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无穷大！任何一个其他问题都不曾如此深刻地影响人类的精神；任何一个其他观点都不曾如此有效地激励人类的智力；然而，没有任何概念比无穷大更需要澄清……
——Hilbert（1862～1943）
数学是无限的科学（Howell）
根据我的理解，人类的不幸来自于他的伟大；因为他的心中有一个无穷大，人类借助于他所有的技巧，也无法把它埋藏在有限之中。
——TomasKalire（1795～1881）
Kant甚至认为，时间和空间无限本身并不存在，只是人为构造的性质，是经过人脑努力而存在于人脑外部世界。
很多领域都提到了无限。绘画家Escher在他的绘画里画出了无穷大，而没有别的艺术家曾这样做。在文学中，无限是一种意境。“孤帆远影碧空尽”，“无边落木萧萧下”，是一种心境的抒发。最能直接反映古人无限的诗句，则是初唐诗人陈子昂的诗：
“前不见古人，后不见来者；
念天地之悠悠，独怆然而涕下。”
诗人描写了时间两端“茫茫均不见”的感受，并对天地间张开的悠悠宇宙寄以无限的遐想。
自然科学里，也要涉及无限。例如，“物质可以无限分割成分子、原子、粒子……，可以无穷尽地分割下去。”化合物的种类，生物的进化，都是无限的过程。不过，这里涉及的无限，不过是一种信念，类似于哲学上关于“宇宙是无限”的学说。 Bruno为此付出了生命。然而，现代宇宙物理学的研究表明，宇宙有一个起点，时间也有一个起点。他们面对的是有限的宇宙。
其他人只是描绘无穷大，只有数学是正面研究无限，并将它付诸实施。（例如地图的设计等）。“在Montessori式的学校或幼儿园里，儿童到了某一个阶段时，教师就让他们在长纸条上写数：1，2，3，…10，11…有一个小女孩专心致志地埋头于这一活动。当她写到 1024 时，不肯再写下去了，而说，就这样继续下去。这就是对无限的认识，这是很了不起的。”（ Freudenthal，1970，p.23）人类首先认识到自然数是无限的，1，2，…n，…永远数不尽。数数给我们的经验是，计数不是最终目的，明确地描述行为本身才是目的。人类在不断地认识无限中获得理性哲理，无限推动着数学的发展，从某个角度讲，整个数学的发展就是无限的发展史。如果没有无穷概念，就没有微积分方法，就没有傅里叶分析以及小波分析；“如果没有无穷大的概念，我们将很难看出数学将如何存在，因为一个孩子最先学到的数学——如何数数——就是以每一个整数都有一个后继者这一不言而喻的假定为基础”。（转引张远南，1996，p.35）也许狗和猫能做加减法，却无法把握无限。就个体认识而言，认识无限是人类区别于动物的最本质的区别之一。可以说，只有数学家真正系统解决了无限的认识问题。
无穷大始终充满着神秘色彩。哲学家对无限有自己的诠释。有样东西不能证明自己，而且一旦它能够证明自己，它就会不存在，这件东西是什么？它就是无穷大！（Leonardo Da Vinci）
诚然，数学的发展源于实践，尼罗河的定期泛滥迫使人们丈量土地，丰富了几何学知识。但数学局限于实践往往难有长足发展。以算法见长的印度、中国、巴比伦和埃及的古代数学往往局限于日常生活中的实际问题，例如面积、体积、重量和时间的测量。在这样一种系统中，没有无穷大这种玄虚概念的存在空间。这是因为我们的日常生活中没有什么东西直接与无穷大打交道，无穷大只有等待，直到数学从一个严格的实用学科转化成一个智力学科为止；这种转化于公元前 6 世纪前后发生在希腊，所以希腊人最先认识到无穷大的存在是数学的一个中心问题。
但这一过程并不是一帆风顺的，而是经历了很多曲折。希腊人是几何学大师，可是他们对代数的贡献却非常少，所以他们无法体会代数语言的主要优点——它所提供的普遍性以及它所具有的以一种抽象方式表达变量之间关系的能力。正是这一事实，而不是其它的任何东西，才产生了他们对无穷大的恐惧，他们对无穷大存在根深蒂固的怀疑。“无穷大曾经是禁忌”，Tobias Dantzig在他的经典著作《数，科学的语言》一书中说，“必须不惜任何代价回避它；否则，如果做不到的话，必须借助到达荒谬程度的理由把它隐藏起来。”
第一个向无限进军的勇士是Emulous （Chides，公元前 4 世纪）。人们只知道Euclid （约公元前330 ～ 275）的伟大，实际上更加伟大而深刻的是Emulous。当Pythagoras学派发现了涉及无限的无理数之后，发生了所谓的第一次数学危机。这是因为数学的许多基础性定理（加法交换律、矩形面积等于长乘宽，平行线切割定理等）起初只对整数有效，顶多可以扩充到有理数。那么对新发现的无理数是否还成立呢？这是涉及数学大厦基础是否可靠的大问题。 Emulous采用“穷竭法”进行论证，最后说：“可以”，危机随之结束。这是非常了不起的成就。
Newton和Leibniz发明微积分，是人类研究无限的伟大胜利。数学家不是被动地对无理数这样的无限背景进行解释，而是主动出击，开始正面处理“无限过程”，终于通过对“无限”的研究得到大自然数量变化的规律。微积分的创立和发展，为十七八世纪的科学创新提供了锐利的工具。人类的理性思维达到了一个新高度。
