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本书是作者结合近四十年大学数学教学经验与科研成果，通过对现有的高等代数教材、高等代数教学大纲，全国研究生入学考试各高校试题及北大版高等代数教材和北师大版教材习题进行反复的研究、对比、推敲，精心分类编写而成．目的在于教会学生运用所学高等代数知识轻松解题．本书不仅适合广大数学专业学习者使用，也可以作为高校教师和数学专业学生学习高等代数的教、学参考书，同时也可作为报考研究生同学复习高等代数的参考书．
1．目标明确．本书的编写目的就是教会学生利用所学高等代数知识轻松解题，学会解题的方法、思路和解题格式规范．
2．内容实用．本书介绍的解题方法都是高等代数教材习题解答需要的，也是考试常考到的，特别是研究生入学考试常考到的．运用这些方法能解答教材中出现的高等代数习题和研究生入学考试中出现的试题．
3．结构合理．本书每一章都包含三节内容，第一节介绍高等代数习题与试题中的基本题型及其常用解题方法（指明解题依据，题型分类既按照北大版教材分为九章，又不拘泥于知识分类，凡相近题型归入同一章，例如行列式计算问题都归入第二章），实际上就是指明了这种题型所关联的是哪些基本知识；第二节为例题选讲（与第一节的基本题型分类对比举例）；第三节为北大与北师大版教材习题、各高校研究生入学高等代数试题（均配有答案，读者扫描对应的二维码即可查看）．
全书分为九章，主要内容为：
第一章为多项式，介绍了商式与余式的计算方法；多项式整除性的判定与证明的 7种常见解题方法；最大公因式的判定与证明的 5 种常见解题方法；互素的判定与证明的 3种常见的解题方法；整系数多项式有理根的计算与判定的 2 种常见解题方法；多项式可约与不可约的判定与证明的 3 种常见的解题方法；重因式（重根）及其重数的计算与判定的 3 种常见的解题方法；多项式（多项式函数）相等的判定与证明的 4 种常见的解题方法；多项式因式分解的 2 种常见的解题方法．
第二章为行列式，介绍了行列式计算的 7 种常见解题方法．
第三章为线性方程组，介绍了齐次线性方程组的基础解系与通解的计算方法，非齐次线性方程组的通解的计算方法；线性方程组有解与无解的判定与证明的 3 种常见解题方法；向量组线性相关与无关的判定与证明的 6 种常见解题方法；矩阵的秩与向量组的极大无关的计算与判定的 2 种常见解题方法；一个向量能否由一个向量组线性表示的证明方法；向量组的线性表示与向量组的等价的解题方法．
第四章为矩阵，介绍了矩阵可逆的判定与证明及逆矩阵的计算的 7 种常见解题方法；矩阵幂的计算的 3 种常见解题方法；求矩阵的 5 种常见解题方法；解矩阵方程的解题方法．
第五章为二次型，介绍了二次型对应的矩阵与秩的计算方法；二次型的标准形与规范形的计算的 3 种常见解题方法；实二次型的正、负惯性指数，符号差的计算方法；正定二次型（矩阵）的判定与证明的 5 种常见解题方法；半正定、负定与半负定二次型（矩阵）的判定与证明的 4 种常见解题方法．
第六章为线性空间，介绍了线性空间的判定与证明的 2 种常见解题方法；基与维数的计算、判定与证明的 4 种常见解题方法；求过渡矩阵的 2 种常见解题方法；求坐标的 2种常见解题方法；直和的判定与证明的 5 种常见解题方法；子空间的相关问题的解题方法；同构的判定与证明的 2 种常见解题方法．
第七章为线性变换，介绍了线性变换的判定与证明的 2 种常见解题方法；求线性变换矩阵的 2 种常见解题方法；线性变换（矩阵）对角化的判定与证明的 4 种常见解题方法；特征值与特征向量的计算、判定与证明的 3 种常见解题方法；特征值、特征向量及相似的 3 种常见应用；不变子空间的判定与证明的 2 种常见解题方法；象与核及其维数的计算、判定与证明的 2 种常见解题方法．
第八章为λ－矩阵与最小多项式，介绍了λ－矩阵的标准形的计算方法；求不变因子的4 种常见解题方法；求初等因子的 4 种常见解题方法；求若尔当标准形的方法与步骤；求最小多项式的 3 种常见解题方法；矩阵相似与对角化的判定与证明的 3 种常见解题方法（与λ－矩阵和最小多项式相关）．
第九章为欧式空间，介绍了求夹角、长度与距离的方法，柯西－施瓦兹不等式；度量矩阵的计算；欧式空间的判定与证明的方法；标准正交基的计算、判定与证明的 3 种常见解题方法；正交变换的判定与证明的 4 种常见解题方法；对称变换的判定与证明的 2 种常见解题方法；正交补的计算、判定与证明的 2 种常见解题方法．
第二，读者要认真学习本书第一部分，即基本题型的常见解题方法，掌握每一种方法的理论依据，用它证明问题需要书写什么，比如子空间的直和，我们介绍了 5 种方法，第一种方法利用定义来证明V
1
＋V
2
＋…＋V
r
是直和，则需证明V
1
＋V
2
＋…＋V
r
中的每一个向量的表法唯一，即对任意ξ∈
，存在唯一的αi ∈V
i
，i＝1，2，…，r，使得ξ＝
α
i
（如果问题是证明V＝V
1
…
V
r
，则需证明任意ξ∈V，存在唯一的α
i
∈V
i
，i＝1，2，…，r，使得ξ＝
α
i
）；第二种方法利用零向量表法唯一证明V
1
＋V
2
＋…＋V
r
是直和，就需证明若
α
i
＝0，α
i
∈V
i
，i＝1，…，n，则α
i
