三、高中数学问题提出研究的方法

（一）研究的方法

教师在课堂上教学效率低，原因分析如下：第一，数学知识的具体与抽象之间的脱节。学生在书本上学到的都是简洁的、抽象的数学定理或形式化的表达式，而学生在生活中遇到的现实问题及一般化的问题等有时很难与课本知识联系起来。第二，学习的迁移带有盲从性。由于初中的学习是较简单的一种迁移学习，迁移的过程附加的条件比较少，同时学生的数学抽象能力差，有张冠李戴的学习习惯，这为教师的高效教学带来不少的阻力。第三，由具体的数字到字母角色的转变缺少衔接的桥梁。而这座桥梁的建立是初中到高中的必经之路，如果缺少这座桥梁，高中的学习效率是低下的。第四，有限与无限的认识不够。学生对数学的理性认识源于有限与无限的认知，在学习中二者的混淆是数学观点混乱的表现。第五，数学概念的理解不够深刻，对语言的作用认识欠缺。第六，定理、公式推证的过程就蕴含着重要的解题方法和规律，教师没有充分暴露思维过程，没有发掘其内在的规律，就让学生去做题，试图通过让学生大量地做题去“悟”出某些道理，结果是多数学生“悟”不出方法、规律，理解浮浅，记忆不牢，只会机械地模仿，思维水平较低，有时甚至生搬硬套，照葫芦画瓢，将简单问题复杂化。

高中数学问题提出教学研究主要分三个阶段：

第一阶段：主要是分析初中学生刚进入高中，学习数学的方法与思想需要改变，此时，学生想当然的情况较多，学习的积极性较高，适宜课前与学生交流。以课前问题提出为总的指导方针，分析课前问题提出对课堂高效教学的影响的操作利于实验。以皮亚杰的发展理论为指导思想改变学生的观点，改善学生的学习习惯，把想当然的坏习惯去掉。课前的问题提出以如下 6 个问题为中心来展开：①下节课内容的总体构思是什么？（从对比的方式来说明数学内容的特点，还是从具体事实中发现共同的特征，等等）②下节课对你来说主要矛盾是什么？③你想怎样解决矛盾？④与你的观点发生冲突的原因是什么？⑤你学习数学的操作工具是什么？⑥课堂上我应该关注的对象是什么，我的不足之处是什么？

第二阶段：主要是课堂中问题提出的探究，在课前问题提出的有利条件下，学生已经具备一定的数学思想与方法，探讨课堂问题提出成为可能，教师采取问题提出的教学形式，以多种方式来促进学生的课堂学习效率。课堂的问题提出主要是教师，教师提问依据建构主义理论，以学生知识结构的重组，概念的形成为主导思想，在问题提出的过程中强化学生观点的改变，强调数学思想与方法的重要性，学习要涉及深层意义。

具体研究分两部分：新课的讲授与习题课的讲解。

新课的讲授主要提出 5 个问题：①本节课的矛盾冲突是怎样形成的？（或者说引起矛盾冲突的主要原因是什么？）②课本中用什么方法层层递进来解决矛盾的？③课本中具体用到的数学工具是什么？④知识结构是怎样重组的？⑤数形结合是怎样来说明问题特征的？

习题课的讲解主要提出 4 个问题：①解决问题的指导思想是什么？②知识的迁移？③形式的变化，采取的措施是什么？④条件的作用是什么？

第三阶段：课后问题提出主要关心反思，从两方面来反思：一方面研究学生的反思的效用；另一方面研究教师的反思，研究教学相长对课堂教学的促进作用。

学生的反思主要提出 2 个问题：①课堂教学过程中概念是怎样形成的？②过程与结果的关系？

教师的反思主要提出 2 个问题：①课本中材料组织的指导思想是什么？②数学思想通过什么方式传达给学生？

研究对象的选择：

研究对象：高中一年级的学生为研究对象，研究选择在天津市河东区区属市重点中学四十五中学进行，主要是考虑到四十五中学是河东区比较有代表性的学校，生源中有很大部分学生是市内优秀生，还有一部分是中等学生，在研究过程中，学生的选择具有一定的代表性。对象特选天津市第四十五中学高一（1）班为实验班，高一（4）班为对照班，共 88 名学生。学校分班以中考的分数为标准，按名次先编号，取奇数分到高一（1）班，偶数分到高一（4）班，每班44 名，一位数学教师同时教这两班。

研究方法的选择：

考查的主要问题是“问题提出对提高课堂教学效率的影响”，如何选择研究方法，对研究对象的深入挖掘是至关重要的。研究中先用问卷调查了解学生对数学所持的观点，然后在问卷调查的结论指引下，通过实证研究、访谈、小测验来说明学生观点的改变源于问题的提出。

