四、数学问题提出的教学实践

上述一系列的前期工作，尤其是问卷调查为教学实践提供了许多有意义的参考。课前问题提出对学生数学观点有影响，课前问题提出对提高课堂教学效率的重要影响，学生观点的改变对学生课堂学习效率有影响，学生元认知水平的高低影响学生课堂学习效率。基于此，实证研究中，第一步，以课前问题提出为总的指导方针，分析课前问题提出对课堂高效教学的影响。第二步，以课堂中问题提出为中心，探究课堂问题提出对数学教学的影响。第三步，以课后问题提出为出发点，研究课后反思对后续课堂高效教学的作用。

（一）课前问题提出的教学实践

以课前问题提出为总的指导方针，分析课前问题提出对课堂高效教学的影响。主要是分析初中学生刚进入高中，学习数学的方法与思想需要改变，此时学生想当然的情况较多，学习积极性较高，适宜课前与学生交流。

实验假设：课前教学生提出问题，开阔学生的眼界，使他们的思想与境界上层次，学生通过课前问题提出，在教师精心设计的问题中逐渐改变数学的观点，加强对数学本质的理解，理解数学的思想，培养和训练学生的思维，达到教学的高效性。

实验目的：分析课前问题提出对课堂高效教学的影响，改变学生的观点，培养和训练学生的思维，达到教学的高效性。

实验自变量：课前提出如下 6 个问题中的一部分就可以。6 个问题分别为：①下节课内容的总体构思是什么？（从对比的方式来说明数学内容的特点，还是从具体事实中发现共同的特征，等等）②下节课对你来说主要矛盾是什么？③你想怎样解决矛盾？④与你的观点发生冲突的原因是什么？⑤你学习数学的操作工具是什么？⑥课堂上我应该关注的对象是什么，我的不足之处是什么？

实验无关变量：主要是控制教师课下给学生讲授新课，学生的提问带有交差的现象。

实验因变量：学生观点的变化，做题时（尤其是运算）想当然减少，学生的作业认真。

实验程序：实验在高一年级第一学期进行，整个实验持续一个月，采用训练—调查的实验设计。因为学校在分班时依据的是中考分数，具有很高的信度，两班没有什么区别。

训练：从开学第一周进入训练阶段。训练共分 8 次课，持续四周，每周两次，每次训练时间为 15 分钟。

调查：课前提出问题的数量个数（学生的平均数），每节课前花 15 分钟看课文的学生数，对数学课感兴趣的学生数，喜欢数学老师的学生数，认为数学能够启发人的思维的学生数，认为数学抽象能体现数学价值的学生数，认为上数学课的效果比先前提高的学生数。

实验材料与教师的指导：

材料 1：从数和数的运算角度建立各种关系，用文字代表数，在数的运算过程中遇到各种各样的矛盾，在解决各类矛盾中，综合各类情况，建立起数量关系。

教师指导：

问题 1：实数系就是一些数的组合吗？运算的作用？

问题 2：数的发展告诉我们什么？

解说：实数及其运算和大小关系。在我们学习数学的过程中，对自然数的认识是最早的。自然数是本来存在的事物，我们从小学开始接触的就是自然数。加法运算产生计数的矛盾，十进制的引入解决了计数矛盾，而十进制占有统治地位与人类用十个手指数有着密切的联系。指数的引入解决了大数表达的困难。随着社会的进步，加法不能解决更多大数间运算问题，乘法的进入解决了此问题。减法观点的产生为负数的发明奠定了基础，除法为分数的认识立下汗马功劳。随着运算的深入发展，有理数、无理数得以分类，根式的认识得益于开方运算，对数的发明源于科技发展需要很复杂的运算。由此可见运算在实数系中占有举足轻重的地位。而实数系是一切具有运算体系的榜样。任何具有运算体系中的内容、方法与思想，都能从实数的对比中受到启发。

教师指导：

问题 3：字母代替数的好处是什么？

问题 4：方程思想有什么作用？

解说：用字母代表数，就有 a 、 b 、 c 、 d 、 x 、 y 、 z 等变量。数和变量一起运算的结果就形成代数式，代数式之间也有加、减、乘、除等运算，代数式及其运算的结合为我们后续的学习打下了基石，它的产生也让我们领略到高度抽象的数学之美。代数式及其运算也可以说是大大开阔了我们的眼界，它使我们的思想与境界上了很高的层次，这也是数学成为基础学科的关键之一。如果令两个含有变数的代数式相等就成为我们所学的方程，方程是变量间数量关系的呈现方式。数和代数系的建立是必要的，它的创立使方程的建立成为可能，有水到渠成的流畅之美。另外有代数式就有“恒等”变换，而“恒等”变换是只变其形不变其质的数学推理，目的是为了从“好”的形式中看出其本质。如一元二次多项式分解成一次因式的乘积、代数式的恒等变换、三角函数的恒等变换、方程的同解变换。

材料 2：高中函数

教师指导：

问题 1：初中学习了函数，高中又学函数，深层次的原因是什么？

问题 2：函数的定义来源于实际问题的抽象，他们的共性是什么？抽象的工具是什么？

问题 3：函数的定义与初中的定义不同点是什么？高中引用了什么工具来说明函数定义的？

问题 4：高中对函数的描述工具 y ＝ f （ x ）， x ∈ A 怎样去认识？ y ＝ f （ x ）好处是什么？

问题 5：函数的符号作用是什么？集合语言怎样体现它的运动观点？

解说：高中函数的教学就是通过五个具体的例子抽象得到的。高中是学完了集合知识后学函数的。这样安排是为函数刻画运动的状态提供最佳法宝。说到这，先介绍集合的一些特征。我们知道只要研究问题，就有研究对象，在数学中我们把这些研究对象称为元素，如果把一些元素放在一起作为一个整体看待，就形成了集合。这样的好处是让集合、元素在数学中处处存在。集合语言的引进使辩证法在数学中成为可能。从而使集合论的语言就自然地成为数学的基本语言。如果我们在学习集合语言过程中时刻把哲学的观点引进我们的学习中，那我们的数学学习就会事半功倍，思维方式就会有一个质的飞跃。

