下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
翻开数学史就可以知道，无限小与无穷大引入数学分析领域都是颇费周折的，其原因是由于无限概念中蕴涵着矛盾的缘故，他们就是潜无限和实无限的矛盾。
即使在小孩子的斗嘴中，我们也可以有趣地发现“潜无限”与“实无限”之争。两个小孩子在比较某事物的数量，一个说：“我有 1000”，另一个说：“那我有 10000”，一个说：“你有多少，那我就有多少再加 1”，另一个说：“我有全宇宙那么多”……显然，他们最后诉求的其实也正是“潜无限”与“实无限”。
Aristotle将无限定义为“不可得”，无限定义在所有能够用一个无终结的过程来描述无限的情形，这个过程是无限序列步骤，后面一步总不同于前面一步。用这个定义，一个圆尽管没有始点和终点，但不能看作无限，总可以找到一个和前面一样的后续。
尽管Aristotle承认每一个自然数的存在，但全体自然数不可得，不能被人类所认识。他没有将自然数看作实无限，相反，他们可以表征为潜无限。事实上，Aristotle将无限看作永远没有完竭的过程（endless process）。无限没有起点，没有终点，存在一个“后续”（successor），每一项永远和前面的项（predecessor）不同。这个过程永远不能完成，称之为潜无限（potential infinity）。比如，数数的过程需要所有时间才能完成，这是人力达不到的。受时间的局限，无法达到无限的整体。在他看来，无限数量化不可理解。而是将无限看作永远在延伸着的、一种变化着成长着被不断产生出来的东西来解释。它永远处在构造中、永远完成不了、是潜在的。在他看来，量就是一个数字，一个靠计数达到所给数字。给定一个计数的不可到达的过程，就没有类似无限量这样的事情。（Dubinsky，2001，p.15）
然而，Aristotle并没有完全拒绝无限。因为它的存在有很多暗示：时间，可以无限分割；空间，似乎是没有止境的。相应的是，人类无法想象一个无限实体以及它的实在的方面，并证实它的存在。倘若无限不能“一次都呈现”（all at once），Aristotle就定义了两种不同无限观念：潜无限和实无限。这使他承认了无限的存在。
Aristotle将实无限定义为瞬间的无限呈现（ to be infinite present at a moment time）。他将这看作不可理喻。因为这样的实在过程需要整个时间。他认为，无限全部被理解只能通过时间来实现，并且以潜无限来呈现。在Aristotle看来，所有对无限的拒绝就是拒绝实无限；另一方面，潜无限应看作“现实的基本特征”，因而是可接受的（moore，1995，p.5）。 Aristotle相信它们的差别可以解决不同悖论。
徐利治（1999，p.34-36）认为，潜、实无限分歧的另一根源来自自然数列本身所具有的二重性质——“内蕴性”和“排序性”。所谓“内蕴性”是指自然数列所具有的内在性质。它们表现为自然数之间的各种特定的关系，如由种种数论性质表现出来的关系等。由于不断延伸的数列将会不断产生新的内蕴性，而层出不穷的内蕴性是不可能穷尽地被构造出来的，当然它们也就不可能作为无穷整体对象来把握。所以，从“内蕴性”角度看待自然数列，即着眼于含有内蕴性质的数列，就只能视为潜无限。
所谓“排序性”是指自然数依次相续的那种宏观的外在性质。对此性质的把握不需要能动性的构造活动，而可将它看成是自然数列一贯到底的整体性质。既然如此，着眼于含有“排序性”的自然数列也就自然是实无限模式了。
徐利治（1999，p.34）认为潜无限和实无限问题还涉及人脑概念思维的能动性限度问题以及自然数列的二重性本质问题。古典哲学家Hegel就曾在《哲学史讲演录》中表述过：“时间和空间的本质是运动”。如果承认运动的客观性，承认运动变化的过程中有时能在“临界点”出现质态上的“突变”，而人脑概念理性思维具有反映“飞跃”的能力，则实无限概念的客观性也就不难阐明了。
假设一个动点P从数轴上的坐标点 1 处滑动到坐标原点O处，那么显然该点P必须经历一切形如
的坐标点汇成的无限点集
。于是由一一对应
也就立即得出了
N
≡｛
x
｜
x
＝
n
｝。在这个思维认识过程中，可以认识到
P
点与原点
O
的距离从非零变到零是一个数量性质上的突变，而这个突变立即导致形如
的坐标点个数由“有限”飞跃到“真无限”，相应地实无限概念