（二）问卷调查

问题提出的教学有一定的结构、任务、目的和解决的过程，而问题提出是最有效的认知策略之一。问题提出可以激励学生对他们自己真正想知道的内容去寻求问题的答案。教师事先计划和安排学生学习的任务，学生在课前以问题提出的形式展开探究，在此基础上教师在课堂上的问题提出是对学生课前学习活动的监察、评价和反馈；课后的问题提出是学生对自己的学习活动进行调节、修正及整个认知活动进行总结和反思。基于上述考虑，拟定问卷调查，为后续的实证研究做好准备。

1.调查目的

课堂教学效率是一个多因素结构，问题提出是否直接关系师生间思维互动、情感互动，提高课堂教学效率？本研究的目的就在于通过问卷了解问题提出对课堂教学效果的影响原因。

2.调查的假设

高中生学习效率与教师课堂教学效率源于学生有问问题的习惯。课堂上仅仅依赖教师的提问，学生的学习是被动的，学生只是在教师画的圈子里思考，思维得不到锻炼。如果在课前问题提出上加强培养，提出新的问题，从新的角度去看问题，学生会在很多情况下有独立的思考空间，从而提出与众不同的问题，通过对问题多层次的认识，逐步达到理解的程度。通过问题这种载体，让学生慢慢体会数学思想的重要性。

3.调查对象

本研究选择在天津市河东区区属市重点中学四十五中学进行，主要是考虑到四十五中学是河东区比较有代表性的学校，生源中有很部分学生是市内优秀生，还有一部分是中等学生，在研究过程中，学生的选择具有一定的代表性。调查的对象特选天津市第四十五中学高一（1）班与高一（4）班，共 88 名学生。

4.技术与手段

全部调查结束后，对问卷调查的结果用SPSS11.5 进行数据的录入和处理，进行统计，利用主成分分析与因子分析法。

5.问卷调查的编制

问卷的具体内容设计参阅唐剑岚、周莹、汤服成关于“数学问题解决中的元认知问卷量表的设计”使用的调查问卷。通过重测信度、同质信度和因素分析的结果表明该问卷有良好的信度和效度。具体步骤如下：

（1）进行深入的理论探讨，建构问题提出的调查问卷的理论框架；

（2）在被试所在的高中二个班级通过师生座谈和向部分学生发放开放式阅卷，了解影响高中生数学课堂教学效率的主要方面，结合数学学科的学习特点，还参考了部分数学教育专家、几位数学课程与教学论专业研究生和中学数学教师的意见，初步编制了问卷，并选取部分学生进行小样本首次试测；

（3）在此基础上，修订调查问卷。通过这个过程发现了问卷中的一些问题，如：有些问题的问法欠妥；有些问题的选项设置不合理，容易造成多选。针对这些问题，对问卷进行了多处修改，并将修改稿征求了部分数学教育专家、几位数学课程与教学论专业研究生和中学数学教师的意见，又针对这些意见再次进行了修改，确定了影响高中数学问题提出的教学高效的三个方面：观点的改变，数学概念的形成，好习惯的培养。并通过查阅文献，进行归纳、整理形成考察每个方面的具体项目，确定调查问卷。重新选取部分学生（与上面被试不重复）对试编问卷进行了小样本再次试测；

（4）运用SPSS统计软件对问卷进行测量学分析，进一步修订问卷项目。

（三）结果分析

对被试数据进行主成分分析与因子分析，说明数据适合进行因素分析。我们选择了提取公因子的方法为主成分法，因此输出中的因子即主成分。表1是六个主成分方差百分比，表2 是初始因子载荷阵。

从表1 看出前 6 个因子可以解释总方差的近 53％，符合我们研究的具体情况，使我们研究的对象更加明确、清晰。为我们研究结论提供科学的数据依据。表2 是提取的 6 个因子的因子矩阵，它体现了交叉点对应的因子（列）在对应变量（行）的影响程度。表3 是直观地看出前 6 个特征值间的变差很大，从图中可以看出取前 6 个因子是正确的。统计的结果分析，其中A18、A19、A7是因子 1 的主成分占的比重最大，调查显示学生课前问题提出后，学习数学的兴趣浓厚。课外问题提出对课堂是否有影响，极少数的学生因对数学的正确认识不够引起的兴趣缺乏，也有因为长期的误导使学生害怕数学，让学生认为数学空洞。选项A1、A2、A13 是因子 2 的主成分占的比重最大，反映学生问题提出对思维品质的训练是目前学习过程中最好的形式。问题提出和研究性教学方法改变学生的观点。选项A18 可以说，学生有许多问题急待教师提供合情合理的方式去挖掘，让教师与学生更好地去交流，这如有了问题的源头之水，何愁学生提不出新鲜问题呢。课堂教学效率是一个多因素结构，而课前问题提出直接关系师生间思维互动、情感互动。具体的结论如下：