函数刻画了一个变量随着另一个变量的变化所呈现的状态，它是描述运动变化的绝好工具。函数思想是把不同对象联系起来的一个好观点。数学的研究思想、方法等都有可能在其他理论中得到应用。现在回到函数中来，有了函数的集合定义就从初中的简单定义中脱离出来，用集合的观点定义的函数有覆盖广、高度抽象等特征，这使得函数具有统帅作用。比如说，数可以看成特殊函数，数的运算可以看成特殊的二元函数，代数式通过改造可得出一个函数，我们学过的数列就是特殊的函数，解一元方程就是求一个函数的零点，因此解方程也可以用函数的观点来分析。

学生通过上述的观点，在教师精心设计的问题中逐渐地理解数学的思想。数学的认识也上了一个层次。问题提出的教学方法使学生习惯用数学观点认识问题，通过对比发现初中与高中函数的区别，从而加强对函数概念的理解。

学生的访谈与相关数据：

因为探究的过程中会有争论，争论可使学生的思维始终处于活跃状态，通过争论解决问题，理解特别深刻，其实际效果是一般性讲解所无法达到的。容易引起争论的，往往是生活中碰到的现实与数学模型表面上相矛盾，或者平时形成的概念与严格定义的数学定义不一致的问题，设计一些问题，引起学生的争论，对澄清学生的错误认识大有好处。

通过访谈，学生观点的改变如下：

学生 1：通过教师的引导，对原有数的观点有新的认识，不在孤立地看待实数。

学生 2：真没想到数的发展史隐藏这么多的数学知识。

学生 3：从来没有想过运算有这样大的功能。

学生 4：用字母表示数，我总是觉得很怪，通过教师的讲解，才知道它的动态特征。

学生 5：看来高中数学就是与初中数学有区别，课前的问题提出，尤其是老师给出的 6 个问题对我的数学观点改变很大。

学生 6：看见高中又学函数，我眼前全是初中的二次函数，这有什么好学的呢？通过老师的课前问题的引导，我才发现数学知识的高深。

学生 7：真没想到 y ＝ f （ x ）的作用，还能够表达对称性，太神奇了。

学生 8：我对数学的抽象有点明白了，学习数学有趣了。

相关数据统计：

实验结果：

研究中以课前问题提出为总的指导方针，分析课前问题提出对课堂高效教学的影响。开阔了学生的眼界，使他们的思想与境界上了层次，在学习过程中时刻把哲学的观点引进我们的学习中，思维方式有一个质的飞跃。学生通过课前问题提出，在教师精心设计的问题中逐渐地理解数学的思想，数学的观点改变了。问题提出的教学方法使学生习惯用数学观点认识问题，通过对比发现初中与高中数学区别，从而加强对数学本质的理解，改变学生的观点，培养和训练学生的思维，达到教学的高效性。

通过对比，实验班的学生显然优于对照班的学生，学生不仅问题提出的数量比对照班多，而且学生对数学的兴趣也比对照班多，学生观点的改变也是优于对照班。总体上说课前问题提出对学生的观点有很大的作用。

在课前问题提出的有利条件下，学生已经具备一定的数学思想与方法，探讨课堂问题提出成为可能，教师采取问题提出的教学形式，以多种方式来促进学生的课堂学习效率。课堂的问题提出主要是教师，教师提问的是以学生知识结构的重组，概念的形成为主导思想，在问题提出的过程中强化学生观点的改变，强调数学思想与方法的重要性。

（二）课堂上问题提出的教学实践

基于问题提出的数学课堂教学的高效性表现为：数学教师在有限的课堂上按教学要求完成教学任务，学生能够掌握新旧联系、抽象概括、合情推理、类比迁移、归纳演绎、渗透拓宽等多种优良思维品质，能与同学、教师共同探究问题，提出有意义的见解。

实验假设：

课堂的问题提出以学生概念生成性教学策略研究为中心，使学生知识结构发生重组，学生观点的改变，概念的形成到位。使学生注重数学思想与方法的学习。通过问题提出的教学和研究性教学改变学生的观点，促进教师教学的创新，多种方法的引导，高效率让学生形成概念。培养和训练学生的思维，学生的课堂学习效率会有明显的提高。

实验目的：

通过课堂的问题提出，促使学生的概念的形成。改变学生的学习习惯与学习观点，学生注重数学思想与方法的学习。培养和训练学生的思维，学生的课堂学习效率有明显的提高，教师教学上有创新。

实验自变量：

新课的讲授主要提出 5 个问题：①本节课的矛盾冲突是怎样形成的？（或者说引起矛盾冲突的主要原因是什么？）②课本中用什么方法层层递进来解决矛盾的？③课本中具体用到的数学工具是什么？④知识结构的重组？⑤数形结合是怎样来说明问题特征的？

习题课的讲解主要提出 4 个问题：①解决问题的指导思想是什么？②知识的迁移？③形式的变化，采取的措施是什么？④条件的作用是什么？

实验无关变量：

学生的作业量不能够超过教学大纲的要求，学生课外数学学习时间最好不要超过 1.5 小时。

实验因变量：

学生观点的变化，学生的作业认真，数学思想方法明确、概念清晰。

实验程序：

实验在高一年级第二学期进行，整个实验持续一个月，采用训练—调查的实验设计。因为学校在分班时依据的是中考分数，具有很高的信度。两班没有什么区别。

训练：从开学第一周进入训练阶段。训练共分 8 次课，持续四周，每周两次，每次训练时间为 45 分钟。

调查：

实验材料：

材料 1：数学归纳法。

材料 2：数系的扩充与复数的引入。

材料 3：向量的线性运算。

材料 4：高考题：在 ΔABC 中， a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 所对的边，且满足 a cos B＝ 3， b sin A＝ 4，求边长 a ．

