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在生活中有些问题的解决过程或答案是确定的，我们可以直接套用现成的法则或公式，有关这些领域的知识称为结构良好领域（well structured domain）的知识，也就是有关某一主体的事实、概念、规则和原理，它们之间是以一定的层次结构组织在一起的。但是，现实生活中的许多实际问题，却常常不能直接套用规则和原来的解决方法，只能在原有经验的基础上重新分析，寻求解决问题的策略，有关这类问题的知识就是结构不良领域（ ill-structured domain）的知识。结构不良领域的知识具有以下两个特点：第一是概念的复杂性，在每个知识应用的实例中，包含许多复杂及应用广泛的概念；第二是实例间的差异性，在同类的各个具体实例中，所涉及的概念及其相互模式有很大差异。结构不良领域是普遍存在的，对于结构不良领域的问题，我们不能仅仅简单地提取已有的知识解决问题，而只能根据具体情境，以原有的知识为基础，建构问题解决的途径和方式（陈琦等，1997）。而且，在问题解决的过程中往往不是以某一个概念、原理为基础，而是要通过多个概念、原理以及大量经验背景的共同作用来实现（ Shulman，1992，p.21）。Spiro （1991）根据对结构复杂和结构不良领域中学习的本质认识，提出了认知弹性理论。
认知弹性理论继承了建构主义关于学习的基本观点，即学习是学习者在一定的社会文化背景中以自己的方式主动建构内部心理表征的过程。所谓认知弹性（Spiro ＆ Jehng，1990），就是指学习者通过多种方式同时建构自己的知识，以便在情境学习发生根本变化的时候能够作出适宜反应的能力。认知弹性理论认为学习者在学习复杂和结构不良领域的知识时，要通过对学习对象的多维表征以及多样化应用才能完成对知识意义的建构，才能达到对知识的全面理解。此外，通过多维表征所建构的知识，能够较好地迁移到其它领域。具体来说，认知弹性理论认为学习具有下列三个特征：建构过程的双向性、学习过程的层次性、知识表征的灵活性。
Spiro等人认为，建构过程是双向的，一方面，通过使用先前知识，学习者建构当前事物的意义，以超越所给的信息；另一方面，被利用的先前知识不是从记忆中原封不动地被提取，而是本身也要根据具体实例的变异性而受到重新建构。这一观点虽然与Piaget的同化和顺应的观点相一致，但是，Piaget强调学习者是从记忆中提取组织好的图式来丰富当前事物的信息的。而Spiro等人认为，由于结构不良领域存在概念的复杂性和实例的多样性，我们不只是从记忆中原封不动地提取知识结构来帮助新意义的建构，而是将各种知识源汇在一起，加以适当的整合，以适合当前情境下的理解和问题解决的需要。由于要进行这种双向建构，学习者必须积极参与学习，必须时刻保持认知灵活性。
Spiro等人按照对学习达到的深度不同，把学习分为初级学习和高级学习两种。初级学习是低层次的学习阶段，教师只要求学习者知道一些重要的概念和事实，在测验中按原样再现即可。初级学习涉及结构良好领域的问题，而高级学习则与此不同，高级学习要求学习者把握概念的复杂性，并广泛而灵活地运用到具体情境中，涉及到大量结构不良领域的问题。由此可见，高级学习的学习目标对于初级学习有了很大改变；从记忆概念和事实转变为理解概念的复杂性；从知识的简单提取转变为知识的迁移和应用（Spiro，1992）。 D.Jonassen（1991）在此基础上提出了知识获取的三个阶段：初级学习阶段（introductory）、高级学习阶段（advanced ）和专家知识学习阶段（expertise）。在初级学习阶段，学习者仅能套用现成知识解决问题，或利用少数过分简化的案例来解决简单的问题。在教学中，此阶段涉及的主要是结构良好问题，其中包括大量的通过练习和反馈而熟练掌握知识的活动过程。在高级知识获得阶段，学习者需要获得独特的和难以预测的复杂问题的知识，学习者必须发展对动态的现实应用领域的灵活的表征能力，学习者必须获得说明这个领域内在关系的知识和能用不同观点应用知识的能力，高级学习是结构不良领域的知识，而解决那些需要建立案例和观点相互关系的情境问题时，迁移技能是关键（ Jonassen，1991； Spiro，1988）。在专家知识学习阶段，所涉及的问题则更加复杂和丰富，这时，学习者已有大量的图式化的模式（schematic patterns），而且其间已建立了丰富的联系，因而可以灵活地对问题进行表征。