N
｛
n
｝
N
≡｛
n
｝，即
的对应物也是由概念思维活动客观地反映这种“飞跃现象”（量变到质变过程）的产物。
如上所述，就是科学认识论观点下有关“实无限概念的客观性”解释。需要补充说明的是，正如几何学上的圆是绝对完美的的理想事物，在现实中并不存在那样。含有无限多元素的实无限N也并不存在于现实经验中，而只是反映某种客观实在关系的理想事物。 Hilbert就不认为现实经验中存在实无限，但却欣然接受实无限概念，并认为那是通过思维的“外插”而获得的一种理想事物。可以看出，他所说的思维外插，无非是指富有能动性的理性思维对“飞跃现象”作出的正确反映。
可见，实无限论者是默认概念思维具有反映“飞跃现象”的能动性，而潜无限论者由于不认识、不认可或不信赖概念思维的能动性，所以也就拒绝思考实无限对象，或不愿接受由思维能动性产生的实无限概念。这说明两种无限观的分歧的可能根源之一就是由于“思维主体”在思维形态上的不同，一种思维形态默认思维反映飞跃的能动性，另一种则否认或无视能动性。
无限到底是潜无限还是实无限？这一直是数学史上争论的问题。自古以来，主张潜无限观的哲学家和数学家有：
Aristotle （包括其后继者），Gauss ，Galois，Kronecker，Poincare，Brouwer，Weyl，Bishop。（徐利治，2006，p.4）
Aristotle只承认潜无限，使其在古希腊数学中占统治地位。文艺复兴时期后，17 世纪下半叶，Newton、Leibniz创立的微积分学也是以实无限小为基础的。在其理论中，无穷小量被看作一个实体，一个对象，正因为此，早期微积分又被称之为“无穷小分析”。这种以实无限思想为据的理论在其产生后的一个世纪被广大数学家所使用，因而使这段时期成为实无限黄金时期。微积分被形容为一支关于“无穷的交响乐”。但由于当时人们对无穷小量概念认识模糊，导致产生了Berkeley悖论及一系列荒谬结果。
Gauss于 1831 年 7 月 12 日写给Schumacher的信说，“……我反对将无穷量作为一个实体，这在数学中是从来不允许的。所谓无穷，只是一种说话的方式，当人们确切地说到极限时，是指某些比值可以任意地趋近它，而另一些则允许没有界线地增加。” Cauchy也不承认无穷集合的存在，因为部分能够同整体构成一一对应这件事，在他看来是矛盾的。
尤其到了 18 世纪末至 19 世纪约百年时间中，随着重建微积分基础工作的完成，无穷小量被拒之于数学大厦之外，无穷小被看作实体的观念在数学分析中亦被驱除了，而代之以“无穷是一个逼近的目标，可逐步逼近却永远达不到”的潜无限观念。这种思想突出表现于现在标准分析中关于极限的定义中，并由此建立起了具有相当牢固基础的微积分理论，使得潜无限思想在这段时期深入人心。然而，到本世纪 60 年代，A Robinson创立的非标准分析，使无穷小量再现光辉，荣归故里，重新堂而皇之的登进数学的殿堂，而可与Cauchy的极限分庭抗衡了。尤其，在Cantor的无穷集合论中，体现的也是“无穷集合是一个现实的、完成的、存在着的整体”的实无限思想。 Cantor将无穷集合用基数
……来标记，无穷集合似乎可以当作量来处理。主张实无限观的哲学家和数学家有：
Leibniz，Hegel，Dedekind，Cantor，Weierstrass，Hilbert，Russell，Godel，ThomPlatonists （Plato主义者）等。（徐利治，2006 p.4）
徐治利（1999，p.25）认为，表面上看来，Cantor-Zermel似乎在古典与近代集合论中完全贯彻了实无穷观点，而Cauchy-Weierstrass在极限论中似乎完全贯彻潜无穷观点。事实上，集合论和极限论中都包含潜无限和实无限这一对矛盾，并且，对于近现代数学系统中的那些涉及无穷观的子系统而言，往往都是兼容潜无限和实无限的系统。作为极限本身而言，它既是潜无限，又是实无限，“实无限和潜无限是一个硬币的两个面”。 Cantor的超限数
……是由实无限组成的领域，却外显了潜无限，而不是无限的实在形式。无限的“潜在”性质，表面上似乎完全由于Cantor理论而被抛弃，然后在更高层次重新出现（Beck，1959，p125）。无限的矛盾本质推到更高一层次，但不能完全消除。