材料 5：集合概念的理解。

实验过程与结果：

1.问题提出引发矛盾是学生观点发生变化的源泉。

说明：概念的获得最常见的是矛盾的生成，矛盾使学生的观点发生变化，由先前的感性认识上升到理性认识，从学生实际经验的概念否定例证中，以归纳的方式抽取出一类事物的共同属性。

材料 1：关于“数学归纳法”教学

实验过程中教师课堂上的问题：①本节课的主要矛盾是什么？②引起本节课的主要矛盾是什么？③本节课介绍特殊证明方法，它特殊的地方是什么（与以往对比）？④本节课的视频的作用是什么？生活语言和数学语言的区别与联系？⑤本节课的学习中用到的方法与技巧是什么？

教师的引导：

第一步，提出产生问题的主要矛盾。教师呈现引起问题冲突的原因：无限的穷举与有限的操作产生的矛盾。目的是澄清学生的思维空间中的一个误区：学生在学数学时，局限于用部分说明整体，或者用特殊替换整体。学生对原问题的理解上升到一个规律性的认识，学生的思维空间也得到了进一步的发展。

第二步，教师提出问题、解决问题的另一个难点：任意相邻之间的传递关系如何操作？学生探究设置假设 n ＝ k ，（ k ∈ z ^∗ ），命题成立来证明 n ＝ k ＋ 1命题成立的作用。经过师生的共同探究，用集合的工具很好地解决了教师提出的问题。这种方式不仅使学生掌握集合的思想，而且也使学生在探索中理解和掌握特殊化和一般化的思想方法，并学会如何在探究中运用这种方法。通过探究学生不仅为发现一个新的结论而感到高兴，而且更加激发了学生进一步探究的热情和欲望。同时，学生的思维空间也得到了进一步的丰富和发展。

第三步，教师提出问题：归纳假设的第一步是否可以省略？教师借助视频先从感性上让学生认识它的重要性，在课后的大讨论中利用反例来强化说明教师提出的问题的重要性。数学来源于现实生活，也要服务于现实生活。通过视频的引用，能使学生感受到数学与生活的紧密联系。同时，学生对感性的认识转化到理性的思考，对问题的理解也更为深刻。

第四步，教师提问，假设 n ＝ k ，（ k ∈N ^∗ ），命题成立的作用是什么？这是一个重要的假设，为证明 n ＝ k ＋ 1 命题成立提供了一个重要的条件。

第五步，教师提问，数学归纳法学习让我们知道理性思维与感性认识的联系和区别。

第六步，教师提问，在讲解过程中的视频的真正作用是什么？类比是伟大的领路人。

说明：这是一些开放性的问题，对于学生的思维具有一定的拓展性与探索性，能够诱导学生对问题进行进一步的探索，这就导致了学生的思维空间有不断扩大的可能。在这些问题的支持下，深化了学生对原问题的认识。学生能从多种角度来对问题进行思考，并能尝试运用特殊化与一般化的方法提出新问题。对于这个课题的探究，历时两节课，第一节课主要包括前六个步骤，即对问题的探究局限于数学归纳法的证明过程，第二节课是对数学归纳法的思想的一个概括以及对数学思想与方法的一个再认识。通过对问题进行横向和纵向的拓展，通过不断的问题空间的转换，努力使学生处于一种“一波未平一波又起”的问题情境之中，为学生营造了一个又一个波澜起伏而又自由的适合学生发展的学习空间，使学生对问题有了更深层次的认识，通过学习明确了数学归纳法的真正内涵，也明白了概念教学的重要性。

学生 9：原先总认为用举例子的方法就可以说明问题，现在明白自己观点的不足之处。

学生 10：数学归纳法的学习不仅仅是两个部分的叙述，关键是思想的形成，感性认知与理性的证明区别太大。

学生 11：原来矛盾是个很好的事物。

学生 12：数学语言太有趣了，能够把数学内容表达得这么准确。

2.引入数学史来解决矛盾而生成概念

数学命题的叙述，它既有知识结论，又记录了数学知识形成的思维过程及活动。数学史即一部完整的数学思想史。在教学中，我们要言而中的，既“授之以鱼”，又“授之以渔”。因为思想方法具有更高的学习价值，它是使学生受用终生的东西。教学时，要有意识地参照史料。数学中的负数、无理数、虚数等概念，历史上发展缓慢，并且遭到过极大的反对。数学史告诉我们，为什么这些概念会遭到反对？它们又是怎样得到了承认？当我们把这些问题的来龙去脉搞清楚后，就能占领制高点。根据皮亚杰的观点，真正理解一个概念或理论意味着主体重新创造这个理论。

材料 2：关于“数系的扩充与复数的引入”教学

教师引导提出的问题：

问题 1：考虑所教内容对应数学史中哪部分知识？历史的知识是怎样选择成教学内容的？为什么要这样来组织？采用什么方式来教？教材内容如何转化为“课堂数学”？

问题 2：历史有什么启示，能利用它的某些部分吗？能利用它找到突破难点的方法吗？如何构造一个恰当的辅助问题帮助学生修正认识上的偏差？

问题 3：如何创设更有益于学生思考的数学活动情境？

教师说明：这些问题的回答要求挖掘数学史中一些事件的联系并找出规律性的东西，正确预测学生学习中的困难之处，捕捉学生思维发展的生长点，通过一些不难而又能引导学生进入某一门户的典型问题，有效地监控学生的思维。弗赖登塔尔也告诫教师要“遵循数学发展所表明的渐进系统化的过程，活动的数学，就应教学生再创造的方法”，如何引导学生进行“再发现”过程的学习呢？就虚数的引进，我们提倡适当暴露思维过程，即概念形成的过程，结论推导的过程，方法思考的过程，问题被发现的过程，数学规律被揭示的过程，不提倡在课堂上讲虚数的历史。这是因为教师自己有一桶水，给学生的却只应该是一杯水，不能把一桶水都浇到学生头上，同时，“再发现”过程的学习远非历史过程的简单重演，教学时更不应该在外围徘徊，而应迅速接近问题的核心，在不增加学生负担的情况下积极前进，将新知识和旧经验建立联系，怎样理解虚数是数，“理解数学无非是在观看数学现象，观看是通过数学的感觉去知觉形象”，如 x ² ＋ 1 ＝ 0 的解是一种我们尚不认识的新数，原因是实数给我们的限定，必须扩充实数集，确立i是数的观点。这个例子帮助学生打开了思路，突破了定势，起到了阿里巴巴“芝麻开门”的咒语作用。这样做不是把学生背进来、抱进来，而是“诱”进了复数大门，逼上了“虚数山”。