Spiro等人研究发现，在传统的学校教育中，学习者普遍不能达到高级知识学习的目标，究其原因，是学习者用学习结构良好领域知识的方法去学习结构不良领域的高级知识。认知弹性理论认为，在复杂的结构不良领域中的学习过程是学习者主动进行的双向建构的过程，在这一过程中，只有对知识进行多维表征时，学习者才能达到对知识的全面理解和灵活运用。
Thompson （1985），Greeno （1983），Hiebert （1986）等人在 80 年代指出，数学内容可以分为过程和对象两个侧面。所谓过程，就是具备了可操作性的法则、公式、原理等。而对象则是数学中定义的结构关系。 Sfard（1991，1994）等人进一步认为，数学中很多概念既表现出一种过程操作，又表现为对象结构。概括地讲，同一个数学概念常常具有如下的二重性：过程—对象，算法—结果，操作行为—结构关系。相应地，可以分别具有以下特性：动态—静态，细节—整体，历时（继时）—共时（同时）。
APOS理论源于Piaget的关于个体认知的反省抽象理论，提出个体对数学概念的认知的四个阶段：行动、过程、对象、图式，笔者结合勾股定理阐述四个阶段的具体涵义如下：
“行动”（action）是个体对数学“对象”进行变形，一般来自外部刺激，通过学习一步步动作指示来获得，这一获得有时是显而易见，有时来自于记忆。这里的“行动”泛指所有的数学活动，如猜想，回忆，计算，推理等，而不是仅仅指学生的肢体动作。比如，学生学习勾股定理，学生可以通过经验，计算，观察图形，猜想等一系列外部活动得出两个直角边的平方和等于斜边的平方的结论。刚开始这个结论在个体头脑中留下印象，但只是外部的记忆性的印象，离不开计算等外部刺激。
当“行动”（action）不断地被个体重复并反省它，动作已经自动化了，不再需要外部刺激，个体已经形成内部构造时，“行动”就内化为“过程”（process）。表现为个体能够逆向推导数学概念，并构造更复杂的“行动”。比如，学生能够根据两个直角边的平方和等于斜边的平方，反推三角形是直角三角形。学生这时对勾股定理的认识已经提高，内部已经形成了关于它的一系列结论，不需要计算验证等外部刺激就能理解勾股定理。
当个体将“过程”（ process）看作一个整体，并可以对它变形，这时“过程”就凝聚成“对象”（object）。比如，学生将勾股定理以及边角关系，以及勾股定理的逆定理看作一个系统，能整体把握系统，并区别各个关系。学生这个时候已经不再关注计算，而是关注直角三角形本身，表现在学生在题目中能正确区分直角三角形变式。
图 2-1
如图 2-1，学生能结合圆的相关知识判定图中的三个直角三角形。学生能抓住直角三角形的本质特征，形成了直角三角形的“对象”（ object），而不受图形位置干扰。
数学概念的“图式”（ skema）是指个体的“行动”，“过程”，“对象”以及与之相关的其它数学概念的“图式”的集合体。这时在个体的头脑中形成一个协调的网络，还可能会记住与概念相关联的问题情境。这个协调的网络在某种意义上能明确地或隐含地决定哪些现象是“图式”的范围，哪些现象不是。个体理解协调网络的关键是结点的联结。比如，形成了“图式”的勾股定理是集直角三角形，边边关系，边角关系系统，内部和谐统一。形成了“图式”的个体很自然地想到在四边形里添辅助线转化成直角三角形应用勾股定理，因为他能够判断四边形不属于这个直角三角形“图式”。
个体刚开始可能从局限于某个特殊的公式或计算来思考某个概念的“行动”，“过程”，“对象”，“图式”，随着个体思维的发展，又回到新的“行动”阶段，形成关于这个概念更复杂的“图式”。比如学生在高中学习了三角函数后，重新回到直角三角形，发展了直角三角形的边角关系，形成更复杂的三角形的“图式”。故APOS理论还指出，特殊数学思想下的不同概念建构更多是辩证的螺旋上升的而不是线性的结果。
