发射速度与卫星轨迹、宇宙速度和运行速度的关系

赵保现

笔者曾以“对万有引力与航天中有关问题的定量分析”为题，就卫星运动的有关问题，在《物理教学》杂志2011年第5期上进行了讨论。

由于涉及到的数学知识较深，高中物理教科书不可能把卫星轨迹跟发射速度的关系、宇宙速度的意义、发射速度与运行速度的关系等，介绍的非常细致到位。但是作为教师，清晰以上诸问题，对于自己的教学和研究将会有很大益处。因此，笔者对上文进行了一些改动，以期得到大家的指导和帮助。

一、卫星的发射速度与卫星运动轨迹的关系

1．理论推导

o 、 R 和A分别为地球球心、地球半径和地面上的任一点，将地球视为圆球，地面处的重力加速度为 g 如图1所示。今在A点以速度 v ₀ 垂直于OA的方向发射一颗卫星，不计卫星受到的阻力，卫星将沿怎样的轨道运动？

卫星发射后，只受指向地心的万有引力作用，因该力与速度 v ₀ 垂直，故卫星只在引力和速度 v ₀ 方向所决定的平面内运动。在该平面内，以地心 o 为极点，由 o 沿直线指向A点的方向为极轴 r 的正方向、以与 r 垂直且逆时针方向为 θ 正方向建立极坐标系如图2所示。令P（ r ， θ ）点为卫星运动轨迹 l 上的任一点，在该点卫星只受到指向地心的万有引力作用，设卫星和地球的质量分别为 m 和 M ，由牛顿第二定律得

其中 、 ，

由以上各式，得

在A点，卫星只具有与 r 垂直的速度 v ₀ ，即 、

故初始条件为： r ＝ R 时， θ ＝0、 ＝0、 ＝ 。

把相关初始条件代入③式，得 C ＝ Rv ₀ ，于是

又 ＝ 、 ＝ ＝ ，分别结合④式得

再由上两式，得

将④、⑤式代入①式

⑥式是1对 θ 的二阶常系数非齐次线性微分方程，⑥式的解为

r

为 的通解， 为⑥式的特解

故

上式对时间 t 求导，得

把初始条件代入上面二式，得

所以⑥式的解为

即

⑦式就是卫星运动的轨迹方程！它与圆锥曲线的极坐标方程 r ＝ 具有相同形式，因此卫星的运动轨道为圆锥曲线。

由⑦式不难发现，卫星的运行轨迹（轨道）受到卫星发射速度 v ₀ 的影响。

2．具体关系

由⑦式知，离心率

当离心率分别满足条件 e ＝0、0＜ e ＜ 1、 e ＝1和 e ＞1时，卫星的运动轨道分别是圆、椭圆、抛物线和双曲线。

（1）发射速度 v ₀ 满足什么条件，卫星绕地球运动的轨道是圆周？

将 e ＝0代入⑧式，得 v ₀ ＝ ，再将R、g的数值代入，得 v ₀ ＝7．9km/s（第一宇宙速度）。即：在地面上或地面附近，沿地面的切线方向、以7．9km/s的速度发射卫星，卫星将绕地球做半径为 R 的匀速圆周运动。由此看出，第一宇宙速度就是发射速度。

当然，第一宇宙速度还是使卫星不落回地面的最小发射速度（证明略）。

（2）发射速度 v ₀ 满足什么条件，卫星绕地球运动的轨道是椭圆？

由0＜ e ＜1及⑧式，得 ＜ v ₀ ＜ ，即7．9km/s ＜ v ₀ ＜ 11．2km/s（第二宇宙速度）。因此，在地面或近地点沿地面切线发射卫星时，当发射速度 v ₀ 大于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度时，卫星将绕地球做椭圆运动，地心就是椭圆轨道的一个焦点（如图3所示）。显然，第二宇宙速度也是发射速度。

⑶发射速度 v ₀ 满足什么条件时，卫星的运动轨道是抛物线？

在⑧式中，令 e ＝1，则 v ₀ ＝ ＝11．2km/s。因此，从地面或其附近恰好以11．2km/s的速度沿地面的切线方向发射卫星，卫星的运动轨道为抛物线。在这种情况下，卫星将脱离地球的吸引而永远离地球而去（如图4所示）。

（4）发射速度 v ₀ 满足什么条件时，卫星的运动轨道是双曲线？

在⑧式中，若 e ＞ 1，则 v ₀ ＞ 。即发射速度 v ₀ ＞ 11．2km/s时，在地面或其附近沿地面的切线方向发射卫星，当发射速度大于第二宇宙速度时，卫星将沿双曲线轨道离地球而去（如图5所示）。

可见，第二宇宙速度是使卫星脱离地球的吸引而永远离开地球的最小发射速度。

二、发射速度大小与运行速度大小的关系

1．对运行速度的理解

卫星沿轨道 l 运动时，它在任一时刻的速度，叫做运行速度。例如图3中，卫星在A点的发射速度大小为 v ₀ ， v ₀ 就是卫星沿轨道 l 运动时，经过A点时的运行速度大小。

卫星做圆周运动时的运行速度，也叫环绕速度。

2．运行速度的数学表达式

图2中，令A点到O点的距离为 r ₀ （ r ₀ ≥ R ），即发射卫星的地点在地球“上方”某点且 v ₀ 与OA垂直， P ( r ， θ )为卫星所在轨道上的任一点，卫星运行到该点时的速度（运行速度）大小为 v 。则由A点到 P 点，据机械能守恒定律，得

其中 ＝ mg

所以，卫星运行速度大小的一般表达式为：

3．对发射速度、运行速度的相关讨论

（1）卫星做圆周运动时

卫星做圆周运动，其到地心的距离 r 恒等于 r ₀ ，由⑨式得到运行速度 v ＝ v ₀ ，因此，卫星做匀速圆周运动时，其运行速度的大小与发射速度的大小始终相等。

运用 ＝ 、 ＝ mg 及 r ₀ ≥ R ，容易推出：当 r ₀ ＝ R 时，卫星运行速度 v 的最大值是 ＝7．9km/s，即第一宇宙速度又是所有绕地球做圆周运动卫星的最大运行速度。

（2）卫星沿椭圆轨道运动时

卫星沿椭圆轨道运动，由⑨式知及图3：当 r ＝ r ₀ 时，运行速度大小为 v ₀ ，即卫星在A点的运行速度等于发射速度 v ₀ ；随着 r 不断增大（到地心距离不断增大或离地“越高”），运行速度 v 逐渐减小，到达远地点B时运行速度最小；同理，卫星由B点沿椭圆轨道向近地点A运动中，运行速度 v 又逐渐增大，再次回到A点时，运行速度达到最大值 v ₀ 。

（3）卫星沿抛物线轨道或双曲线轨道运动时

以速度 v ₀ 从A点发射出去的卫星（图4、5），分别沿抛物线、双曲线轨道运动，发射速度 v ₀ 就是卫星在A点的运行速度；卫星从A点沿抛物线或双曲线运动的过程中，其到地心的距离 r 逐渐增大，由⑨式知其运行速度 v 逐渐减小。

限于篇幅，对同步卫星、返回式卫星的变轨问题和发射速度与极轴成任意夹角等情形不再赘述。 leKZbpYNSVjAhU3AVU723jsfcN17MnCSIwCEfr3ztKykv2fMM0+hN+b3+kUVySM8