下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
Fischbein （1980，p.24）认为无限就是数量加数量，我们总可以从外面拿些东西进来，总可以往无限中加入新的元素。实无限与自然数集本身满足的条件相矛盾。实无限是非本能的大脑的构造物，人的本能无法接受它。
Galileo和Gauss认为，实无限无法包含在逻辑的相容推理中。（转引kline，1972，p.34）
Dubinsky （2001，p.11）提出，为什么个体承认一个很大有限数字的存在很容易，而无法接受实无限的存在。他曾让 8 岁，12 ～ 13 岁的孩子在一条长线条上标出数量不同的集合，他们将自然数集合N标在很多沙子组成的集合旁边。他们不能相信N会大过沙子的粒数。有时个体将其看作一个很大的数，有时看作一个很简单的事情。
Nunea （1983，p.9）报告了一个对 9 ～ 14 岁学生关于无限过程的建构。结论是没有证据显示学生会想起一个实无限。所以他们的评论都根据潜无限。他主张的理由是实无限的概念 15 岁前不能产生。他的观点被Hanchart Rouche的结果所支持。这和Tall的观点一致。
Dubinsky （2001，p.13）指出，10 10 1010 将它看作一个对象，只是一个自然数，如将它看作一个过程，却很大很大，甚至最终很难产生一个对象。个体将无限看作最终对象，而非超越对象。个体可以承认一个很大有限数字的存在，而难以接受实无限的存在。
Bolzano的时代产生了很多矛盾，大部分矛盾原因是没有界定或限制无限的范围。其中很重要的一个方面在于是否承认实无限的存在。（ Moreno，1991，p.15）
Bolzano发展了Aristotle的实无限理论，只有当一个集合形成了包含每个方面的形象，或能反映构成集合的过程的每一个步骤，它才能看作一个整体。 Moore （1999，p.10）指出，Cantor的理论中的无限集合受制于数学家的调查，集合不能看作真正的无限。这里Moore指出了无限是人为操作，不是“真实的无限”。（Moreno，1991，p.17）
Dubinsky从唯理主义出发，主张“人们总是通过总体描述元素想到集合，我们用我们的智能想起一个无限集合，将它作为一个整体，而不用去单独思考每一个元素。”这导致Bolzano将无限集合看作为一个整体，从而主张应支持实无限。
Cantor认为无限算术理论使Aristotle的潜无限和实无限的两难性永久存在。他的理由是只有所有元素都有了，集合才呈现，故集合的无限性应看作是潜无限而非实无限。无限集合受人为数学研究的影响，集合的势或集合序的类别被人为指定，“具有某种界定”或是“真正的有限”。为此，Cantor区分了这样的集合和真正的无限集合，后者的特点是“无止境的，无限制的，非人为设置的”，是“不可得的”，而前者是“可得的”无限。
他进一步指出，“不可得的”无限的多样性是假设所有元素“放在一起”导致矛盾，所以不能将多样性看作一个整体，看作“已经完成的事情”。这样的多样性我称作“无限的，或不协调”的多样性。
因此，Cantor将人的认识划分为三个层次：有限、可得的无限、不可得的无限。实无限可以看作可得的无限，而不可以人为实现的潜无限集合可以看作不可得的无限。
隐喻是借用诗歌和文化语言，它本原的定义是指一个概念迁移到另一个。隐喻用在认知科学中是比喻性的，为了暗指人类大脑的能力的美妙、复杂、某种程度上的神秘。
Bolzano关于无穷的研究，其哲学意义比数学意义来得多，并且没有充分弄清楚后来称之为集合的基数的概念。在Bolzano的观点看来，数学是处理抽象集合的，判断无限集合是否存在的确认标准应该是全新的，主要依赖于它的非矛盾性质。这是一个决定性步骤，它抛弃了经验确认，抛弃了用元素构造程序的结果形成集合的观念。 Bolzano的工作形成了全新的领域，将无限在操作领域转变成对象领域，在这样的意义下，无限才有可能吸收进数学。然而，无限的结构还不完善，建构概念还没有完成（Moreno，1991，p.21）。
Lakoff和Nozn （2000，p.13）主张，理解数学无限观要基于概念上的隐喻来理解。基本的无限隐喻与目标过程范围和已完成的有限迭代过程来源范围相关联，概念上的隐喻机制是指个体对无限过程的结果形成概念。 Dubinsky （2001，p.12）认为，内在的心智构造是静态思考，内在过程整体上应看作一个认知对象，过程发生之前，应被看作一个整体。
Nidholas （1999，p.10）考虑一个等多边形的无限序列标记一个圆，虽然侧的个数可以增加，但永远不能产生一个圆。 Galio也得到同样的结论，但他将分割过程看作超过程，承认没有细分过程之后，“个人的努力”（ single strike）分离和分解整个无限。这里所谓的“个人的努力”和Dubinsky的“内在心智构造”一致。
我国魏晋南北朝时的数学家刘徽的“割圆术”指出，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣。”刘徽的思想兼含无限概念的形成和隐喻，对无限的认识达到了一个高度。
Monaghan （1986，p.16）的研究中，31％（190 名学生）认为，他们将无限理解为一个很大数。“我们将数字看作简单的事，而将无穷大看作中介形式，或很大数的上一层。”学生接受无穷小是一个有用的虚拟，一个很小数字的层面。用相同方法，无穷大可以表现为一个较大数字的层面。
Falk （1992，p.13）认为，儿童对数字标签很看重。事实上，标签是康托集合的标志。
Piaget和Inhelder （1948，pp.152 ～ 179）在论述儿童的空间表示的书中研究了点的概念和连续统。结果显示，8 岁以上儿童将少数几个点看作最后图形，并且保持原始图形的形状。在具体运算阶段，儿童能指出大量点组成的图形是不断分割的结果，但不能理解过程中的无限性，将点作为最后的元素，没有形状和面积。
Williams （1991，p.8）研究了个体对极限的本能认识，将个体对极限的本能认识分成6 类：动态观点、边界观点、形式化观点、无法到达、近似值、动态操作。
Davis和Vinner （1986，p.13）罗列了学生的 9 种对极限的错误认识，其中包括： n到不了无限，那么a n 能否趋近于极限L？收敛序列一定递增而上有界（或递减而下有界）。
Tall和Vinner （1986，p.14）探讨了个体对ε-δ语言的认识，认为存在两个误区：
●ε似乎不能对应任何特殊的数。
●“任意的ε＞0”似乎显得很突兀，在我看来，定义应该从某种程度上表明ε的数值逐渐递减，ε才能成为任意小。定义似乎没有遵循这样的思路。
并指出学生对ε含义的理解影响学生对极限定义的理解。将学生对极限的不同心理认识划分为几个类别：单调的与动态单调的、动态的、静态的、混合的。
Fischebein （1979，p.12）发现，无限的直觉非常局限于年龄。5 岁孩子Noga认为，沙子数目比人的头发数目多，理由是沙子数目是稳定的，人的头发数目总是变化的。
Fischbein1979 年的文章试图发展Piaget的关于儿童对无限的阶段性认识的工作，用旧的样本（470 名 10-15 岁学生在不同层次得分）试图找出结果和学生成绩的关系，所用的问题是Piaget和Taback的直线细分，一一对应的问题，发现无限的直觉本身是矛盾的，因为我们的逻辑图式自然而然地要适应有限的物体。支持这个观点的明显证据是无限推理中存在巨大分歧。有人认为推理是无限的，因为承认直线的划分总的来说是一个无限的连续操作；有人认为推理是有限的，因为不接受无限的连续操作，或认为必须用有限逻辑图式，如“整体必须大于部分”来回答。