小结：涉及无限的数学概念大多属于结构不良领域的知识，按照个体认知弹性理论，学生在数学学习中对无限的认识是个体双向建构的过程，并分初级学习阶段、高级学习阶段和专家知识学习阶段，学习者在多维表征的基础上达到灵活运用。所以，学习者在无限认识的每个层次中必然存在复杂性和个体差异性，这是本文要研究的主要问题之一。极限是隶属于无限的演绎层次，APOS理论是ED Dubinsky通过研究高等数学概念的理解而提炼出的数学学习理论，笔者运用APOS理论探究学生在极限学习中的认知特点。
传统的认识论只顾到高级水平的认识，换言之，即只顾到认识的某些结果。而发生认识论的特有问题是认识的成长问题，目的就在于研究各种认识的起源，从最低级形式的认识开始，并追踪这种认识向以后各水平的发展情况，一直追踪到科学思维。发生认识论认为，个体从客体出发进行抽象，并从运动或动力学的角度把客体在时空上组织起来，其方式跟使活动具有结构的方式相似。同时，这种协调联合在一起形成因果性结构的起点。
Piaget的发生认识论的理论成果之一是关于儿童智力发展理论。他将儿童智力发展由低到高分为 6 个水平，感知运动水平、前运演思维阶段的第一水平、前运演阶段的第二水平、具体运演阶段的第一水平、具体运演阶段的第二水平、形式运演。
笔者以发生认识论为依据，以Piaget儿童智力发展理论为依托，随着年龄的递增，将学生在数学学习中对无限的认识由低到高分为五大层级、八个层次。
Kant （1798）的“先验感性论”认为，空间和时间是两种先天的纯粹的直观形式，是归属于人心的主观性状的直观形式。空间是外部直观或外部现象的必然基础，时间是一切直观、一切现象的必然基础。 Kant还专门论证了纯粹数学这种先天综合知识的可能性基础是时间和空间这两种先天直观形式。时空的最大特点是无限性。学生在学习数学无限之前就应该对无限具备先验认识，笔者称之为朴素认识。
Kant的“时空说”的重大意义在于明确提出人类一切认识都开始于感性直观，即开始于在时空中把握到的东西，这使我们对“科学”的概念有了一个严格的限定。当然，感性的东西并不一定都是科学的，但真正的科学必定是建立于感性之上，并可以通过直观来检验，其对象必定处于时空关系之中，因而能用数学对之加以规范。笔者以为，紧接无限的朴素认识之后，应是对数学无限的直觉认识。初步直觉认识和高级直觉认识是直觉认识的不同阶段。
Kant的“先验感性论”已经解决了感性直观之所以可能的先天根据问题，“先验逻辑”要解决的则是理性认识之所以可能的先天根据问题。 Kant提出“先验逻辑”的出发点是形式逻辑，他视之为一切正确思维方法不可或缺的基础。自Aristotle以来，形式逻辑就被区分为分析论和辩证论。所以，笔者将数学无限的“潜无限和实无限的辩证论”作为数学无限的第三大层次。
Kant认为，如果追溯几何学的历史，那么最早是在古埃及人那里就已经出现了这方面的研究。但古埃及人只知道研究实际的感性图形，完全只依赖经验，结果研究来研究去，几何学却“长期一直停留在外围的探索中”。只是到了古代希腊，它才走上了科学的可靠道路。
Kant写道：“这一转变归功于一场革命，这场革命是某个个别人物在一次尝试中幸运地突发奇想而导致的。”这场革命的实质在于，不是对感性的图形进行单纯经验的观测，也不是离开感性直观作抽象的概念分析，而是通过追溯经验几何图形的作图法将它还原为先天直观中的空间关系，为这种关系找到和确立起严格规定的先天原则，从而说明和证明一切经验几何图形所具有的与先天原则相符的性质。 Kant认为，数学中这场思维方式的变革给数学这门学科带来的影响，比在航海中首次绕过好望角的创举还具有更重要得多的意义。
对数学无限的认识亦如此。在微积分发明之前，人们研究无限都只是停留在直观的层次，依赖经验判断。微积分的发明是对无限认识的一场革命，这场革命的实质在于，不是对无限逼近作经验的观测，也不是离开感性对数量关系作抽象分析，而是通过无穷逼近的过程将它还原为先天直观中的逼近量化关系。对无限认识的这场革命使人们的认识达到了一个新的高度，并第一次将无限数学形式化。
纵观数学史，无限始终伴随着数学的发展而发展。古典数学源于生产实践，古埃及尼罗河的定期泛滥发展了劳动人民的几何学知识。数学无限的认识也源于实践中对时空的朴素认识。
在古巴比伦和古埃及两个文明中，巴比伦人是首先对数学主流作出贡献的。对自然数的无限直觉认识使他们对整数和分数发明了系统的写法，这使他们能把算术推进到相当高的程度，并用之于解决许多实际问题特别是天文上的问题。
