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函数概念的要点，一是自变量和因变量，二是因变量与自变量之间的关系。用函数思想解决问题，首先要明确自变量和因变量，然后建立自变量与因变量之间的关系，再用这种关系分析解决问题。
例1 如图2-3所示，脉冲阀P喷出微量氖气Ne，经激光照射产生不同价位的正离子，经a，b间的电场加速后，沿中线方向进入M，N板间的匀强磁场区，磁感应强度B＝0.2T。M板为荧光屏，M板的长度和M，N板之间的距离均为L＝0.1m。已知离子进入a板的速度可以忽略，元电荷e与氖原子的质量m之比e／m＝4.8×10 6 C／kg，氖原子的电子排布式为1s 2 2s 2 2p 6 ，在激光照射下，只有p态的电子会脱离原子核的束缚。求加速电压U＝200V时，荧光屏上有几个发光点。
图 2-3
解析 相关因素分析。 受激光照射产生的氖离子的电荷量为ne（n＝1，2，…，6）。离子的电荷量不同，经静电场加速后的速度v就不同，进入磁场中做圆周运动的半径r也不同，即r与n之间存在着函数关系。
图 2-4
自变量与因变量。 如图2-4所示，离子打在荧光屏上的条件是
以n为自变量，r为因变量，求得r随n变化的函数式，结合①，就可以求得n的范围，确定荧光屏上有几个发光点。
建立函数式。 由动能定理、牛顿第二定律列出如下两个方程
结合条件求得结果。 由几何知识求出r 1 ＝0.25cm，r 2 ＝12.5cm。由①④解出
而n＝1，2，…，6，所以荧光屏上有三个发光点，对应n＝1，2，3。
例2 做匀速圆周运动的向心加速度公式有
从①看，向心加速度与半径成反比，从②看，向心加速度与半径成正比，这两个结论是否矛盾？从①看，向心加速度与速度的平方成正比，从③看，向心加速度与速度成正比，这两个结论是否矛盾？
解析 我们利用一个具体的例子回答上述问题。
如图2-5所示的装置，A，B两点分别位于大、小轮的边缘上，C点位于大轮半径的中点，大轮半径是小轮半径的2倍，它们之间靠摩擦传动，接触面不打滑。
图 2-5
对于A，B两点，它们的线速度相等，由①知道它们的向心加速度a与半径r成反比。但对于A，B两点，因为做圆周运动的半径r不同，它们的角速度ω也随之不同，即ω是半径r的函数，所以①和②不存在矛盾。
对于图2-5中的A，C两点，它们的角速度ω相同，由②可以得到a与r成正比的结论。但这时A，C两点因为r不同而v不同，即v是r的函数，所以①中a并不与r成反比。在这里，①和②也不存在矛盾。
对于图2-5中的B，C两点，它们的半径r相同，由①得到a与v的平方成正比。但这时B，C两点因为v不同而ω也不同，即ω是v的函数，所以③中a并不与v成正比。我们也不会从①和③得出矛盾的结论。
说明 物理现象往往涉及两个以上的变量，各个变量之间存在着复杂的联系。如某个现象中涉及变量y，x 1 ，x 2 ，而y可以表示成x 1 ，x 2 的函数，即y＝f（x 1 ，x 2 ），当我们用这个函数式讨论y与x 1 的关系时，一定要注意x 2 是不是x 1 的函数。若x 2 是x 1 的函数，即x 2 ＝x 2 （x 1 ），那么我们就不能直接用y＝f（x 1 ，x 2 ）讨论y与x 1 的关系，而应该将x 2 ＝x 2 （x 1 ）代入y＝f（x 1 ，x 2 ），得到y只是关于x 1 的函数式y＝f 1 （x 1 ），再来讨论它们的关系。
函数分析要遵循有序性原则，即要从某个已知状态开始，分析自变量逐渐变大或变小时因变量的变化情况。（另见“第四讲分类讨论思想方法”4.3节）
例3 如图2-6所示，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里。许多质量为m、电荷量为＋q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域。不计重力，不计粒子间的相互影响。试作出有带电粒子经过的区域形状。
图 2-6
解析
不同粒子在磁场中运动的半径相同，都为R＝
。不同粒子的入射方向不同，在磁场中运动轨迹的空间位置也不同，即粒子在磁场中经过的空间位置是入射方向的函数。
当粒子入射的速度水平向右时，它的轨迹如图2-7中的1（起始状态），然后观察粒子入射速度的方向逐渐逆时针转（有序变化），它的轨迹依次是图2-7中的2、3等。有粒子经过的区域，在OO′右侧的边界是轨迹1，在OO′左侧的边界是以O点为圆心、2R为半径的四分之一圆弧，如图2-8所示。
图 2-7
图 2-8
例4 如图2-9所示，用透明材料做成的半径为R的半球，底面贴有半径等于r的发光圆盘，半球的球心与圆盘的圆心同为O点。透明材料的折射率为n。发光圆盘上的每一点能向各个方向发射光线。为了使发光圆盘发出的所有光线都不在半球面上发生全反射，R与r应满足什么条件？
图 2-9
图 2-10
解析 如图2-10所示，对于半球面上的某一点P，从发光圆盘边缘上射来的光线入射角α最大。
不难看出，让P点从半球面的左端点A（起始点）开始不断移到右端点B（有序变化），α先变大后变小，P点在某个位置，α有一个最大值α