数学科学给我们知识，而数学史更能给我们智慧。我们认为，不重视智慧训练的数学教学是没有前途的。就培养学生的数学思维能力而言，前人数学思维发展中的经验教训是最有借鉴意义的，数学知识不会离开数学发展史而凭空产生。“一个坏的教师奉送真理，一个好的教师教人发现真理”，尽快克服关门思考的“降落伞”式的教学，多读点数学史。

数学史对于理解数学有难以替代的作用，数学有两个侧面：一方面，以最后确定的形式出现的定型的数学，表面上看来像是笛卡尔所说的“推理的长链”；另一方面，从创造数学的过程来看，却好像是一门实验性的归纳科学。教科书的表述通常都是“落后的”，它隐去了数学发现的思维过程，它的内容的抽象性和逻辑性往往掩盖了数学的本来面貌。这正如英国哲学家席勒所说：“逻辑分析没有去描述科学实际发展所凭借的方法，而是任意按照自己的偏见重新安排了实际的行动步骤，以求证的规程代替发现的规程。”现在的根深扎在过去，不读点数学史，就难以理解数学何以成为现在这个样子，就可能片面地认为数学就是单纯的知识、技巧堆砌，就是单纯的逻辑推导的一个天衣无缝的体系。

学生 13：数学史让我发现了数学家的聪明。

学生 14：读史使人明志，而数学史的学习却使人变得睿智。

学生 15：数学史让我有思想。

学生 16：数学史教我创新的方法。

3.层次性问题提出的数学教学能培养学生的自学能力

数学问题提出是一个逐步深入的过程，随着学生认知水平的提高和问题意识的增强，学生逐渐主动提出问题，提出的数学问题也会更具价值。在学习的不同阶段，学生对数学问题的提出可以有不同的层次。对数学问题提出的层次问题，主要观点简述如下：

朱福根认为：在数学教学中，学生“提出问题的能力”分为五级水平，即：敢于提出问题水平、简单模仿水平、初具意识的思考后提问题水平、带着问题学并研以后提问题水平、融会贯通和深思熟虑后提问题水平。这五个水平包括了提出数学问题所经历的全过程，后一个水平比前一个水平在层次上都递进了一步，是前一个水平的拓广。

黄立俊和黄本利在朱福根研究的基础上，提出数学教学中学生“提出问题”能力发展的五个阶段：初级阶段、萌动阶段、幼稚阶段、成熟阶段、升华阶段。初级阶段是敢于独立、主动地提出问题的阶段，学生对于听课中不懂的知识、不会做的习题，敢于向老师和同学提问。萌动阶段是指学生通过简单模仿以后提出问题的阶段，提出的问题往往还比较简单，但已表明他们是在思考的基础上提出来的。幼稚阶段是学生初步学会思考以后提出问题的阶段，学生开始有意识地思考问题，试图提出一些有新意的问题，他们将自我见解和个人观点充分体现在所提问题中。成熟阶段是通过学生深入钻研以后提出问题的阶段，提出的问题有一定的深度和难度，学生对问题的本质有较高的把握，体现了一定的能力和水平。升华阶段是通过学生研究猜测以后提出问题的阶段，学生提出的问题既抓住问题的本质，又揭示问题的规律，具有猜测、发现之特征。达到这一阶段的水平的学生已初步具备了向数学更高领域探索的基础，已获得了终身学习和发展的基础和能力。研究数学问题提出的层次，对数学问题提出的培养策略的研究，以及实施“情境—问题”教学都有重要作用。目前，对数学问题提出的层次研究相对较少，而且研究存在局限性。朱福根的研究，对每一层次只做了笼统的划分，没有说明每一层次的具体表现，所以可操作性不强。黄立俊和黄本利的研究，虽然为我们的研究开辟了新的视角，但不适用于所有的问题，不具有普适性。

材料 3：以“向量的线性运算”的知识结构图为例的教学实践

教师的研究思路：学生在高中学习集合、函数之后，初步体会到辩证的哲学观点对数学的指导作用，为了更好地把这种指导作用强化给学生，设计教学时，要注意将联系的观点自然渗透其中。讲解过程中，可借助一些通俗易懂、来源于学生已有知识的例子以及形象的图形为学生开辟一条思维之路，重点指出引起联系的关键事物，引导学生学会应用联系的观点解决相应的数学问题。

如图所示：

教师引导提出的问题：

问题 1：课本中介绍向量的加法运算法则的依据是什么？给我们的启示是什么？（观点的改变）

问题 2：向量的加法有三角形法则和四边形法则，它们有没有联系呢？

问题 3：课本中处理向量的减法运算的方法是什么？给我们的启示是什么？

问题 4：实数在向量的运算中有什么作用，它的优点是什么？给我们的启示是什么？

说明：通过问题的层次性，借助给学生画向量的线性运算的知识结构图，首先说明向量的加法运算的核心作用。介绍三角形法则和平行四边形法则后，相反向量的引入，为向量的加法与减法运算的联系创造了条件。向量的线性运算的另一个特点是它有深刻的物理背景和几何意义，因此在引进一种向量运算后，总是要考察一下它的几何意义。正因为向量运算的几何意义，使得向量在解决几何问题时可以发挥很好的作用。因此教师通过其几何特征，逐步引导学生在图形上接受向量的减法运算，同时加强了对向量的加法运算的认识。这样解释说明向量的减法就是向量加法运算的一个深入。向量的数乘运算则是向量的加法运算的特殊形式，而实数的介入使向量的加法与向量的数乘结合得更加紧密起来。通过对该知识结构的讲解，用联系的观点可以很好地把知识的来龙去脉、前因后果叙述清楚，学生接受得更快。