因为自然数序列的无限性问题和连续统一的点的结构问题，曾导致数学家之间及哲学家之间的长期争论，并成为数学史上诸不同流派观点分歧的出发点。逻辑主义派的主要代表人物是Russel。其宗旨主要是将数学化归为逻辑。逻辑主义派的基本立场是确认全部数学的有效性，并认为能把全部数学化归为逻辑，因此，既然要确认全部数学的有效性，势必要确认实无限观点下的无限集理论。
Hibert是形式主义学派的创始人，他曾说，数学思考的对象就是符号本身，符号是这个思考的本质，它们不再代替理想化的物理对象。其主要观点是认为古典数学中那些包含着“绝对无穷”（实无穷）概念的命题确实是“超越人们直观性证据之外”的东西。他曾说，“真实无穷乃是通过人们心智过程被插入或外推出来的概念……”。但是他们并不同意直觉主义者由于这样的理由去放弃古典数学，包括Cantor集合论。
就无限观而言，逻辑主义派和形式公理主义学派都支持实无限观点，亦即确认实无限性研究对象的存在性。
以自然数为例，逻辑主义派将自然数序列｛1，2，3，…，n，…｝理解为可以完成的过程，因而能作成一个无穷集合。这里承认可以由一切自然数形成一个无限总体，实质是实无限观点。他们认为自然数可以考虑成为一个“完成了的整体”，它作成一个含有无限多元素（自然数）的有序集合，而一切自然数都在其中。这是关于自然数列的实无限观。实无限观点认为，人类对自然数无穷序列的认识经过了几个不同等级的抽象才完成的：第一是由具体事物到自然数概念，这是一级抽象；第二是由具体的自然数到一般的自然数n，这是二级抽象；第三是从有限多个自然数到自然数全体，这是三级抽象。人们之所以能完成这第三级的抽象过程，主要是因为思维能够反映事物在质变过程中的“飞跃”。在这里具体反映了从延伸到穷竭，有限到无限或有限量的质变的转化。
直觉主义派的主要代表人物是Brouwer。直觉主义学派的根本出发点是关于数学概念的方法的“可信性”考虑。认识论的可信性就唯一地决定了直觉主义的前提。直觉主义学派在数学上的出发点不是集合论，而是自然数论。直觉主义学派对实无限概念采取绝对排斥。因为从生成的观点来看任何一个无穷集合或实无限对象都是不可构造的。例如，对自然数集合｛1，2，…，n，…｝，直觉主义学派否定全体这个概念，因为任何有穷多个步骤都不能把所有的自然数构造出来，更谈不上汇成整体了。在他们看来，自然数集合｛1，2，…，n，…｝只能永远处于不断地被构造的延伸状态中，是创造不完的，因而它们不可能形成一个整体性的无限集体。它能不断地达到下一个数而超越任何一个已经达到的界线，从而就开辟了通向无限的可能性。但它永远停留于创造（生成）的状态之中，而绝不是一个存在于自身之中的事物的封闭领域。也就是说，自然数列只是一种具有潜在无限性的事物，自然数的无限是“潜无限”。
按照Monk （1970，转引徐利治，2007，p.2）发表的一篇文章中的说法，世界数学界中有 65％ Plato主义者，30％形式主义者和 5％直觉主义者（即构造主义者）。 Plato主义指Plato哲学或Plato的哲学，尤指宣称理念形式是绝对的和永恒的实在，而世界中实在的现象却是不完美的和暂时的反映。如此说来，实无限论者显然代表数学界的多数派或主流派。虽然如此，由于潜无限自然数早已成为现代计算机科学和可计算理论的基本概念，所以有些数学家，例如Maclane在其著作中，就乐意将Peano公理中的第 5 公理（归纳公理）陈述为弱形式与强形式，弱形式的归纳公理蕴涵潜无限性的自然数列，强形式的归纳公理肯定实无限性的自然数列。
那么自然数序列的无限性究竟是潜无限还是实无限？无限过程乃是实无限与潜无限的对立统一体，两种无限概念只不过是对同一个无限性对象（如自然数序列）的两个侧面的描写和反映，是一个硬币的两个方面（徐利治，2001，p.5）。但由于形式概念思维的单一性和僵化性，在考察无限性的任一侧面时，另一侧面必处于形式推理上被否定的地位。所以，在肯定关于实无限的凝聚公设时，必定要否定潜无限的存在性；另一方面，潜无限论者就必然否定实无限的存在性，否则就自相矛盾。
综上所述，数学本身包含着无限的固有矛盾性，而本文所界定的无限是数学概念中蕴涵的无限，笔者从数学无限的固有矛盾性出发，基本赞同徐利治先生关于数学无限的观点：实无限是把无限的整体本身作为一个现实的实体，是已经构造完成了的东西。换言之，即是把无限对象看成为可以自我完成的过程或无穷整体，实无限依靠潜无限来产生，潜无限的最终结果依靠实无限来表达，无限是潜无限和实无限的矛盾统一体（徐利治，1999，p.34）。