（1）课前问题提出对学生数学观点有影响

问卷调查显示，其中第 7 项：如果课前不与同学交流数学问题，上数学课时，就觉得比平时容易紧张或着急，在第 1 成分中占 68.9％；第 12 项：我习惯课前预习，在第 1 成分中占 55.1％。说明问题提出的多少，本质上反映学生学习的状态。问题提出的越多证明学生对问题的重视程度越高，对问题的思考就深刻，理解数学的概念、方法、思想就达到一定的水平，认识数学的层次上了一个阶梯。我们说，学数学，正常的听讲、训练、完成作业，只是反映一个学生足够用功，但从心理学上讲可能并没有用心，即心智没有达到一定水平，也就是元认知水平没有提高。只是人云亦云，鹦鹉学舌，照猫画虎而已。如果学生问题问得多，就反映学生在思考，对教师的教和自己的学做一个新的认识，教与学真正统一时，学生的心理状态犹如吃了人参果，全身心的爽，否则，总认为学的东西与实际有冲突，究其原因，思考得过少，盲目认可教师的教，忽略了批判的眼光，形成教条主义。

问题提出的数量客观上说明学生有表达自己较为成熟的观点，这也是学生的数学概念形成的必备条件。

（2）课前问题提出对提高课堂教学效率的影响

问卷调查显示，课前的问题提出对学生的课堂学习起到很好的调节作用。选项 1：课前不预习，上数学课时，我觉得心里空荡荡的，占第 2 成分的 62.3％；选项 2：如果数学概念课下没有问明白，数学课上我就紧张，占第 2 成分的57.6％。这些数据清楚地说明课前的问题提出对课堂教学有很大的促进作用。课前问题提出的过程从性质上来说具有元认知的一些特征，比如对控制的执行、对理解的监控，以及自我测试等。课前提问的训练可以帮助学生对数学理解进行积极的监控，并更好地对所阅读的材料进行理解，而且，课前提问训练在帮助学生解决问题以及发展高级思维技能等方面所取得的成功，从根本上来说是由于其提问策略的元认知方面所起的作用。个体所学到的就是一连串刺激。每个刺激都是经由盲目的尝试与错误的渐进过程，由开始的错误反应多于正确反应到最后的全部为正确反应的结果。在课前的问题提出中，影响刺激与反应间的关系建立。个体在某种刺激情况中学习的刺激与反应的联结，将有助于其他类似情况中学习新的刺激与反应的联结。选项 27：课后总结学数学的经验，在第 2 成分中占 57.3％，明确说明课前问题提出的重要性，也进一步说明课堂教学的效果来源于——课前的大量准备。

（3）学生观点的改变对学生课堂学习效率有影响

调查过程中发现学生的学习观点的改变是提高课堂学习效率的关键，选项 10：我做数学题时总用初中的一些方法，在统计中约占 50％的学生选择此项。从这个角度说明，学生学习主体性的体现，并不是学生在形式上和表面化地参与活动，而是内在积极主动地参与活动。因此课堂教学中学生参与活动的程度是体现学生主体地位的重要标志。数学课堂教学应变“教师教数学”为“学生学数学”的过程，就必须从本质上提高学生参与程度。为了凸现学生的主体地位，充分发挥学生的主体作用，促进学生学习能力的发展，对学生参与课堂活动的程度、提高数学课堂教学效率进行了研究尝试，课前的问题提出是目前的最佳选择。“在课堂上被学生问得瞠目结舌的教师”“师生为一个问题争得面红耳赤、互不相让”这样的情景只有在学生观点的改变下，将来才能成为现实。“满堂问”真正出现在师生之间，而不再是教师问学生答了。学生观点的改变包括学习中借助问题提出明白是非，看见任何事物都是好奇的眼神，充满了探求的欲望。

（4）学生元认知水平的高低影响学生课堂学习效率

问卷调查显示：在人的认知过程中，除了有指向客体的认知外，还有一个以自身认知为对象的认知过程，即一个二级认知，这就是元认知。选项 21：课前的探究学习对我的课堂学习很有帮助，统计中约有 32.7％的学生选择。选项 29：根据不同的学习任务选择不同的学习方法，大约有 48.4％的学生选择。而选项 30：认为多做数学练习题是学好数学的唯一途径，也占有 44％。提出问题的策略是元认知在认知策略方面的知识。首先，质疑一般在新旧知识的衔接处，教学内容的重点难点处，概念的形成过程中，解题思路的分析及推理过程中，动手操作的实践中。我们可以正面质疑，也可以从反面或侧面提问。其次，利用合情推理提出问题。合情推理主要包括归纳推理、拓广推理、似然推理、类比推理、逆向推理、统计推理。通过对一个情境或给定的问题寻求结论、探求条件、改变结论、改变条件、隐藏条件、隐藏结论、寻求关系、改变关系、转化问题、分解问题等从而提出新的问题。希尔弗称为“挑战已知”是产生问题的一种重要方法，这方法与布朗沃尔特的“否定假设法”异曲同工。 YR7Q8S7g6AEZIoMdgFxJ+7c6ML0eRn3alVnD6Rul/KmvVRf3SewWujNWJBc/+FZr