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受地域条件限制，我选取了上海曹杨二中附属学校、华东师范大学数学系和上海交通大学数学系作为我的主调查学校。后两所高校非常注重本科生的数学分析等基础学科的教学，都抽调了博导充实到本科教学第一线。之所以选取数学系学生，主要因为数学系注重极限的语言的教学，有利于无限认识的系统调查。值得一提的是，高三学生学习压力大，一般不便于作实证研究，笔者将 9 月份刚入校的大一新生看作高三学生，虽然他们经历了高考和2 个月的暑假，也许社会心理与高三学生有所差别，但在数学知识理解上应该和高三学生相差无几。这两所重点大学数学系的大一新生和大二学生成为我的调查对象。特别指出的是，由于本实证研究跨度 1 年，最初选定的曹杨二中附属学校的初二学生已从初二升到初三。本文所列的初二或初三都指同一研究对象。以下不再说明。
按照Piaget的儿童智力发展理论，儿童发展是分阶段性的，儿童的智力在每个阶段中有一定的停留期，表现出一定的稳定性。13 岁被Piaget认为已经具备了类似成人的思维结构，称为形式运演阶段。众所周知，初二年级是初中的关键期，是学生最有可能产生两极分化的时期。所以我选取初二学生为“对无限的朴素认识和初步直觉认识”的主调查对象。大一新生（高三学生）为高级直觉认识的主调查对象。考察学生的无限的思辩方式是本研究的重点，所以初二和大一新生（高三学生）共同作为思辩方式的主调查对象。大二学生作为纵向对比调查对象。超限数理论初步主要调查大二学生，初二学生、高三学生作为纵向对比调查对象。具体安排如下：
表3-1 不同研究主题的安排情况
我的总体样本人数是 500 人，包括 5 名小学生、233 名初三学生、195 名高三学生（大一学生）、67 名大二学生。曹杨二中初二年级的四个班都是我的实测对象，四个班不分快慢班，但学校有很多兴趣小组，大部分学生都参加了各种各样的兴趣小组。 J老师班级被选为本研究的重点调查对象。校长向我推荐这个班级的主要原因之一大概是J老师曾带过学校的数学奥赛兴趣小组，他的班应该比别的班对数学的兴趣更浓。在后来的调查中事实上也证明了这一点。初二年级的访谈对象主要来自该班级。华东师范大学 2006 级数学系新生，2005 级大二学生，上海交通大学 2006 级数学系新生，2005 级大二学生是我的研究对象，两校的教师都鼎力相助，这有助于学生对实证研究的重视，有助于笔者获取真实的测试结果。其中，华东师范大学 2006 级数学系 01 班是我的主测对象，大一新生（高三学生）的访谈对象均从该班级选取。
笔者还访谈了华东师范大学附属小学的 5 名小学一年级学生。
访谈教师主要是两位，初二年级的班主任经（J）老师、田（T）老师和大一的数学教授李（L）老师。 J老师是一个很有教学经验的优秀教师，曾经主持数学奥赛。 T老师是年级组长。都担任班主任多年。 L老师是博导，带了 3 个博士，并给数学系本科生主讲数学分析，体现了学校对本科生基础课的重视。