§1.3 练习题

§1.3.1 北大与北师大版教材习题

1．如果f（x），g（x）不全为零，证明 ＝1．

2．求下列多项式的公共根：

f（x）＝x ³ ＋2x ² ＋2x＋1；g（x）＝x ⁴ ＋x ³ ＋2x ² ＋x＋1．

3． m，p，q满足什么条件时，x ² ＋mx＋1 ＋px ² ＋q．

4．判别下列多项式有无重因式：

（1）f（x）＝x ⁵ －5x ⁴ ＋7x ³ －2x ² ＋4x－8；

（2）f（x）＝x ⁴ ＋4x ² －4x－3．

5．求t值使f（x）＝x ³ －3x ² ＋tx－1 有重根．

6．求多项式f（x）＝x ³ ＋px＋q有重根的条件．

7．如果（x－1） ＋Bx ² ＋1，求A，B．

8．如果a是f‴（x）的一个k重根，证明a是

的一个k＋3 重根．

9．证明：x ₀ 是f（x）的k重根的充分必要条件是

10．举例说明断语“如果α是f′（x）的k重根，那么α是f（x）的k＋1重根”不对．

11．证明：如果（x－1） ，那么（x ⁿ －1）

12．判断f（x）＝x ⁵ －3x ⁴ ＋5x ³ －7x ² ＋6x－2 有无重因式，若有，请求出f（x）的所有重因式并指出重数．

13．下列多项式在有理数域上是否可约？

（1）x ² ＋1；

（2）x ⁴ －8x ³ ＋12x ² ＋2；

（3）x ⁶ ＋x ³ ＋1；

（4）x ^p ＋px＋1，p为奇素数；

（5）x ⁴ ＋4kx＋1，k为整数．

14．证明：如果f（x）与g（x）互素，那么f（x ^m ）与g（x ^m ）也互素

15．多项式m（x）称为多项式f（x），g（x）的一个最小公倍式，如果

1）f（x） m（x）；2）f（x），g（x）的任何一个公倍式都是m（x）的倍式．

我们以［f（x），g（x）］表示首项系数是1的那个最小公倍式．如果f（x），g（x）的首项系数都是 1，那么［f（x），g（x）］＝ ．

16．证明：次数大于零且首项系数为 1 的多项式f（x）是一个不可约多项式的方幂的充分必要条件是：对于任何多项式g（x）必有（f（x），g（x））＝1，或者对某一正整数m，f（x） ．

17．证明：次数大于零且首项系数为 1 的多项式f（x）是一个不可约多项式的方幂的充分必要条件是：对于任何多项式g（x），h（x），由f（x） 可以推出f（x） ，或者对某一正整数m，f（x） ．

