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实证说明：本章的主要研究对象是初三学生和高三学生。其中初级直觉认知的主要对象是初三学生 233 名，高级直觉认知的主要研究对象是高三学生 195 名。笔者分别对他们作了问卷测试，获取数据。根据他们的得分层次情况并结合他们的数学考试成绩，和班主任协商后，初三选出 4 男 4 女，他们分别是峰、德、昀、青、涵、涛、婷、珺，其中初级直觉认识A、B层次的各有 4 人（A、B层次划分见 58 页）。高三的个案研究对象包括杰、栋、宇、豪、芹、悦、硕、枫等 8 名同学，其中实无限思辩方式中的A、B层次的人各占一半（A、B层次划分见 99 页）。
本章研究的主要问题是：
a）初三学生的初级直觉认知具有怎样的心理倾向性？
b）学生的无限直觉认知具有怎样的年龄阶段性？
c）高三学生具有怎样的高级直觉认知特点？高三学生在平行线、单调性中的无限直觉是否具有个体差异性？
Kant （转引，杨祖陶，p.34）认为，感性认识就是直观，一种认识不管以什么方式和手段同对象发生关系，它借以同对象处于直接关系之中、且一切思维作为手段都以之为鹄的那种知识，就是直观。这个定义表明，直观是直接和对象发生关系的知识，是一切思维作为认识手段所获得的全部内容、材料和认识对象的惟一来源。直观认识的发生有两个条件：一个是必须要有对象作用于我们的感观，即只有在对象激动我们的心而被授予我们时，才能在我们心中产生直观；另一个是我们自己预先也要有一种认识能力，即接受感观刺激的能力，否则就象外部刺激碰在一块石头上一样，也不会有直观产生。 Kant认为，一切思维无论是直截了当还是转弯抹角，都必须借助于某些标志而最终与直观相关联。因为认识的对象不能以任何别的方式，而只能以感性直观的方式提供给我们的认识，人的思维能力有再大的本领，也不能单凭自身创造出这个对象或材料来。可见，直观一方面构成了人的全部认识能力、知性能力加工的材料，另一方面它本身也已经是一个经过主观的接受而加工了的产物，包含有外界刺激作用所构成的质料、内容以及主体接受能力所赋予的方式、形式两方面。
Descartes （1686，p.34）认为，思维只有两种方法，它们能使我们不必担心陷入谬误而获得知识，这就是：直觉和演绎。在《思维知识法则》中，Descartes对直觉给予很高的评价：直觉是纯粹的专注的思维的可靠概念，它仅由理性之光产生，而且比演绎更可信一些。
学生对数学无限的直觉认知总是和相关数学概念相联，形成包含无限的特定的数学概念表象，然后从多个包含无限的数学概念表象中提炼出对无限的直觉认识。
对无限的直觉亦存在两种相互矛盾的方面：潜在的和实在的，因为人们总想将无限集合用作通常的与有限现实相符的逻辑方法。如果承认无限直觉的固有矛盾性为心理事实，它的不稳定性就可以解释（Ibid，2003，p.3）。
直觉的矛盾性是笔者考察无限直觉的出发点。鉴于学生对潜无限直觉的自发性，笔者重点考察学生的实无限直觉。