事物是普遍联系的，运用联系的观点，加上问题的提出可以强化数学概念的形成。向量是高中的一个重要知识点，用联系的观点来加以分析具有代表性。

向量的加法、减法及向量的数乘统称为向量的线性运算。有了向量的线性运算，平面中的点、线段（直线）就可以用向量表示，这就为用向量法解决几何问题奠定了基础。引入向量的数乘运算后，可以发现数乘向量与原向量是共线的，据此可以判断两个向量共线。向量的线性运算的另一个特点是它有深刻的物理背景和几何意义，因此在引进一种向量运算后，总是要考察一下它的几何意义。正因为向量运算的几何意义，使得向量在解决几何问题时可以发挥更好的作用。教学中应注意沟通各部分内容之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，进一步理解数学的本质，提高解决问题的能力和提出问题的能力。基于此，用联系的观点引导学生学习向量的线性运算，组织教学讨论能增强学生对数学本质的认识。

教师作为学生探究的发动者和促进者，主要起到一个“引导”的作用，特别是学生不知从何处入手进行探究时，教师此时应该提出问题，来支持学生的进一步探究。但教师不是“主导”学生进行探究，而是为学生的探究提供一个方向。

实验过程中需要注意循序渐进问题提出的数学教学的原则。欲速则不达，对教学工作者来说，循序渐进问题提出的数学教学的原则是首先应遵循的原则之一。在问题设计中，应当达到如下要求：从学习者的角度来看，“问题”必须具有可接受性、障碍性和探究性；从教师角度来看，“问题”应当有可控性；从数学内部来看，“问题”要具有可生成性、开放性。在问题的设计中，教师必须创造性地加工和处理教材，对教学内容做到舍取有度，符合如下原则：

①现实性原则，构建真实的问题情境，激励与促使学生全身心地投入到学习活动。

②思考性原则，设计的问题必须要有思考性，要为学生提供一定的思考空间。

③针对性原则，问题的设计必须要有针对性。把握教材内容的核心和相关的问题，提供数学知识的“原型”，让学生亲历数学的转化过程。

④挑战性原则，在学生的“最近发展区”提出有挑战性的问题，刺激和激励学生积极探索。

⑤开放性原则，问题的设计要有开放性，学生在探究的过程体验数学思想与方法。

针对上述的实验，教师为了加强学生的观点又给出 4 个讨论的问题让学生体会层次性提出问题与联系的观点的作用。

问题 1：单位向量的应用

单位向量相加有其特殊性，表现在几何性质上。它的几何性质介绍如下： 的几何意义如图所示：

由平面向量加法的平行四边形法则，及该平行四边形邻边相等特征可以看出此平行四边形为菱形（向量共起点），其和向量与两已知向量的夹角相等。

问题 2：若 ，则∠ AOB 平分线上的向量 为（）

（A） （B）

（C） （D）

设计意图：单位向量的特征是其模长为 1，如果有两个不共线的单位向量 与 相加，结合平行四边形，其中 与 的夹角就很有特色，它正好与其角平分线共线。联系初中的平行四边形的分类，两邻边相等的平行四边形就是菱形，菱形的对角线平分两对角。这就为解决角平分线的问题创造了条件。这个例子虽然简单，但是它反馈的知识却很多，它包含了向量的加法与向量的数乘，有一定的代表性，适合学生在学习新知识的过程中，借助于联系的观点很好地把知识运用到几何图形中去。

事实上把单位向量的应用作为研究对象来源于学生的研究与探索中，是学生的问题提出让教师产生的灵感。在设计问题时注意三个原则：①目标性原则：针对学生实际，针对课堂教学所要构建的知识结构，针对教学目标。②启发性原则：能启发学生深入思考，有利于学生思维的训练，有利于培养学生的科学探究能力；③改变观点的原则：所选问题都是在学生已有的知识基础上，能够改变学生的观点，学有所得。

问题 3：（探究）在 ΔABC 中， P 为一动点，它满足： 问点 P 的轨迹一定经过 ΔABC 的（）

（A）重心（B）内心

（C）外心（D）垂心

设计意图：此题是一道高考题。它的知识背景就是向量的线性运算的几何特征。观察 ，就可以发现与单位向量相加一致，可以肯定与角平分线有关。此题作为学生探究的题具有很好的代表性。其一，此题包含了向量的加法运算、减法运算、向量的数乘运算，内容丰富。其二，它的几何性很强，通过它能很好地说明向量运算的几何意义与初中几何特征的紧密联系。通过运算整理： 则 AP 在∠ BAC 的平分线所在直线上，故点 P 的轨迹一定经过 ΔABC 的内心。

问题提出的依据：①学生认知结构中必须具有同化新知识的相应知识基础（能学）；②学生必须具有获得材料的学习动机（愿学）。问题情境的提出以激发学生好奇心为出发点提问，启发学生进行发散性思维的提问，设定区域范围，引导学生通过观察类比发现问题。在情景创设中教师与学生探讨，学生的元认知水平是影响学生形成问题意识的重要因素。充分发挥教师的示范作用以培养学生问题意识，让学生主动参与教学过程，积极发表独立见解，鼓励标新立异，促使问题意识的自然强化。

问题4：（探究）在 ΔABC 中， M ， N 分别是线段 AB 与 AC 上的点. ，求证： 。

设计理由：向量不仅有大小，而且有方向，那么两个向量通过线性运算后所得向量的大小、方向是什么？它的工具性能够让学生轻松地接受吗？此例子以学生熟悉的相似三角形为背景，通过“探究”引导学生进行实验，使学生形成如下感知“既有大小，又有方向”的向量不仅仅是知识，更是我们借以解释一些数学问题的好工具。另外证明线段平行是初中学生最熟知的知识点，现在的问题是要求学生借助向量这个工具加以认识，学生在证明的过程中就出现了思路不过关的问题。一方面是已知的东西，无法借用；另一方面是对未知的知识体系，不知道从何入手。教学中，应当让学生认真回忆数学中关于三角形相似的知识，并给以适当的操作机会，使学生形成对向量线性运算的充分感知。本题的意图是借助向量的三角形法则来让学生认知熟悉的事物，加深学生理解共线与向量的线性运算是有本质联系的。建立平面几何与向量的联系，用向量来表达问题中所涉及的几何元素，将几何问题转化为向量问题，借助向量的运算来说明几何元素的关系，是本案例的一个亮点。

