§2.3 练习题

§2.3.1 北大与北师大版教材习题

1．如果排列x ₁ x ₂ …x _n 的反序数等于k，那么排列x _n x _n－1 …x ₁ 的反序数等于多少？

2．在 6 阶行列式中，a ₂₃ a ₃₁ a ₄₂ a ₅₆ a ₁₄ a ₆₅ ，a ₃₂ a ₄₃ a ₁₄ a ₅₁ a ₆₆ a ₂₅ 这两项应带有什么符号？

3．写出 4 阶行列式中所有带有负号并且含有因子a ₂₃ 的项．

（1）利用定义说明：P（x）是一个次多项式；

（2）由行列式性质，求P（x）的根．

6．计算下列n阶行列式

7．证明：

8．设a ₁ ，a ₂ ，…，a _n 是数域P中互不相同的数，b ₁ ，b ₂ ，…，b _n 是数域P中任意给定的数，用克莱姆法则证明：存在数域P上唯一的多项式f（x）＝c ₀ x ^n－1 ＋c ₁ x ^n－2 ＋…＋c _n－1 使f（a _i ）＝b _i ，i＝1，2，…，n．

10．证明：

11．证明：

a _ij 的代数余子式；

证明：当n是奇数时，D＝0．

13．证明： ，其中A是n × n矩阵（n ≥ 2）．

参考答案

§2.3.2 研究生入学试题原题

一、填空题

1．设4 × 4 矩阵A＝（α，γ ₂ ，γ ₃ ，γ ₄ ），B＝（β，γ ₂ ，γ ₃ ，γ ₄ ），其中α，β，γ ₂ ，γ ₃ ，γ ₄ 均为4 维列向量，且已知行列式 ＝1，则行列式 ＝____________．

3．设A，B均为n阶矩阵， ＝－3，则 ＝____________．

4．设α＝（1，0，－1） ^T ，矩阵A＝αα ^T ，n为正整数，则 ＝_________．

5．设α ₁ ，α ₂ ，α ₃ 为三维列向量，记三阶矩阵

A＝（α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ），B＝（α ₁ ＋α ₂ ＋α ₃ ，α ₁ ＋2α ₂ ＋4α ₃ ，α ₁ ＋3α ₂ ＋9α ₃ ）．

如果 ＝1，则 ＝____________．

设行列式D＝ ，则D的第4 行元素的余子式之和的值为 ______________.

7．设矩阵A＝ ，矩阵B满足ABA ^* ＝2BA ^* ＋E，其中A ^* 是A的伴随矩阵，E为单位矩阵，则B＝_________．

8．已知α ₁ ，α ₂ 为二维列向量，矩阵A＝（2α ₁ ＋α ₂ ，α ₁ －α ₂ ），B＝（α ₁ ，α ₂ ），如果 ＝6，则 ＝___________．

9．设矩阵A＝ ，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA＝B＋2E，则 ＝___________．

10．设n阶矩阵A满足A ^T A＝E，其中E为单位矩阵， ＜ 0，则 ＝_____________．

11．设A，B均为n阶方阵， ＝2， ＝－3，A ^* 为A的伴随矩阵，则 ＝___________．

12．行列式D＝ ，A _ij 表示a _ij 的代数余子式，则A ₁₂ ＋2A ₂₂ ＋3A ₃₂ ＋4A ₄₂ ＝___________．

13．设D＝ ，A _ij ，表示元素a _ij 的代数余子式，则 2A ₁₄ ＋A ₂₄ ＋A ₃₄ ＋A ₄₄ ＝_______________．

14．设A与B均为n级方阵，A ^* 与B ^* 分别为它们的伴随矩阵 ＝－3，则 ＝______________．

15．设A为n阶矩阵，且 ，则 ＝_____________．

16．设A是n级复矩阵，k是复数．若 ，则k＝______________．

17．设数域A∈P ^n×n 并且A≠0，则 的充分必要条件是_____________．

18．设A，B都是3 级方阵，其中B＝ ，若有三级可逆方阵P，使得AP＝PB，则行列式 ＝____________．

19．设A是4 级方阵，B是5 级方阵，且 ＝－2，则 ＝______________．

20．设A是 3 级可逆矩阵，其逆矩阵的特征值为 ， ， ，则 ＝________________．

21．每一行和每一列只有一个元素为 1 其余元素全为零的n（n ≥ 0）阶行列式共有____________个，所有这些行列式的和等于_____________．

22．设A，B为n阶方阵．若 ＝2， ＝3， ＝6，则 ＝____________．

23．行列式 的第一列元的代数余子式的和是_______________.

