝－αβ，则
D n ＝（α＋β）D n－1 －αβD n－2 （n ＞ 2）
从而D n －αD n－1 ＝β（D n－1 －αD n－2 ），D n －βD n－1 ＝α（D n－1 －βD n－2 ）
于是
（2.7）× β－（2.8）× α得（β－α）D n ＝β n－1 （D 2 －αD 1 ）－α n－1 （D 2 －βD 1 ），故D n ＝C 1 α n ＋C 2 β n ．
性质 2.2 如果
D n ＝pD n－1 ＋qD n－2 （n ＞ 2）
p，q是与n无关的常数，p 2 ＋4q＝0，D n ，D n－1 ，D n－2 是同类型的n阶、n－1 阶、n－2 阶行列式，则
其中C
1
＝
，C
2
＝
，α是一元二次方程x
2
－ px－ q＝0 的根．
证明 由根与系数的关系：p＝2α，q＝－α 2 ，则D n ＝2αD n－1 －α 2 D n－2 （n ＞ 2）
从而D n －αD n－1 ＝α（D n－1 －αD n－2 ）＝α n－2 （D 2 －αD 1 ）
于是（1）D n －αD n－1 ＝α n－2 （D 2 －αD 1 ）
（1）＋α ×（2）＋…＋α n－3 ×（n－2）得：D n －α n－2 D 2 ＝（n－2）α n－2 （D 2 －αD 1 ）
故D
n
＝α
n
＝α
n
[（n－1）C
1
＋C
2
]．
解 将D n 按第1 行展开得D n ＝7D n－1 －10D n－2 ，由于x 2 －7x＋10＝0 的两根为α＝2，
解 将D n 按第1 行展开得：D n ＝2D n－1 －D n－2 ，由于x 2 －2x＋1＝0 的根为α＝1，所以：
所以：原式＝［λα＋（n－2）λβ－ ab（n－1）］（α－β） n－2 ．
解 如果y＝z，则原式＝［x ＋（n－1）y］（x－ y） n－1 ．如果y ≠ z，则记
将行列式D n 的第 1 行与第 1 列分别视为两组元素的和并利用行列式的性质可得：
因为
说明： ①例2.11 的解法是利用行列式的性质建立关于D n 与D n－1 的二元一次方程组，再解出D n ．
②如果知道或者能够猜出D n 的最后表达式，那么利用归纳法也能证明且书写会简单一点．
③我们将例2.10与例2.11的行列式分别记为D n （λ，a，b，α，β）与D n （x，y，z），要注意当把参数换为具体的数或其他符号时，也能给出解答，例如
D 3 （λ，a，b，α，β）＝（λα＋λβ－2ab）（α－β）．
分析：
在例2.11 中，将y替换为a，z替换为－ a即可，因此D
n
＝
，我们利用归纳法解答．
n＝1时，结论成立；现设n ＞ 1 且D
n－1
＝
，则将行列式D
n
的第1 行视为两组元素的和并利用行列式的性质可得：
因为
所以D
n
＝（x－ a）
＋a（x＋a）
n－1
＝
性质 2.3
（1）
；（2）
；（3）
；（4）
＝
；（A为可逆矩阵）其中A，B为n阶方阵，a为常数，A
*
表示A的伴随矩阵，A
－1
表示A的逆矩阵．
例 2.13
设A为n阶方阵，且A的行列式
＝a ≠ 0，A
*
是A的伴随矩阵，则
等于
（A）a 2
（B）a n
（C）a 2n－1
（D）a 2n
解
＝a
n－1
，
＝a
2n
－1
，故应该选择（C）．
例 2.14
设矩阵A＝
，E为二阶单位矩阵，矩阵B满足BA＝B＋2E，则
＝_________．
解
由BA＝B＋2E，得：B（A－E）＝2E，而
＝
＝2，
＝4，故由：
得：
＝2．
理论依据：
（1）设n阶方阵A的n个特征值为λ
1
，λ
2
，…，λ
n
（A＝（a
ij
）），则
＝λ
1
λ
2
…λ
n
；
（2）设λ 1 ，λ 2 ，…，λ n 是n阶矩阵A的全部特征值，f（x）是任意一个次数大于零的多项式，则f（λ 1 ），f（λ 2 ），…，f（λ n ）是n阶矩阵f（A）的全部特征根；
（3）设λ 1 ，λ 2 ，…，λ n 是n阶可逆矩阵A的全部特征根，则λ 1 －1 ，λ 2 －1 ，…，λ n －1 是n阶可逆矩阵A －1 的全部特征值．
例 2.15
已知 4 阶矩阵A相似于B，A的特征值为 2，3，4，5．E为 4 阶单位矩阵，则
＝___________．
解 由题设知B的特征值为 2，3，4，5，所以B－E的特征值为 1，2，3，4，故
＝1 × 2 × 3 × 4＝24．
例 2.16
设三阶矩阵A的特征值为 1，2，－3，求
解
因为A的特征值为 1，2，－3，所以A
3
－3A＋E＝f（A），f（x）＝x
3
－3x＋1 的特征值为f（1）＝－1，f（2）＝3，f（－3）＝－17，故
＝（－1）× 3 ×（－17）＝51．