＝0，i＝1，…，n（表法唯一，需要证明两个方面，即表法的存在性与表法的唯一性，而此处表法的存在性是肯定的．零向量的和等于零向量，数学上证明唯一性，就是假设另有一个表法，证明这个表法与前面的表法相同，这里就是假设零向量另有一个表法，证明这个表法与全部为零向量的表法相同）；第三种方法利用交空间是零空间证明V
1
＋V
2
是直和，就需要证明V
1
∩V
2
＝｛0｝；第四种方法利用维数公式证明V
1
＋V
2
是直和，就需要证明dim（V
1
＋V
2
）＝dimV
1
＋dimV
2
（此方法只对有限维向量空间有效）；第五种方法利用特征子空间证明V＝V
1
…
V
r
，这里V
i
是V的属于某个线性变换σ的特征值λ
i
的特征子空间，需要证明σ的特征值都属于P（如果V是数域P上的向量空间），且对每个特征值λ
i
，对应的特征子空间的维数等于λ
i
的重数．
第三，每一种解题方法的分类是按照该题型涉及的知识来划分的，但仅仅利用知识往往是不够的，还需要用到数学的思想（分类讨论的思想、化归与转化的思想、有限与无限的思想、函数与方程的思想、归纳递推的思想）、方法（数学归纳法、反证法、同一法、解析法与综合法）、原理（最小数原理、抽屉原理、加法原理与乘法原理），读者在学习第一部分与第二部分的具体题目时，要体会题目中含有哪些数学思想、方法或原理．读者在用分类讨论的思想解题时，一定要体会分类的标准（不重复，也不遗漏），同时要尽可能在少分类的情况下求得问题的正确解答，例如三个多项式按照可约与不可约分类，可以分为都不可约、恰有一个可约、恰有两个可约、三个都可约，但讨论时也可以把后面三个分类归为一类，即至少有一个可约或至多有两个不可约，也可以把前三种归为一类，即至少有一个不可约或至多有两个可约，具体应该怎样分类，就需要根据具体问题来考虑．利用数学归纳法证明问题，其难点不在于证明过程，而在于归纳递推出所要证明的结论（参见例2.11 与例 2.12），且使用归纳法证明问题，一定要注意归纳奠基、归纳假设与归纳递推三步缺一不可，会写出正确的归纳假设（第一数学归纳法与第二数学归纳法的归纳假设是不同的），归纳递推必须把归纳奠基与归纳假设作为条件才能完成，没有归纳假设就不可能进行正确的归纳递推，没有归纳奠基，证明将毫无意义（因为递推的基础不存在）．读者要注意利用化归与转化思想将复杂的、抽象的、陌生的问题变成简单的、具体的、熟悉的问题，这就需要多记忆一些典型题型（参见第二章n阶行列式的计算）．
第四，读者在认真学习每一章前两节内容的基础上，应尽可能多地做一些练习题（即本书的第三节练习题）．需要注意的是，读者应尽量独立思考后完成，个别题目实在做不出，再看答案．
第五，读者应注意养成良好的解题习惯，
先审题
（要通过审题，明确题目的条件与结论）；
学会问
（一问结论成立，需要证明什么，即寻找结论成立的充分条件，寻找自己最熟悉的解题方法．例如：已知x
2
＋x＋1
＋f
2
（x
3
），求证x－1
，有的同学可能容易把结论视为整除性的问题，那就需要利用整除性的判定定理，即
§1.2.1
介绍的方法 2 证明，有的同学可能会把结论视为证明f
1
（1）＝f
2
（1）＝0，那就需要利用
§1.2.1
介绍的方法 7 证明，通过不断地问得到题目的正确解答．二问解答是否严谨．若是证明题，则是问每一步因果关系是来源于概念，还是有定理、性质或自己已做过且熟悉的题目来支撑，如果找不到理由来支持你的证明，那么你的书写就可能不成立；若是计算题，则要问计算方法是否是学过的方法，若未学过就须证明此方法是正确的，同时要检查计算是否有误，确保计算准确）；
懂本质
（理解题目解法的本质，会把具体的题目推广为一般的题目，也能由抽象的题目得到具体的题目，例如由例 1.6 可得例 1.10、例 1.13、例 1.17、北大P46 的第 25 题及
§1.3.2
的第 48、50 题等，例 2.10 可以记为
当把参数n，λ，b，α，β中的几个或全部替换为具体的数时，也能知道答案并利用该题的解法给出解答，比如D 5 （2，2，2，α，β）＝（2α＋6β－16）（α－β） 3 等）；会记忆（用自己的语言去描述题目，这样便于理解和记忆题目；用符号去表述题目，这样便于书写）．
1．教学时间建议．如果高等代数选讲开设两个学期，每期 48 学时，则本书前五章可以作为第一个学期的教学内容，后四章可以作为第二个学期的教学内容．具体教学学时的安排建议是：第一章，12 学时；第二章，6 学时；第三章，10 学时；第四章，10 学时；第五章，10学时；第六章，10 时；第七章，16 学时；第八章，10 学时；第九章，12 时．
2．教学内容建议．教师讲授每一章第一节与第二节内容，应适当选讲基本知识部分中学生不易理解的内容，选讲第三节个别题目，在讲授一、二节内容时，要引导学生掌握和理解用每一种方法解题时，需要书写什么，引导学生掌握和理解一些典型题目中蕴含的数学思想、方法和原理，尤其是抽象题目与具体题目之间的转化．
由于本书是初次出版，可能会出现一些计算、打印方面的错误，敬请读者批评指正．
本书出版得到西华师范大学“高等代数教学资源库”建设课题和西华师范大学数学与信息学院学科建设经费的支持，也得到了西南财经大学出版社的大力支持，在此表示衷心感谢！
编者
2021 年 8 月