24．设n阶方阵A的特征值为 2，4，…，2n，则行列式 ＝____________，其中E为n阶单位矩阵．

25．如果排列j ₁ j ₂ j ₃ j ₄ j ₅ 的逆序数为 4，则排列j ₅ j ₄ j ₃ j ₂ j ₁ 的逆序数等于_____________．

26．设 3 阶方阵A的特征值为 2，3，5，则 ＝_____________．

27．已知A为n阶方阵且 ＝3，则 ＝______________．

二、选择题

1．设A是n阶方阵，且A的行列式 ＝a ≠ 0，而A ^* 是A的伴随矩阵，则 等于

（A）a

（B）

（C）a ^n－1

（D）a ⁿ

2．设A是n阶可逆矩阵，A ^* 是A的伴随矩阵，则

（A）

（B）

（C）

（D）

3．设A，B为n阶方阵，满足AB＝0，则必有

（A）A＝0 或B＝0

（B）A＋B＝0

（C） ＝0 或 ＝0

（D） ＋ ＝0

4．设α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ，β ₁ ，β ₂ 都是四维列向量，且四阶行列式 ＝m，α ₁ α ₂ β ₂ ＝n，则四阶行列式 等于

（A）m＋n

（B）－（m＋n）

（C）n－ m

（D）m－ n

（A）a ₁ a ₂ a ₃ a ₄ － b ₁ b ₂ b ₃ b ₄

（B）a ₁ a ₂ a ₃ a ₄ ＋b ₁ b ₂ b ₃ b ₄

（C）（a ₁ a ₂ － b ₁ b ₂ ）（a ₃ a ₄ － b ₃ b ₄ ）

（D）（a ₂ a ₃ － b ₂ b ₃ ）（a ₁ a ₄ － b ₁ b ₄ ）

三、解答题

1．设A为 10 × 10 矩阵

计算行列式 ，其中E为 10 阶单位矩阵，λ为常数．

2．已知实矩阵A＝（a _ij ） _3×3 满足条件：（1）a _ij ＝A _ij （i，j＝1，2，…n），其中A _ij 是a _ij 的代数余子式；（2）a ₁₁ ≠ 0．计算行列式

3．设A为n阶矩阵，满足AA ^T ＝I，I为n阶单位矩阵，A ^T 是A的转置矩阵， ＜0，求

4．（1）设x ₁ ，x ₂ ，…，x _n 是n个实数，计算下述n阶行列式D的值

当 1 ≤ i ≤ n－1 时，D的第i行的元素为

（2）设向量组A：α ₁ ，α ₂ ，…，α _n 是n个n维向量，其中

讨论向量组A的线性相关性．

17．设A，B，C，D是n阶矩阵，G＝ ．如果AC＝CA， 0．

（1）证明：

（2）当 ＝0 时，证明：n ≤ rank（G）＜ 2n．

19．设P _i （x）＝x ⁱ ＋x ^i－1 ＋…＋x＋1，（i＝0，1，2，…，n－1），求如下行列式：

22．计算下面的行列式：

若有某a _i ＝0，请讨论结论．

25．设A为n阶实方阵，它的每行各数的和等于 2．证明：det（A－2E）＝0．

27．计算下列问题．

28．若B为正定矩阵，A为半正定矩阵，求证： ，且等号成立的充分必要条件是A＝0．

29．设A，B都是n阶正交矩阵，证明：

（1）AB是正交矩阵；（2）当 ＝0 时， ＝0；

（3）n为奇数时， ＝0． 0VQfKHbGZYihvboaxHKCeHqPUexfzU8a1Nenh4X4WKRCO/F9u9KmK7X6XSf4Q31k

参考答案（或提示）