18．求一个次数＜ 4 的多项式f（x），它适合

f（2）＝3，f（3）＝－1，f（4）＝0，f（5）＝2．

19．求一个二次多项式f（x），它在x＝0， ，π处与函数sinx有相同的值．

20．求一个次数尽可能低的多项式f（x），使

f（0）＝1，f（1）＝2，f（2）＝5，f（3）＝10．

22．考虑有理数域上的多项式

f（x）＝（x＋1） ^k＋n ＋（2x）（x＋1） ^k＋n－1） ＋…＋（2x） ^k （x＋1） ⁿ ，

这里k和n都是非负整数，证明：x ^k＋1 ＋（x＋1） ^k＋n＋1 ．

23． a，b应该满足什么条件，下列的有理系数多项式才能有重因式：

（1）x ³ ＋3ax＋b；（2）x ⁴ ＋4ax＋b．

24．设f（x）＝2x ⁵ －3x ⁴ －5x ³ ＋1，求．f（3），f（－2）．

25．设n次多项式f（x）＝a ₀ x ⁿ ＋a ₁ x ^n－1 ＋a _n－1 x＋a _n 的根是α ₁ ，α ₂ ，…，α _n ，求

（1）以cα ₁ ，cα ₂ ，…，cα _n 为根的多项式，这里c是一个数；

（2）以 ，…， （假定α ₁ ，α ₂ ，…，α _n 都不等于零）为根的多项式．

26．设f（x）是一个多项式，用 表示把f（x）的系数分别换成它们的共轭复数后所得多项式，证明：

（1）若g（x） ，那么 ；

（2）若是d（x）是f（x）和f.（x）的一个最大公因式，并且d（x）的最高次项系数是1，那么d（x）是一个实系数多项式．

27．在复数和实数域上，分解x ⁿ －2 为不可约多项式的乘积．

28．证明数域P上任意一个不可约多项式在复数域内没有重根．

参考答案

§1.3.2 各高校研究生入学考试原题

1．设g（x）＝p ^k （x）g ₁ （x）≠ 0（k ≥ 1），（p（x），g ₁ （x））＝1，那么对于任意多项式f（x），有

f（x）＝r（x）g ₁ （x）＋f ₁ （x）p（x），其中r（x）＝0 或 ＜ ）．

2．证明：多项式f（x）＝a ₀ x ⁿ ＋a ₁ x ^n－1 ＋…＋a _n 能被（x－1） ^k＋1 整除的充分必要条件是下列等式同时成立：

3．在Z［x］中，若f＝x ² ＋ax＋b与g＝x ² ＋cx＋d有公因式x＋m，则

b－ d＝m（a－ c）．

4．已知f（x）＝x ⁴ － x ³ ＋4x＋1，g（x）＝x ² －x－1，求u（x），v（x）使

u（x）f（x）＋v（x）g（x）＝（f（x），g（x）．

5．求多项式f（x）＝x ³ ＋1 与g（x）＝x ⁴ ＋3x＋2 的最大公因式d（x），并求多项式u（x）与多项式v（x）使得f（x）u（x）＋g（x）v（x）＝d（x）．

6．设f（x），g（x）是实系数多项式，且（x ² ＋2）f（x）－（x ³ ＋1）g（x）＝1．

（1）求f（x），g（x）的最大公因式（f（x），g（x））；

（2）证明：f（x），g（x）都是非零的；而且对任意系数多项式h（x）都存在实系数多项式p（x），q（x）使得h（x）＝p（x）f（x）＋q（x）g（x）；

（3）若f（x）是首项系数为 1 的 3 次多项式，求g（x）．

7．求一个3 次多项式f（x）．使得f（x）除以x ² ＋1 的余式是3x＋4．除以x ² ＋x＋1 的余式是 3x＋5．

8．求一个三次多项式f（x），使得f（x＋1）能被（x－1） ² 整除，而f（x）－1 能被（x＋1） ² 整除．

9．设f（x），g（x）是整系数多项式，且g（x）是本原的，如果：f（x）＝g（x）h（x），其中h（x）是有理系数多项式，证明：h（x）一定是整系数的．

10．若f（x）＝x ³ －3x ² ＋tx－1 有一个两重根，则t＝．

11．证明：多项式f（x）＝a ₁ x ^p1 ＋a ₂ x ^p2 ＋…＋a _k x ^pk 不可能有不等于零而重数大于k－1的根，其中p ₁ ，p ₂ ，…，p _k 各不相同，且a ₁ a ₂ …a _k ≠ 0．

12．若整系数多项式f（x）有根p ／ q，这里p，q是互素的整数，则

（q－ p） f（－1），

且对任意整数m，（mq－ p） m．

13．设f（x）＝a _n x ⁿ ＋a _n－1 x ^n－1 ＋…＋a ₁ x＋a ₀ 是一个整系数多项式．证明：如果a _n ＋a _n－1 ＋…＋a ₁ ＋a ₀ 是奇数，则f（x）既不能被x－1 整除，又不能被x＋1 整除．

14．设f（x）是整系数多项式，证明：若存在偶数a以及奇数b，使得f（a）以及f（b）都是奇数，则f（x）没有整数根．

15．设f（x）＝x ³ ＋ax ² ＋bx＋c是一个整系数多项式，若a，c是奇数，b是偶数，证明：f（x）是有理数域上的不可约多项式．

16．设f（x）＝a ₀ ＋a ₁ x＋…＋a _2n＋1 x ^2n＋1 是整系数多项式，若有素数p使得

证明：f（x）在Q［x］中不可约．

17．设f（x）＝（x－ a ₁ ） ² （x－ a ₂ ） ² …（x－ a _n ） ² ＋1，其中a ₁ ，a ₂ ，…，a _n 是各不相同的整数，证明：f（x）在Q［x］中不可约．