诚然，早在希腊时代以前，数学作为一门学科就已经达到了一个相当先进的水平，然而，印度、中国、巴比伦和埃及的古代数学仅仅局限于日常生活中的实际问题，例如面积、体积、重量和时间的测量。在这样一个系统中，没有像无穷大这种玄虚概念的存在空间。这是因为日常生活中没有什么东西直接与无穷大打交道。无穷大只有等待数学从一个严格的实用学科转化成一个智力学科。所以，希腊人最先认识到无穷大的存在是数学的一个中心问题。
自从Aristotle时代以来，数学家就已经认真地区别了潜无限和实无限。前者所涉及的过程可被一次一次地重复，但是它在任何给定的阶段所包括的重复次数仍然是有限的。自然数 1，2，3，…的集合是潜无限的，因为每一个自然数都有一个后继者，然而在计数过程的每一个阶段——无论这个阶段进展到何种程度，我们遇见的元素的数目仍然是有限的。从另一方面讲，实无限涉及到的过程在每个阶段上都已经得到了无穷次重复。数学家们当时愿意接受前一种无穷大，然而他们却无条件地排斥后者。 Aristotle本人在他的《物理学》一书中就说，“无穷大是一个潜在的存在……实无限将不存在。”而且，大约在 2000 年后，Gauss在 1831 年给他的朋友Schumacher的信中表达了相同的观点：“我必须强烈地反对你使用无穷大作为某种完善的东西，因为这在数学上是从来不允许的。无穷大只不过是一种讲话方式，……”极限概念自身也被认为是一种潜无限过程。 Gauss的陈述是对那些偶尔违反规则的人的指责，这种人在使用无穷大概念（甚至无穷大符号）时，以为无穷大仿佛是一个寻常数一样，也受相同算术规则的约束。 Cantor澄清了这些得到公认的观点。首先他把实无限作为一个完全有资格的数学事物接受下来，并且坚持认为一个集合（尤其是一个无穷集）必须被看作是一个总体，就象我们的大脑把一个物体看作是一个整体一样。这就相当于取消了潜无限和实无限之间的区别。
希腊人认识到了无穷大，但不是正视！希腊人离把无穷大纳入他们的数学系统仅差一步，而且要不是缺少合适的符号制，他们或许能够把微积分的发明提前约 2000 年。微积分是继Eculid的《几何原本》后的最伟大的发明，它的诞生在数学史上具有划时代的意义。其发展过程经历两个阶段： Newton—Leinbniz对无穷小分析的阶段，Cauchy—Weierstrass的严密系统化阶段。从而使人们对无穷大的认识上升到一个全新的高度。对无限的形式化认识是人们认识无限的第四大层次。
Cantor的基数理论表明，不是只存在一个无穷大，而是有很多种类型的无穷大；这些种类在本质上互不相同，但在很大程度上也象寻常数一样可以进行比较。这种观点与当时流行的观点正好相反。换句话说，存在一种完整的无穷大谱系，而且在这个谱系中可以说出一些比其它无穷大更大的无穷大。超限基数和超限序数理论是对数学无限研究最深刻的理论，是对无限认识的一个巨大进步。并成为现代数学的基础。所以笔者将它作为对无限的最高层次认识，即第五层次认识。
根据以上划分依据，笔者将个体对无限的认识划分为以下 5 大层级，8个层次，称之为数学无限认识的“金字塔”结构图。（如图 2-2）
图 2-2 数学无限认识的“金字塔”结构图
学生对无限的朴素认识是指学生能感悟无限，以时间下的默许空间模型（the tacit space model of time）思考无限过程，基本凭感觉和个体经验区分有限和无限。
初步直觉认识主要对数学概念中外显的数学无限的认识。表现为能应用运动和静止的观念区分常量和变量，能正确区别数学有限和无限；能分辨数字或图形的无限变化；不依赖于具体事物，初步形成无限的数学抽象。比如从自然数集中的“后续”变化认识到自然数集合的无限性，而不依靠数无限多个苹果来认识数学无限。初步直觉认识对无限大多停留在潜无限阶段。
高级直觉认识主要在初步直觉认识的基础上对数学概念中隐含的数学无限的认识，往往必须借助实无限才能认识到。表现为能认识到无限直觉的融合性（syncretic nature）；能将无限看作一个对象，而不仅仅看作过程；能从整体把握概念中的无限，而不仅仅看到局部性质。
