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5 例题分析

5.1 函数概念

函数概念的要点,一是自变量和因变量,二是因变量与自变量之间的关系。用函数思想解决问题,首先要明确自变量和因变量,然后建立自变量与因变量之间的关系,再用这种关系分析解决问题。

例1 如图2-3所示,脉冲阀P喷出微量氖气Ne,经激光照射产生不同价位的正离子,经a,b间的电场加速后,沿中线方向进入M,N板间的匀强磁场区,磁感应强度B=0.2T。M板为荧光屏,M板的长度和M,N板之间的距离均为L=0.1m。已知离子进入a板的速度可以忽略,元电荷e与氖原子的质量m之比e/m=4.8×10 6 C/kg,氖原子的电子排布式为1s 2 2s 2 2p 6 ,在激光照射下,只有p态的电子会脱离原子核的束缚。求加速电压U=200V时,荧光屏上有几个发光点。

图 2-3

解析 相关因素分析。 受激光照射产生的氖离子的电荷量为ne(n=1,2,…,6)。离子的电荷量不同,经静电场加速后的速度v就不同,进入磁场中做圆周运动的半径r也不同,即r与n之间存在着函数关系。

图 2-4

自变量与因变量。 如图2-4所示,离子打在荧光屏上的条件是

以n为自变量,r为因变量,求得r随n变化的函数式,结合①,就可以求得n的范围,确定荧光屏上有几个发光点。

建立函数式。 由动能定理、牛顿第二定律列出如下两个方程

结合条件求得结果。 由几何知识求出r 1 =0.25cm,r 2 =12.5cm。由①④解出

而n=1,2,…,6,所以荧光屏上有三个发光点,对应n=1,2,3。

例2 做匀速圆周运动的向心加速度公式有

从①看,向心加速度与半径成反比,从②看,向心加速度与半径成正比,这两个结论是否矛盾?从①看,向心加速度与速度的平方成正比,从③看,向心加速度与速度成正比,这两个结论是否矛盾?

解析 我们利用一个具体的例子回答上述问题。

如图2-5所示的装置,A,B两点分别位于大、小轮的边缘上,C点位于大轮半径的中点,大轮半径是小轮半径的2倍,它们之间靠摩擦传动,接触面不打滑。

图 2-5

对于A,B两点,它们的线速度相等,由①知道它们的向心加速度a与半径r成反比。但对于A,B两点,因为做圆周运动的半径r不同,它们的角速度ω也随之不同,即ω是半径r的函数,所以①和②不存在矛盾。

对于图2-5中的A,C两点,它们的角速度ω相同,由②可以得到a与r成正比的结论。但这时A,C两点因为r不同而v不同,即v是r的函数,所以①中a并不与r成反比。在这里,①和②也不存在矛盾。

对于图2-5中的B,C两点,它们的半径r相同,由①得到a与v的平方成正比。但这时B,C两点因为v不同而ω也不同,即ω是v的函数,所以③中a并不与v成正比。我们也不会从①和③得出矛盾的结论。

说明 物理现象往往涉及两个以上的变量,各个变量之间存在着复杂的联系。如某个现象中涉及变量y,x 1 ,x 2 ,而y可以表示成x 1 ,x 2 的函数,即y=f(x 1 ,x 2 ),当我们用这个函数式讨论y与x 1 的关系时,一定要注意x 2 是不是x 1 的函数。若x 2 是x 1 的函数,即x 2 =x 2 (x 1 ),那么我们就不能直接用y=f(x 1 ,x 2 )讨论y与x 1 的关系,而应该将x 2 =x 2 (x 1 )代入y=f(x 1 ,x 2 ),得到y只是关于x 1 的函数式y=f 1 (x 1 ),再来讨论它们的关系。

5.2 有序分析函数

函数分析要遵循有序性原则,即要从某个已知状态开始,分析自变量逐渐变大或变小时因变量的变化情况。(另见“第四讲分类讨论思想方法”4.3节)

例3 如图2-6所示,在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场,磁感应强度的大小为B,磁场方向垂直于纸面向里。许多质量为m、电荷量为+q的粒子,以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向,由小孔O射入磁场区域。不计重力,不计粒子间的相互影响。试作出有带电粒子经过的区域形状。

图 2-6

解析 不同粒子在磁场中运动的半径相同,都为R= 。不同粒子的入射方向不同,在磁场中运动轨迹的空间位置也不同,即粒子在磁场中经过的空间位置是入射方向的函数。

当粒子入射的速度水平向右时,它的轨迹如图2-7中的1(起始状态),然后观察粒子入射速度的方向逐渐逆时针转(有序变化),它的轨迹依次是图2-7中的2、3等。有粒子经过的区域,在OO′右侧的边界是轨迹1,在OO′左侧的边界是以O点为圆心、2R为半径的四分之一圆弧,如图2-8所示。

图 2-7

图 2-8

例4 如图2-9所示,用透明材料做成的半径为R的半球,底面贴有半径等于r的发光圆盘,半球的球心与圆盘的圆心同为O点。透明材料的折射率为n。发光圆盘上的每一点能向各个方向发射光线。为了使发光圆盘发出的所有光线都不在半球面上发生全反射,R与r应满足什么条件?