18．设f（x）是有理系数多项式．

（1）如果f（x）是二次多项式，求证：f（x）不可约的充分必要条件是没有有理根．

（2）试举例说明当f（x）的次数大于3 的时候，f（x）没有有理根只是f（x）不可约的必要条件．

（3）试举例说明艾森斯坦判别法只是判别f（x）不可约的充分条件，而不是必要条件．

19．多项式f（x）＝2x ³ ＋4x ² ＋6x＋1在有理数域上是__________的（注：填可约或不可约）．

20．判断多项式x ⁵ ＋6x ⁴ －4x ³ ＋8x ² ＋12x＋12 在有理数域上是否可约并给出理由．

21．设多项式f（x）＝（x－1）（x－2）…［x－（2n＋1）］＋1，其中n为非负整数，证明：f（x）在有理数域上一定不可约．

22．设n是大于 1 的整数，问： 是否为无理数？说明理由．

23．证明f（x）＝x ³ －5x＋1 在有理数域上不可约．

24．设p（x）＝x ³ ＋2x＋2，f（x）＝x ⁴ ＋x ³ ＋1．

（1）证明p（x）在Q［x］中不可约；（2）证明对于p（x）的任何一个复数根α，f（α）≠0；（3）证明对于p（x）的任何一个复数根α，存在次数不大于2 的多项式g（x）∈Q［x］，使得：g（α）f（α）＝1．

25．证明多项式x ⁴ ＋32x＋1 在有理数域上不可约．

26．给定有理数域Q上的多项式f（x）＝x ³ ＋3x ² ＋3．

（1）证明：f（x）在Q［x］中不可约．

（2）设α是f（x）在复数域C内的一个根，定义

Q［α］＝｛a ₀ ＋a ₁ α＋a ₂ α ² ∈Q｝

证明：对任意的g（x）∈Q［x］，有g（α）∈Q［α］．

（3）证明：若β∈Q［α］且β≠ 0，则存在γ∈Q［α］，使得βγ＝1．

27．求所有整数m，使得x ⁴ － mx ² ＋1 在有理数域上可约．

28．f（x）＝（x－a ₁ ）（x－a ₂ ）（x－a ₃ ）（x－a ₄ ）＋1，a _i 为整数，且a ₁ ＜a ₂ ＜a ₃ ＜a ₄ ，则f（x）在有理数域上可约⇔a _i＋1 － a _i ＝1．

29．假设（1）f（x）和h（x）是两个有理系数多项式；（2）f（x）和h（x）有公共根；（3）h（x）在有理数域上不可约．证明：h（x）

30．设f（x）是非零复系数多项式，设f′（x）是f（x）的微分（导数多项式）：设d（x）是f（x）与f′（x）的最大公因式；设整数m ＞ 1；证明：复数c是f（x）的m重根的充分必要条件是c为d（x）的m－1 重根．请说明这里为什么需要假设m ＞ 1．

31．设p（x）是数域P上的不可约多项式，α是p（x）的复根

（1）证明p（x）的常数项不等于零；

（2）证明对任意正整数m，（p（x），x ^m ）＝1；

（3）设p（x）＝x ³ －2x＋2，求

32．设复系数非零多项式f（x）没有重因式，证明：（f（x），f′（x））＝1．

33．设f（x）＝x ³ ＋6x ² ＋3px＋8，试确定p的值使f（x）有重根并求其根．

34． x ² ＋px＋q与x ² ＋qx＋p有公根，p ≠ q，则p＋q＝___________．

35．求方程x ⁴ － x ³ ＋2x－3＝0 的有理根．

36．证明：f（x）＝x ⁴ ＋x ³ ＋x ² ＋x＋1 没有实根．

37．设是大于零的实数，求方程φ（x）＝0，使得它的根恰是f（x）的根减去b．

38．设a _i ，1 ≤ i ≤ n是n个非负整数，试求多项式 被x ² ＋x＋1 整除的条件．

39．确定（x ⁴ ＋x ² ＋1）|（x ^3m ＋x ^3n＋1 ＋x ^3p＋2 ）的条件．

40．设f（x）＝x ³ ＋x ² ＋x＋1，g（x）＝x ⁸ⁿ ＋x ^8m＋2 ＋x ^4k＋1 ＋x ^12l＋3 （m，n，k，l ∈N ^* ），求证：f（x） ．