潜无限是指用潜无限观点分析无限变化中变量之间的关系，将无限看作一个永远没有穷尽的，潜在的过程。这个过程中变量永远处在变化中，没有完竭。
实无限是指基于无限的隐喻将变量的无限变化过程看作一个现实的整体，将变量看作已经构造完成了的结果，把无限对象看成是可以自我完成的过程或无穷整体。比如无限集合的基数。
潜、实无限辩证分析是指将无限过程看作潜无限和实无限辩证结合的矛盾统一体，无限既是一个潜无限过程，又是一个实无限过程。一方面，无限过程是一个永远没有穷尽的潜在的过程；另一方面，无限结果是现实的整体，是已经构造完成的结果。潜无限是无限过程的外在表现，实无限是变化过程的内在结果。
演绎层次包括两个层次：无穷小分析层次、严密系统化层次。无穷小分析层次是指学生能运用经验、逻辑推理等方法区分无限趋近中变量和常数之间的关系。严密系统化层次即语言层次，指学生能理解语言的无限内涵，并运用语言分析极限。
超限数理论初步认识是指学生对超限数理论总体思想的认识，包括一一对应、基数、可数等概念的理解。
总体上看，8 个层次从低到高螺旋上升，各个层次之间有交叉，并无绝对界线，比如直觉认识就有潜无限直觉和实无限直觉的不同结果。因为每一个层次的侧重点不一样。直觉层次侧重于对无限的整体直觉认识；思辩方式侧重于潜无限或实无限分析下的不同分析结果，特别侧重于学生的实无限认识，因为Nunea （1983，p.9）和Tall （1999，p.8）均认为实无限的概念 15岁前不能产生；演绎层次侧重于对无穷的数学形式化理解，主要侧重于对无穷小分析的理解；超限数理论初步认识侧重于对超限数思想的总体认识。但各个层次统一在对无限的辩证认识上，即个体对无限的固有的矛盾认识。Fschbein （1987，p.10）认为，Piaget研究儿童无限观念的问题在于，他们想将儿童无限观念看作层级化，在各个阶段之间具有内部一致性，然而，儿童掌握的无限观念具有内部矛盾性。 Fischbein （2001，p.11）提出学生的无限和极限概念中的矛盾本质—“似是而非”作为他们的基本存在方式。如果承认无限直觉的固有矛盾性为心理事实，它的不稳定性就可以解释。
从哲学角度看，5 个大的层次反映了个体的不同的认识形态，并组成一个有机系统。如图 2-3：
图 2-3 无限认识的系统化分析图
5 种认识形态由低到高发展，对应的无限认识层次也遵循由低到高的顺序。无限认识的基本出发点是承认潜、实无限的矛盾统一性。潜、实无限的矛盾统一是无限认识内部系统运行的推动剂，无限－有限转换思想是系统与外部联系的桥梁。系统内外良好沟通，形成了有机循环系统。
笔者运用无限认识量表（附录一、二、三）分别对初三学生、高三学生、大二学生进行无限认识水平测试。量表是无限认识层次的标准尺度，笔者在每一认识层次里将作详细说明。这里笔者要强调以下几点：
对无限的认识是辩证思维层面，量表只能对无限认识作质性分析，不可能量化。所以量表得出的结果不可能绝对地反映学生的能力。事实上，笔者已发现，量表得出的学生的成绩和学生的常规数学考试成绩并不具有统计相关性。量表只能作为学生无限能力的一个参考，并不代表学生的其它方面。
学生的无限认识能力具有年龄的阶段性，笔者编制的量表适用于初中以上的学生。 Piaget和Fischbein都认为，七、八岁以前的儿童不会形成无穷大的抽象化认识，并且，初三、高三、大二学生的量表都有所差别。
量表的题目均经过笔者精心挑选。朴素认识部分选取了日常常见现象以及脍炙人口的古代诗歌，数学认识部分主要来源于以下几个方面：部分来自中学数学中的起统领作用的数学概念如函数，单调性等，或重要基础数学定律如交换律等；部分题目涉及数学史上著名发现，如刘徽的“穷竭法”，促使微积分产生的“切线”，“曲边梯形”问题等；部分题目来自著名数学教育家实测的题目，如Fischbein D，Tall等。量表制作过程中广泛征求了导师、同行的意见，在经过正式试测的基础上作了较大修改。整个量表编制耗时近一年（2005 年 9月－2006 年 8 月）。以上这些举措是为了尽可能使量表科学化、合理化。
量表本身是学生在每个层次的认识标准尺度，整体上是对无限认识层次的揭示，体现了个体对无限认识的由低到高的螺旋上升过程。量表能够大体反映学生的无限认识水平、无限认识的薄弱环节，能够比较学生的无限认识差异性。