max
。只要α
max
小于光从透明材料射向空气的临界角
，发光圆盘发出的所有光线都不会在半球面上发生全反射。
设OP与发光圆盘的夹角为θ，由正弦定理有
为了求α的最大值，通常的做法是先求出α关于θ的函数式α＝f（θ），然后求极值。但是我们较难将上式中的α与θ分离，至此求解陷入困难。我们可以换一个角度，将（α＋θ）看成一个变量，或者说，以图2-10中的β角为自变量，即可得到
说明 当以某一自变量建立的函数关系在分析中遇到困难时，可以尝试选择其他自变量建立函数关系进行研究。
图像既是函数的重要表达方式之一，也是进行函数分析的重要工具。对于较为复杂的问题，应该善于利用图像，以能对问题做出直观的分析。
例5 如图2-11所示，在水平的光滑平板上的O点固定一根原长为l 0 、劲度系数为k的轻弹簧，弹簧的自由端连接一个质量为m的小球。将平板以O为转轴逆时针缓慢转动，直至平板到竖直位置，若弹簧始终处在弹性限度内，则此过程中（）
图 2-11
A.小球的高度不断变大
B.m足够大时，能使小球的高度先变大后变小
C.l 0 足够大时，能使小球的高度先变大后变小
D.k足够大时，能使小球的高度先变大后变小
解析 由于平板缓慢转动，平板在任一位置时小球都可以看作处于平衡状态。如图2-12所示，设平板与水平面的夹角为θ时，小球的高度为h。显然，h与θ，m，l 0 ，k都有关系。
图 2-12
由平衡条件有 mgsinθ＝kx
小球对于初始位置的高度 h＝(l 0 -x)sinθ
由以上两式解得
在m，k，l 0 一定的情况下，h是sinθ的二次函数。当
h有最大值。
h随sinθ的变化分两种情况。若m足够大，或者l
0
，k足够小，使得
＜1，h随着sinθ的变化情况如图2-13所示，平板逆时针转过90°，sinθ从0增大到1，高度h先变大后变小。若
≥1，h随着sinθ的变化情况如图2-14所示，随着sinθ从0增大到1，高度h一直变大。B选项正确，其他选项都错误。
图 2-13
图 2-14
方程思想与函数思想是紧密联系的，有些问题既可以用解方程的方法求解，也可以用函数分析的方法求解，很多时候，要综合运用这两种方法才能解决问题。
例6 如图2-15所示，一截面呈圆形内壁光滑的细管被弯成一个半径为R的大圆环，并固定在竖直平面内。在管内的底部A处静止一个质量为m、直径比管略小的小球，小球上连有一根穿过位于环顶B处管口的轻绳，恒力F通过轻绳拉动小球，使它运动到B点。求需要拉力F的最小值。
图 2-15
图 2-16
解析 如图2-16所示，小球刚开始运动阶段，细绳的拉力大于小球的重力沿管道切线方向的分力，小球做加速运动；到某个位置C时，拉力等于重力分力，小球速度最大；随后拉力小于重力分力，小球做减速运动；到某个位置D，拉力又等于重力分力，小球的速度达到最小；从D运动到B，小球做加速运动。小球在A，B之间，经过D时速度最小。只要小球通过了D点，就能运动到B点。
设在最小拉力F min 作用下，小球运动到D点的速度刚好为零，OD与OA之间的夹角为θ，由动能定理有
图2-17中作出了函数y
1
＝θ和函数y
2
＝tan
在y-θ坐标系中的图像，两图像交点的横坐标就是方程③的解。由图读出方程③的解约为θ＝134°。
图 2-17
在134°附近，通过进一步的数值计算，得到更为精确的解为θ＝133.556°。将此值代入②求得
说明 本题是综合运用函数的解析法和图像法解决问题的范例。
针对练习
1.如图2-18所示的电路，求出电流表A 1 的读数I 1 随变阻器的电阻R 1 变化的函数式，并据此判断变阻器滑动触头向上滑动时，电流表A 1 的读数如何变化。
图 2-18
2.如图2-19所示，两块平板玻璃之间有一层薄空气膜，空气膜的上、下表面平行。波长在0.4μm～0.75μm的可见光垂直射向空气膜，在上、下表面反射的光叠加而发生干涉。其中只有两个波长的光干涉加强，其一是λ＝0.4μm的紫光。求空气膜的厚度。
3.如图2-20所示，要从坐标原点O发射炮弹击中空中坐标为（x 0 ，y 0 ）的目标，炮弹的初速度v 0 必须满足什么条件？不计炮弹受到的空气阻力，重力加速度为g。
图 2-19
图 2-20
答案 提示 简解
1.
；R
1
减小，I
1
增大。
2.设光的波长为λ，光在空气膜下表面反射时有半波损失，所以从空气膜下、上表面反射的光的光程差为
。它们叠加干涉加强的条件是
＝kλ，即
设波长为4×10 -7 m的紫光对应某个k值，那么由已知，对应（k-1）的光波长小于7.5×10 -7 m，对应（k-2）的光波长大于7.5×10 -7 m。即有
解出2.64＜k＜4.78。所以k可取两个值，即k 1 ＝3，k 2 ＝4。求得对应的空气膜的厚度d 1 ＝5×10 -7 m，d 2 ＝7×10 -7 m。
3.从坐标原点发射的炮弹击中坐标为（x 0 ，y 0 ）的目标，由斜抛运动规律可以得到炮弹的初速度和发射角之间的函数式是
令X＝x
0
tanθ-y
0
，上式化为
。当X＝
时，
最小，v
0
的最小值
炮弹要击中目标，初速度必须大于v
0min
。