前言

数学是无限的科学，数学无限是推动数学发展的重要动力，但无限隐藏在相关数学概念中，中学对数学无限一般避而不谈。中学数学大纲没有明确提出学生对“无限”的认识目标。特别是学生对极限概念理解困难，极限概念成为学生学习微积分的“拦路虎”。鉴于此，笔者分层次考察学生对无限的认识，主要从以下两方面着手：

线索一：学生对无限诸层次的认识状况

（1）初三、高三和大二学生实际达到的无限水平如何？影响学生诸层次无限认识的本质因素是什么？

（2）在给出的每一层次的标准尺度的基础上，学生表现出怎样的较稳定的认知方式？容易出现哪些错误的心理模式？

线索二：学生对相关数学无限概念的理解

（1）学生如何认识数学概念中的无限？表现出哪些比较稳定的认知方式？

（2）学生认识数学概念中的无限过程中容易出现哪些错误心理模式？

首先，笔者界定了本文研究的无限。学生学习的数学中没有直接给出无限的定义，也不可能直接给出定义。无限包含于具体的数学概念中。有的以显性方式呈现，如自然数、平行线；有的隐含于数学概念中，如函数单调性、交换律；有的存在于某一特定对象的无限过程中，比如函数极限、从集合出发的超限数理论。本文研究的无限是具体数学概念中包含的无限。

接着，从数学哲学、数学发展史、认识论三个角度出发，笔者将学生对无限的认识划分为 5 大层级，八大层次的金字塔结构。

笔者界定了每一层次的涵义，分析了各个层次之间的关系，并根据文献资料，精心编制了无限认识量表，在此基础上对学生的无限认识展开了研究。

笔者以Spiro （1991）提出的个体学习的认知弹性理论，美国数学教育学家Ed Dubinsky的APOS理论为依据，运用潜、实无限辩证分析法、无限－有限辩证分析等方法，对学生的无限认识进行分析。

笔者选取了小学、初中、高中、大学二年级共计 500 多学生作为实证研究的样本，作了问卷测试，并分别从每一年级各选出 8 名学生共计 24 名学生作为个案研究对象，对学生的个别访谈作了全程录像或录音。还对初三年级、高中、大二年级的部分教师作了访谈。获取了第一手数据资料后，用SPSS统计软件对数据进行统计分析。横向比较了同一年龄的不同学生的理解层次。通过个案访谈，笔者从数学无限的理解、数学思维、学生心理方面，分析了学生的无限认识状况，纵向比较了不同年龄学生的无限认识状况，分析了学生无限认识的心理倾向，得到了以下结论：

1.从初三到高三学生无限认识的总体发展趋势

高中阶段是学生无限水平蓬勃发展的阶段，具体表现为从初三到高三，学生的无限直觉水平、无限思辩能力显著提高，但到大二，这两方面并无显著差异。高三学生的无限直觉水平、无限思辩能力具有一定的稳定性。

2.学生对无限本质的认识

（1）“无穷大”的抽象化认识是具备初步直觉认识的重要标志

（2）“整体认知”是影响高级直觉认知的重要因素

（3）“动态分析”是演绎层次的重要标志

（4）理解极限定义中的“有分界”的无限是关键

3.学生对数学无限概念的认识

（1）大二学生对连续、导数、定积分中的“无限逼近”思想认识不足

（2）影响学生理解定义的原因分析

4.学生无限认识的心理倾向

（1）生活经验在一定程度上阻碍学生对数学无穷大的认识

（2）高三学生的无限思辩的心理倾向性特点

（3）大二学生对“一一对应”和超限数的认识倾向

在以上结论的基础上，对数学教学提出了建设性意见和建议：

1.在教学中注重学生无限观的培养

（1）在教学中抓住无限认识的开端

（2）启发学生整体认知数学概念

（3）教学中有意识采取有利于学生无限思辩的教学方法

（4）注重对极限概念的动态分析

（5）教学中注重对定义中的“有分界”的无限的诠释

（6）关于超限数理论的教学

2.注重提高中学教师的数学无限素养

3.对教材体系安排的一点建议

4.建议在数学课标中体现无限观培养的具体要求

（1）明确提出无限观培养目标

（2）建议在中学数学课程标准中增加无限观培养的一个实例

5.对教学评价的建议