学生 17：向量线性运算的复习，让我明白运用向量工具的好处。

学生 18：向量的复习教会我自学方法。

学生 19：数学学习中也有联系的观点。

学生 20：数学概念的理解在解题过程中能够重新得到认识。

4.在解决问题的过程中形成概念

探索常规数学问题的问题提出与问题解决的关系，重点放在学生解决问题过程中如何提出新问题来形成概念进行探究。我们对原问题的设置是结构相对较为简单的，不是那种比较复杂的数学问题，因而解决原问题就相对会容易得多，不需要经过复杂的解题过程。此外，提出的问题其数学结构基本相同，解决方法都可以用类似的方法来解决，学生在解决其提出的问题方面存在较小的困难，学生会花费大量的时间来提出新问题，驱动其进行新的探究。这也与研究的问题性质有关。

通过问题的解决来引导问题提出，利用问题提出促使学生掌握概念。概念的学习是实验的核心，解决问题是投石问路的工具，问题提出引导学生悟出概念的内涵。

材料 4：以高考题为例的教学实践

例 1 在 ΔABC 中， a ， b ， c 分别是角 A ， B ， C 所对的边，且满足 a cos B ＝ 3， b sin A ＝ 4，求边长 a .

解：（方法一）因为 所以 a sin B ＝ b sin A .

因为 b sin A ＝ 4，所以 a sin B ＝ 4，又 a cos B ＝ 3，所以 a ＝ 5.

问题 1：用方程的思想来指导，求一个 a 只需列一个方程，列方程的依据是什么？正弦定理的作用是什么？借助换元法，减少变量。

问题 2：此题的背景是什么？

方法二：因为 a c o s B ＝ 3， b s i n A 所以

又 ，所以 ，故 所以 a ＝ 5.

这道高考三角函数题，虽然简洁但不简单，它是在考查正弦定理的同时，考查学生的观察能力。

问题 3：正弦定理及同角三角函数关系作用是什么？指导思想是什么？

例2 若非零向量 满足 则（）

（A） （B）

（C） （D）

解：（方法一） ，两边平方得 ，即

针对A，B选项，由

因为 ，从条件中得不出结论，故A，B选项被排除。 ，所以选C.

问题 4：本题考核的指导思想是什么？它是借助向量认识不等式，那么它们有什么联系？

教师引导：如果单纯以计算的形式，时间太久，不符合出题者的意图。出题者的意图是什么？

解：（方法二）

用几何法。

①如图所示，设 ，则 与 无法判定大小，故排除选项A，B.

② 故△ AEC 为直角三角形，所以 ，因此选C.

实验说明：这道高考选择题，出题新颖，有独到之处。乍一看本题就是考察向量的长度，借助向量的数量积处理等式，在形式上转化为 然后利用此等式，分别来验证四个选项，能很好地考察学生的运算能力及对向量数量积的深刻理解。这里的方法是借助向量的线性运算中的核心内容——加法的三角形法则来处理，收到了很好的效果， 得到等腰三角形，然后画出两种可能情况的图形，很快得出答案。此种解法告诉学生，代数和几何的结合仍旧是高中学生应该牢牢掌握的方法，常用它对于数学思维的培养是非常有益的。

对解题过程和结论的反思，引导学生反思命题的意图，考察的是哪个知识点。问题解决包括对初始问题连续的再阐述，对一个复杂问题的解决过程包括提出一些连续的更精炼的问题——更能体现已知信息与目标之间关系的问题。这一系列问题提出的同时，也将总的解决问题的目标分解为一层一层的次目标，通过逐次对次目标的实现，达到对原问题的最终解决。因为在解决问题的过程中能够让人们提出更多的问题，达到有效的课堂教学气氛，促使学生的思维得到很好的训练。完成一道数学题后，教师还必须引导学生认真进行如下探索：命题的意图是什么？考核哪些方面的知识和能力？验证解题结论是否正确合理？论证过程是否判断有据？本题有无其他解法？哪一种解法最简捷？把本题的解法和结论进一步推广，能否得到更有益的普遍性结论，即举一反三，多题归一？数学知识环环相扣，解题思路灵活多变，解题方法途径繁多，但最终却能殊途同归。即使第一次解答得合理正确，也未必能保证解法是最优最简捷的。教师还应该引导学生进一步反思，探求一题多解、多题归一的问题，从沟通知识、掌握规律、权衡解法优劣等方面来进行总结，使学生的解题能力更胜一筹。学生对新学习的知识需要进行整理、归纳，通过反思，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，进一步理解数学的本质，提高概念的形成能力。

材料 3：集合概念的教学实践

为了强化学生对解题有一个重新的认识，教师单独以集合概念的理解为例，举出五个是集合的例子。

①全体整数为研究对象

②全体实数为研究对象

③天津市第四十五中学 2016 年 9 月入学的所有高一学生为研究对象

④中国古代的四大名著为研究对象

⑤地球上的火山为研究对象

问题 1：上述五个例子用数学语言来说出其共同属性是什么？

问题 2：研究的目的是什么？

问题 3：怎样描述集合，怎样用数学的语言表述集合？

问题 4：列举 2 个例子，借助对比的方法来说明集合的特征。

①中国境内的大桥为研究对象

②五班学生中高个子学生为研究对象

问题 5： A ＝｛1，2，3｝， B ＝｛ x | x ∈ A ｝，求集合 B .