Newton求函数导数的方法似乎不可思议。例如函数x 2 的导数是 2x，其证明过程如下。设h是一个无穷小量，于是
这简直是无穷小魔术。无穷小量 h ，“招之即来，挥之即去”，以致 Berkeley 大主教嘲讽地称之为“逝去的鬼魂”。尤其是最后把 h 抹去的做法，简直是暴力镇压。这一切，都是“无限”惹的祸！
从 19 世纪中叶开始，经过 Cauchy 、 Weierstrass 等数学家的努力，形成了描述无限过程的 ε- δ “定义”。以当 n →∞时， a n → a 0 为例，定义为“对任意的 ε ＞ 0，总存在正数 N ，使得当 n ＞ N 时，有｜ a n- a 0 ｜＜ ε 。 ε- δ 定义这样的叙述，每一句话都是有限的，只有加减乘除，大于小于的字眼，似乎仅限于算术。由于使用类似“算术”的话语来描述无限过程，历史上称之为“极限的算术化定义”。
这当然是一个重大的成就。不过，19 世纪以来的数学并非必须靠语言才能发展。无穷小魔术依然具有强大的生命力。诸如Maxwell的电磁学方程，Fourier的热传导方程，Rupprath方程，“纳维－斯托克斯（Navier-Stokes Equation）流体力学方程，乃至 20 世纪的Einstein方程，杨振宁－米尔斯方程的出现，都是依赖微积分的伟大思想，在科学征程中一往无前。细细品味一下，大的数学成就并非直接得益于数学分析的严密化。
Cantor发明了集合论，把实无限作为一个完全有资格的数学事物接受下来，并且坚持认为一个集合必须被看作一个总体。将无限集合既看作潜无限，又看作实无限。 Cantor的贡献是向无限集合进军，研究“实无限”，构造出超限数系，即超越有限、专门研究无限的数。在他手里，无限大分成等级，各个等级代表一个无限大的数，这些超限数还可以进行运算。 Cantor得出的关于无限的结果出乎人们的意料。诸如有理数和整数一样多，无理数比有理数多得多之类，使人惊愕不止。他证明，如果一个无限集合的超限数是
，那么它的所有子集构成的集合具有超限数
，而且一定大于
。那么，“一切集合所构成的集合M一定是世界上最大的集合了（设具有超限数A）。可是M的所有子集所成之集又将比M更大，具有更大的超限数 2
M
，这显然和M最大矛盾，形成了悖论。
原苏联的大数学家Kolmogorov说过：＂ Cantor的不朽功绩，在于他敢于向无穷大冒险迈进，他对似是而非之论、流行的成见、哲学的教条等作了长期不懈的斗争，因此使他成为一门新学科的创造者。这门学科今天已经成为整个现代数学的基础。
欧氏几何的平行公设不同于其它四条公设，长期以来引起人们的猜测，古代就有人说，“它完全应该从公设中剔除，因为它是一条定理。”很多人尝试从其它公理推出平行公设，但均告失败。对第五公设的研究导致了非欧几何的诞生。人们感兴趣的焦点问题是：非常远处的平行线发生了什么情况？Riemann讨论无界和无限概念时，发现虽然欧氏集合的公设 2 断言：直线可被无限延长，但是，并不一定蕴涵直线就长短而言是无限的，只不过说，它是无端的或无界的。他在区别了无界和无限基础上发明了Riemann几何。Einstein的广义相对论借助于Riemann几何的方法成功预测了星体的运行轨道偏离了其正常位置，是人类智力的重大突破。这场史无前例的思想革命根源于无穷大！
Davis和Hersh在《数学经验》一书中说，重要的数学常被认为是当它的讲述范围大到包括无限的时候。现代数学对象的库存中充满无限，无限是难以回避的。事实上，无限概念及其逻辑演绎产物到处出现在分析数学的诸分支（如级数论、点集论、测度论、积分论、泛函分析、非标准分析等），特别在数学哲学与数学基础问题研究中，无限更是一个备受关注的话题。
如图 1-1，纵观这条由“无穷大”串成的数学思想发展主线，可以看出人们对无限认识的不懈追求，同时结出了丰硕成果。这条线索不仅反映了数学无限的发展历程，也折射了数学发展的几个重大转折点。其中微积分和非欧几何是数学史上划时代的、具有里程碑意义的重大成就； Cantor集合论成为现代数学的基础，是人类思想的巨大进步。
图 1-1 数学上与无限相关的重大发明历程图
总的来说，中学数学教材对“无限”采取的方式是“避而不谈”。学生从有理数过渡到无理数情形时，对无限的处理一般是“一带而过”，教师不深究，学生不问究竟也就过去了。对于函数概念，以及函数单调性等概念中蕴涵的无限背景不直接点拨，全凭学生自己领悟；对平行线判定定理一般不揭示“无限－有限”转化思想。
学生对数学概念中的无限的认识有利于理解数学概念，同时也有利于提高无限认识能力。无论从哪方面讲，中学数学都应该正面处理无限。况且，微积分学习阶段，学生不得不正面接触无限趋近过程——极限概念，“ε-δ定义”就成了学生的拦路虎，这时学生正面对付极限已略显力不从心，很多学生无法逾越这个难点，导致学生对微积分望而生畏。“无可奈何花落去”，最后只好放弃了事。