图 2-9

图 2-10

解析 如图2-10所示,对于半球面上的某一点P,从发光圆盘边缘上射来的光线入射角α最大。

不难看出,让P点从半球面的左端点A(起始点)开始不断移到右端点B(有序变化),α先变大后变小,P点在某个位置,α有一个最大值α max 。只要α max 小于光从透明材料射向空气的临界角 ,发光圆盘发出的所有光线都不会在半球面上发生全反射。

设OP与发光圆盘的夹角为θ,由正弦定理有

为了求α的最大值,通常的做法是先求出α关于θ的函数式α=f(θ),然后求极值。但是我们较难将上式中的α与θ分离,至此求解陷入困难。我们可以换一个角度,将(α+θ)看成一个变量,或者说,以图2-10中的β角为自变量,即可得到

说明 当以某一自变量建立的函数关系在分析中遇到困难时,可以尝试选择其他自变量建立函数关系进行研究。

5.3 用图像分析函数

图像既是函数的重要表达方式之一,也是进行函数分析的重要工具。对于较为复杂的问题,应该善于利用图像,以能对问题做出直观的分析。

例5 如图2-11所示,在水平的光滑平板上的O点固定一根原长为l 0 、劲度系数为k的轻弹簧,弹簧的自由端连接一个质量为m的小球。将平板以O为转轴逆时针缓慢转动,直至平板到竖直位置,若弹簧始终处在弹性限度内,则此过程中()

图 2-11

A.小球的高度不断变大

B.m足够大时,能使小球的高度先变大后变小

C.l 0 足够大时,能使小球的高度先变大后变小

D.k足够大时,能使小球的高度先变大后变小

解析 由于平板缓慢转动,平板在任一位置时小球都可以看作处于平衡状态。如图2-12所示,设平板与水平面的夹角为θ时,小球的高度为h。显然,h与θ,m,l 0 ,k都有关系。

图 2-12

由平衡条件有 mgsinθ=kx

小球对于初始位置的高度 h=(l 0 -x)sinθ

由以上两式解得

在m,k,l 0 一定的情况下,h是sinθ的二次函数。当

h有最大值。

h随sinθ的变化分两种情况。若m足够大,或者l 0 ,k足够小,使得 <1,h随着sinθ的变化情况如图2-13所示,平板逆时针转过90°,sinθ从0增大到1,高度h先变大后变小。若 ≥1,h随着sinθ的变化情况如图2-14所示,随着sinθ从0增大到1,高度h一直变大。B选项正确,其他选项都错误。

图 2-13

图 2-14

5.4 函数与方程的综合

方程思想与函数思想是紧密联系的,有些问题既可以用解方程的方法求解,也可以用函数分析的方法求解,很多时候,要综合运用这两种方法才能解决问题。

例6 如图2-15所示,一截面呈圆形内壁光滑的细管被弯成一个半径为R的大圆环,并固定在竖直平面内。在管内的底部A处静止一个质量为m、直径比管略小的小球,小球上连有一根穿过位于环顶B处管口的轻绳,恒力F通过轻绳拉动小球,使它运动到B点。求需要拉力F的最小值。

图 2-15

图 2-16

解析 如图2-16所示,小球刚开始运动阶段,细绳的拉力大于小球的重力沿管道切线方向的分力,小球做加速运动;到某个位置C时,拉力等于重力分力,小球速度最大;随后拉力小于重力分力,小球做减速运动;到某个位置D,拉力又等于重力分力,小球的速度达到最小;从D运动到B,小球做加速运动。小球在A,B之间,经过D时速度最小。只要小球通过了D点,就能运动到B点。

设在最小拉力F min 作用下,小球运动到D点的速度刚好为零,OD与OA之间的夹角为θ,由动能定理有

图2-17中作出了函数y 1 =θ和函数y 2 =tan 在y-θ坐标系中的图像,两图像交点的横坐标就是方程③的解。由图读出方程③的解约为θ=134°。

图 2-17

在134°附近,通过进一步的数值计算,得到更为精确的解为θ=133.556°。将此值代入②求得

说明 本题是综合运用函数的解析法和图像法解决问题的范例。

针对练习

1.如图2-18所示的电路,求出电流表A 1 的读数I 1 随变阻器的电阻R 1 变化的函数式,并据此判断变阻器滑动触头向上滑动时,电流表A 1 的读数如何变化。

图 2-18

2.如图2-19所示,两块平板玻璃之间有一层薄空气膜,空气膜的上、下表面平行。波长在0.4μm~0.75μm的可见光垂直射向空气膜,在上、下表面反射的光叠加而发生干涉。其中只有两个波长的光干涉加强,其一是λ=0.4μm的紫光。求空气膜的厚度。

3.如图2-20所示,要从坐标原点O发射炮弹击中空中坐标为(x 0 ,y 0 )的目标,炮弹的初速度v 0 必须满足什么条件?不计炮弹受到的空气阻力,重力加速度为g。

图 2-19

图 2-20

答案 提示 简解

1. ;R 1 减小,I 1 增大。

2.设光的波长为λ,光在空气膜下表面反射时有半波损失,所以从空气膜下、上表面反射的光的光程差为 。它们叠加干涉加强的条件是 =kλ,即

设波长为4×10 -7 m的紫光对应某个k值,那么由已知,对应(k-1)的光波长小于7.5×10 -7 m,对应(k-2)的光波长大于7.5×10 -7 m。即有

解出2.64<k<4.78。所以k可取两个值,即k 1 =3,k 2 =4。求得对应的空气膜的厚度d 1 =5×10 -7 m,d 2 =7×10 -7 m。

3.从坐标原点发射的炮弹击中坐标为(x 0 ,y 0 )的目标,由斜抛运动规律可以得到炮弹的初速度和发射角之间的函数式是

令X=x 0 tanθ-y 0 ,上式化为 。当X= 时, 最小,v 0 的最小值 炮弹要击中目标,初速度必须大于v 0min IGaHYnJeEp8WWunET1JS9LLxxUpP092PCDDKA/0fmWNYXr8IVeO4nLmofekNubQx

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