问题 6：怎样用集合表示奇数集合，在表达过程中主要的困难是什么？

问题7： ，求 A 与 B 的关系。

实验说明：问题 1、2 通过问题提出为学生学习集合语言提供了思维空间，集合语言来源于生活，高于生活，是高度的抽象语言。问题 3 用来解决在数学的学习过程中，注意用符号语言来表述抽象的语言。问题 4 通过对比进一步加深对集合定义的了解。问题5、6、7 用来说明形式与内容的统一，也为后面集合的应用做了铺垫。通过问题 7 的解决进一步让学生明确形式与内容的统一问题。此外，在对问题 3 的研究中，我们也进行了一个预研究。从前面的一个预研究中发现，学生提出问题只是由于知识经验和情境的刺激，并没有掌握一些问题提出的策略，这使得他们在解决常规的数学问题后，很难再对问题进行深层次的探索。鉴于此，我们对学生进行了一个针对常规数学问题的“问题提出”训练，如问题 5、7，训练的目的是使学生掌握一些基本的问题提出策略。

学生 21：集合的符号真是动静结合的典范。

学生 22：原先没有注意集合的作用，以为很简单。

学生 23：原先对集合的概念理解不到位。

学生 24：对数形结合认识水平又有提高了。

实验数据统计：

实验结果：

以学生概念生成性教学策略研究为中心，通过问题提出的教学和研究性教学改变了学生的观点，促进了教师教学的创新，多种方法的引导高效率让学生形成概念。课堂的问题提出使学生知识结构发生重组，学生观点的改变很快，概念的形成到位。学生注重数学思想与方法的学习。培养和训练了学生的思维，学生的课堂学习效率有明显的提高。通过数据说明，学生在实验中的表现是可观的。实验的学生不仅仅是观点发生改变，而且对数学的认识也发生了根本性的改变。另外就是学生学习数学的方法也灵活了，学生对数学概念的认识也上了层次。

（三）课后问题提出的教学实践

课后学生的问题提出是学生数学思想的一个升华；课后学生的问题提出是学生调整学习状态，是下一节数学课的开端；课后学生的问题提出是课堂教学的延续。对于教师来说，课后问题的提出并不亚于课堂上的教学。

实验假设：课后问题的提出主要关心反思，注重在数学思想的指导下学生对解题过程与结果的关系的了解。试图改变以往注重习题的重复训练，只注重课堂教学效果等的单一思维模式。引导学生，注重数学史、哲理，倡导用生活说话，让学生明白学习即生活。改变学生的学习态度与学生的学习习惯。

实验目的：课后问题提出弥补课堂教学的不足，课后的问题提出促使教师教学思想在学生的头脑中的渗透，提高学生课堂教学的效果。

实验自变量：学生的反思主要提出 2 个问题：①课堂教学过程中概念是怎样形成的？②过程与结果的关系？

教师的反思主要提出 2 个问题：①课本中材料组织的指导思想是什么？②数学思想是通过什么方式传达给学生？

实验无关变量：学生的作业不能够超出课程标准的要求，学生课外数学学习时间最好不要超过 1.5 小时。

实验因变量：课后问题的提出主要关心反思，从两方面来反思：一方面研究学生的反思的效用；另一方面研究教师的反思，研究教学相长对课堂教学的促进作用。

实验程序：

实验在高一年级第二学期进行，整个实验持续一个月，采用训练—后测的实验设计。因为学校在分班时依据的是中考分数，具有很高的信度。两班没有什么区别。

训练：从开学第一周进入训练阶段。训练共分 8 次课，持续四周，每周两次，每次训练时间为 15 分钟。

后测：见附录小测验。

实验材料与教师的指导：

材料 1：向量的线性运算的知识结构图

材料 1 教师课后问题提出：否定之否定的规律：否定是对事物的质的根本否定，但不是对旧事物的简单抛弃，而是变革和继承相统一的扬弃。事物发展过程中的每一个阶段，都是对前一阶段的否定，同时它自身也被后一阶段再否定。把这种认识的规律运用到我们的学习上是十分有利的。同学们在小学和初中阶段的学习，都是一个模式下的学习，是接受学习，没有多加考虑学习它的意义，即它的思想性，而主要是机械性的演算。这是一种缺乏指导的盲目演算。不是锻炼学生思维的好方法。而它的负面影响就是使学生形成学数学的一种错误模式，数学就是盲目的变形演算，忽略了思想的数学学习是可怕的。全靠记忆学数学也是可怕的。把观念改一改，学生就不会认为数学是枯燥单调的了。而向量的线性运算的核心是向量的加法。那么向量的减法与向量的数乘运算怎样学习得到呢？借助问题的提出，否定之否定，重新组织学习观点，构造思想为后续自己学习做铺垫。

根据教师常规教学活动的内容及教学程序，教学反思一般可分为教学实践活动前的反思、活动中的反思、教学实践活动后的反思。就数学学科而言，其教学活动是一个完整有序、前后衔接、相互联系的有机整体。在教学过程中，教师、学生和教材是通过怎样的教学活动去实现既定的教学目标的？这种教学活动是否适合学生的兴趣能力，教学效果是否实现了教学目标？只有通过教学后的反思、课后问题的提出才能够描述现状，分析优劣，指出改进的方向。通过对学生反馈的信息做科学的分析与判断，以问题提出为技术手段，实际就是对教学进行规律性探索的一次尝试，通过教学实践、教学反思、问题提出、教学实践，这样反复的实践和探索，促使教师进行自我反省，注意积累成功的教学经验，吸取失败的教训，及时改进教学中存在的问题，对症下药，弥补不足，这样，日积月累，可以增强自己的教材处理能力和应变能力，提高驾驭课堂的能力，促进业务水平的提高。课后问题提出有助于在教学中及时对教案进行修正补充，扬长避短，提高教学效率，客观决定主观，主观必须符合客观。课后教学反思毕竟属于主观的东西，要使课后教学反思有实用价值，必须如实地反映教学的客观性，用问题提出的形式弥补不足方面。