41．设f（x）＝a ₀ x ⁿ ＋a ₁ x ^n－1 ＋…＋a _n 是一个n次多项式，且

a ₀ ＋a ₁ ＋…＋a _n ＝0．

求证：f（x ^k＋1 ）能被x ^k ＋x ^k－1 ＋…＋x＋1 整除，这里n，k是正整数．

42．如果x ² ＋x＋1 ＋xf ₂ （x ³ⁿ ），其中m，n为任意正整数，证明：

（x－1） ²

43．设f（x）＝x ^3a － x ^3b＋1 ＋x ^3c＋2 ，g（x）＝x ² －x＋1，其中a，b，c为非负整数，则g（x） 的充分必要条件是a，b，c有相同的奇偶性．

44．设多项式f，g，h满足f（x ⁵ ）＋xg（x ⁵ ）＋x ² h（x ⁵ ）＝（x ⁴ ＋x ³ ＋x ² ＋x＋1）k（x）．证明：x－1 是f，g，h的一个公因式．

45．设f（x）是有理数域上次数为 2 008 的多项式，证明： 不可能是f（x）的根．

46．求出所有f（x），使得（x＋1）f（x＋1）－（x＋2）f（x）≡ 0．

47．求以三次方程x ³ ＋x＋1＝0 的三个根的平方为根的三次方程．

48．设f（x）是整系数多项式，且存在两两不等的整数a，b，c，d，使得

则f（x）＋1 没有整数根．

f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d）＝1．

49．设f（x）是一个整系数多项式，a，b，c是三个互异的整数．证明：不可能有f（a）＝b，f（b）＝c，f（c）＝a．

50．设x ₁ ，x ₂ ，x ₃ 是多项式f（x）＝x ³ ＋ax＋1 的全部复根．

（1）求行列式 的值．

（2）求f（x）的判别式D（f）＝（x ₁ －x ₂ ） ² （x ₁ －x ₃ ） ² （x ₂ －x ₃ ） ² 的值．

（3）设 ，求行列式 的值．

51．试证：设f（x）是整系数多项式，且f（1）＝f（2）＝f（3）＝p（p是素数）则不存在整数m，使f（m）＝2p成立．

52．设p（x）是有理数域上的一个不可约多项式，x ₁ ，x ₂ ，…，x _s 是p（x）在复数域上的根，f（x）是任一个有理系数多项式，使f（x）不能被p（x）整除．证明：存在有理系数多项式h（x），使 ＝h（x _i ），i＝1，2，…，s．

53．设f（x）∈Z［x］，Z表示整数集合，若有整数a，使得：f（a）＝f（a＋1）＝f（a＋2）＝1．证明：对任意整数c，f（c）≠－1．

54．如果f ₁ （x），f ₂ （x），f ₃ （x）是数域F上线性空间F［x］中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，证明：f ₁ （x），f ₂ （x），f ₃ （x）线性无关．

55．设f（x）＝x ³ ＋1．证明：多项式函数f（x），f（x＋1），f（x＋2），f（x＋3）在Q上线性无关．

56．给定不全为零的多项式f ₁ （x），f ₂ （x），f ₃ （x），证明：存在六个多项式

g ₁ （x），g ₂ （x），g ₃ （x），h ₁ （x），h ₂ （x），h ₃ （x）

使 ＝（f ₁ ，f ₂ ，f ₃ ），这里（f ₁ ，f ₂ ，f ₃ ）表示f ₁ ，f ₂ ，f ₃ 的首项系数为 1的最大公因式．

57．设f（x）＝x ⁿ ＋a _n－1 x ^n－1 ＋…＋a ₁ x＋a ₀ 是数域F上的不可约多项式，α是f（x）的一复数根．证明F［α］＝｛g（α） ∈F［x］｝是F上n维线性空间，且 1，α，…，α ^n－1 是一个基．

58．求所有满足条件：f（0）＝－4，f（1）＝－2，f（－1）＝－10，f（2）＝2 的实系数多项式f（x）．

59．叙述实系数多项式的因式分解定理，并将多项式x ¹⁰ －1 在实数域上分解为不可约多项式的乘积． 4yuVsD6G1u0V9jUlqcA52hBS/rDwQOLSDQStdux9Bv2bd025fanBUZ8vIAPygY47

参考答案