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4.5 小结

4.5.1 生活经验在一定程度上阻碍学生对数学无穷大的认识

生活经验成为学生判断无限的主要依据,时空无限是学生认识无限的基础。源于生活经验的自然数是学生认识数学无限的开端,在此基础上形成系统化的、数学化的无限认识。生活经验的负作用就是对无限抽象认识的阻碍作用。数学无穷大不同于很大的数、任意大,教学中要克服学生的经验化倾向,正确认识数学无穷大概念。比如对数轴的认识,初中引入的数轴使学生第一次明确认识∞,实数用(-∞,+∞)来表示。如何让学生正确认识数轴,正确使用符号,应该成为教师关注的焦点。

但是,仅仅有生活经验是不够的。正如kant指出,埃及人只知道研究实际的感性图形,完全只依赖经验,结果研究来研究去,几何学“长期一直停留在外围的探索之中”。只是到了古代希腊,它才走上了科学的可靠道路。Kant写道,“这一转变我看归功于一场革命,这场革命是某个个别人物在一次尝试中幸运地突发奇想而导致的。”这个人究竟是Thales还是其它什么人,都无关紧要,重要的是这个思维方式的革命本身。对无限的认识也要经历一场革命,微积分的发明无疑是一场无限认识的革命。如果人们仅仅停留在经验的层面,那么就不可能有无限认识的突飞猛进,不可能发明微积分、超限数理论,而后者成为了现代数学的基础。

4.5.2 高三学生和初三学生的朴素认识没有显著性差异

初三学生对无限的朴素认识已经达到了常规水平。学生基本能够辨别无限,这种朴素认识是无限观培养的基础,是不容忽视的。

学生通过四年学习,年龄和数学知识增长了,但对无限的朴素认识变化不大。学生对无限的朴素认识和数学知识以及年龄并无显著关系。除了主观因素,主要原因在于学生对无限的朴素认识是感官认识。

4.5.3 教学启示和建议

(1)从小学数数开始对学生进行无限启蒙教育

无限观培养应抓住契机,适时进行。教材编写首先在这方面应引起重视。从小学开始就应以数数为契机,进行无限观启蒙教育。抓住无限小数、无限循环小数,提高学生对无限的朴素认识水平。启发学生认识无穷大,形成对无穷的数学抽象认识。

(2)引入数轴的概念时关注学生经验的负作用

从小学到初中,学生的无限处于自然发展中,形成了基于生活经验的朴素认识。这种对经验的强烈依赖到了初中可能对学习负数、引入数轴产生负作用。初一年级的数学入门就面临对负数、数轴的理解和消化,也就面临对无穷大的认识。教师应了解学生的认知状况,采取适当的方式,减少学生经验的负作用,使学生正确认识数学无穷大。 9CAOi32kDogqIJGlBK7evxTQSHUbhLC01Tn/f+xvfDdxMLRGHnceUx69fKoFFW9C

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