一节教学效果好的课，必定在教学的总体设计上把握了教学目标、学生的学情，体现了思维的坡度，调动了学生的积极性，有着可取之处。在课后反思中，教师首先就要肯定自己的教学设计并进一步思考其在达成知识与技能、过程与方法、情感态度价值观的三维目标上的效果，据此总结这个设计成功在哪里，还有哪些可以改进的地方。课堂上师生情感和智慧碰撞出的“奇思妙想，奇问妙答”往往蕴含着创新的火花，成为课堂上闪光的瞬间。在课后反思中，教师不仅要把自己形象贴切的比喻、引人入胜的导入语、留有悬念的结束语、激发学生思维的提问、恰到好处的微笑记录下来，更应将自己如何及时捕捉学生反馈的信息加以重组，并趁机以问题提出引发学生思考，进而开展讨论进行细致的整理。这样积累的宝贵素材，既记录了教师与学生真实而生动的课堂生活，又拓宽了教师的教学思路，有助于提高教学水平、挖掘教学潜能。教学是一门遗憾的艺术，每一堂课下来，都会有许多不尽如人意的地方。把这些课堂教学过程中的“败笔”，失败的演示实验、处理不当的教学重点和难点、安排不妥的教学内容、难易欠妥的习题配置、由于某种原因挫伤了学生学习的积极性等记录下来，并对这些原因进行探究和剖析，想一想，是教学思想上的问题，还是知识积累上不足，或是对学生认识上的偏颇，都要认真分析，通过问题提出使之成为以后教学中应吸取的教训。

材料 2：师生探究数学归纳法

材料 2 教师课后的问题提出：为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨。学生的思维参与往往是从问题开始的，本节课按照思维次序编排了一系列问题，让学生投入到思维活动中来，把本节课的研究内容置于问题之中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得知识体系的更新与拓展。如运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可。理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明 n ＝ k ＋ 1 命题成立时必须要用到 n ＝ k ，（ n ∈z ^∗ ）时命题成立这个条件。这些内容都将放在下一课时完成，这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向。

从现代系统理论角度分析，学习活动是一个极其复杂的系统。在此系统中存在着许多相互联系、相互作用的因素。如学习风格、学习策略、情绪状态、学习任务、动机水平、学习时间、教师、同学、父母社会文化背景等。任何学习活动都是在以上诸因素的交互作用与共同影响下产生、进行、完成的。其进行和完成的效率高低、效果好坏直接取决于这些因素能否合理、有效、协调发挥积极作用，从而使学习活动得以顺利进行，取得最佳学习效果。这也是教学生学会学习的主要教学目标。要达到这一目标，就需要学生对自己的学习活动具有自我监控的能力。而教师往往只注重课堂的教学效果，忽视了课后的追踪效用，从而影响课堂的教学效果。这种现象主要表现在学生的态度方面。研究表明，在态度方面，自我效能感通过身心反应过程，影响个体在困难面前的态度而反作用于自我监控能力的发展。

自我效能理论认为，自我效能感决定了个体的应激状态、焦虑反应、抑郁程度等身心反应过程。由此，又会通过思维过程影响个体行为及其功能发挥。如果个体认为自己能对环境中的潜在威胁施以有效控制，他就不会在应付事件之前焦虑和恐慌。若相反，则个体的焦虑水平就会被唤起，并采取保护性的退缩行为，被动应付。低自我效能感的学生在学习活动中就会采取消极方式，不愿对自己的行为进行自我监控，并表现出对自己的学习行为予以调节监控的意识和行为的缺乏。这一点在帕里斯的研究中也可得到证实：自我效能感与学生的组织、评价、计划目标设置等自我监控能力有显著正相关。 因此课后的问题提出能促使学生自我效能感的提高，为课堂教学的效果做好铺垫。

实验测试的具体数据统计：

为了获得比较令人信服的数据，课后组织一次小测验，来具体说明课后问题提出对数学学习的影响。具体数据统计如下：

实验结果：

第一题：求二次函数 f （ x ）＝ x ² －2 x 在 x ∈R上的值域.这是基础题，对于初中生来说已经很熟悉。由于学生的基本功不扎实，运算不准确，导致出错。对比知道，实验的学生注重数形结合，数学的理性加强，不想当然，学生课后注重过程与结果的关系。

第二题与第三题：对比第一题，显然是对高中定义域的一个认识，研究函数图像的作用，看清研究的对象，不是整体，而是部分。实验班的学生大部分能准确识别，具备较好的数学思想。数学思想是通过什么方式传达给学生的呢？课堂上教师已经做了说明，课后学生的反思，问题提出的作用也在此体现出来。

第四题：求二次函数 f （ x ）＝ x ² －2 x 在 x ∈ [－4，4]上的值域.对照班的学生有一半的学生直接用并集的方法，忽略了函数图像的作用。实验班的学生就能准确地运用图像解决，说明实验班的学生理性思考较强，这也说明问题提出对学生观点的改变有影响。

第五、六、七题：上述四个题的对比与分析，目的是为做第五、六、七题服务。与前四题对比发现，题目的主要矛盾是定义域的变化。那么变化中的规律是什么？引起分类的原因是什么？实验班的学生能很好地做出解答。这也是课后学生做了充分准备的一个具体表现。

课后问题提出弥补了课堂教学的不足，课后反思，贵在及时，贵在坚持，贵在执着地追求。一有所得，及时记下，有话则长，无话则短，以记促思，以思促教，长期积累，必有“集腋成裘、聚沙成塔”的收获。教学是一项“没有最好、只有更好”的工作，课后的问题提出是教师教学思想在学生中的一个渗透。

通过比较，说明实验取得了效果，学生的成绩是一个很好的证明。现在注重数学思想指导下学生对解题过程与结果的关系的了解。以往注重习题的重复训练，现在注重问题的提出与习题的构造关系。以往只注重课堂教学效果，现在不仅注重课堂效果也注重课后的追踪效果（可持续性）。以往注重把知识灌输给学生，现在注重引导学生，注重数学史、哲理，倡导用生活说话，引导学生明白学习即生活。重要的是改变了学生的学习态度，学习的方法加强，学生的学习习惯比先前要好。 oLatZumQF1eQQkeNr7WbpSwXJN+rhsKmWQqzqnsk8FiMJ+gd3Wo86uR6ChCnDqDO