2 函数与方程

2.1 函数与方程的联系

方程反映事物之间量的联系，函数则反映一个量与其他量之间的变化关系。要建立方程，必须先确定哪些量之间存在着联系，而判断几个量之间是否存在联系的方法，则是看它们之间是否存在着共变关系，也就是看它们之间是否存在着函数关系。所以，建立方程要以确定哪些量之间存在着函数关系为前提。反之，要确定一个量随其他量如何变化的函数关系，则必须要建立这些量之间的关系式（方程式）。

从数学形式上看，函数式与方程式都是不同的量之间的关系式。在函数式中，变量可以在一定范围内取不同值，即定义域与值域；当一个或几个变量的值已知，由函数式就能求出另一个未知的变量，这时函数式就成了方程式。包含几个未知量的方程式，当其中一个或几个未知量取不同的值，另一个未知量的取值也随之不同，这样的方程式就是函数式。例如方程式ay＋bx＋c＝0（a≠0，b≠0），与函数式y＝- x-ac是等价的。

在具体问题中，各因素之间的联系往往十分复杂，很难直接得到某两个变量之间的函数关系，这时需要先建立这些量与某个或某些中介量之间的关系式，然后通过解方程消去这些中介量，得到我们需要的函数式。

2.2 方程与函数的区别

方程与函数都是事物之间量的联系的反映，都用数学式子表示，但它们的侧重点并不相同。方程侧重于在一定的条件下，根据数学式子得到确定的未知量，解方程就是通过必要的等价变换求得未知量的确定结果。函数侧重于由数学式子反映的不同量之间的变化关系，函数分析主要是要搞清一个量随其他量的变化情况。

函数式一定是方程，但方程不一定是函数式。当方程只包含一个未知量时，它就不是函数。还有微分方程也不是函数，它的解才是函数。例如法拉第电磁感应定律E＝ ，就不是感应电动势E随时间t变化的函数关系，不过，如果知道了磁通量Φ与时间t的函数关系，就能由它求出E随t变化的函数关系。

2.3 函数分析与解方程

把方程f（x）＝0看成函数y＝f（x）在y＝0时的情况，则可以利用函数图像来解方程。函数图像与x轴相交，方程f（x）＝0有解，交点的个数就是解的个数，交点的横坐标就是方程的解；图像不与x轴相交，则方程无解。如图2-1所示的情况，表示方程f（x）＝0有两个解x＝x ₁ 和x＝x ₂ 。

也可以把一个方程拆成两个部分，将解方程的问题转化为求两个函数图像交点的问题。具体地说，就是将函数f（x）拆成两部分之差，即f（x）＝f ₁ （x）- （x），那么f（x）＝0即为f ₁ （x）＝ （x）。在同一个坐标平面上画出函数y＝f ₁ （x）和y＝ （x）的图像，若两图像相交，则方程f（x）＝0有解，交点的个数就是解的个数，交点的横坐标就是方程的解；若两图像不相交，则方程无解。

由函数y＝f（x）的图像与x轴的交点，可以确定不等式f（x）≥0或f（x）≤0的解集。若函数y＝f（x）的图像如图2-1所示，则f（x）≤0的解集是x ₁ ≤x≤x ₂ 。如果函数图像在x轴上方，与x轴不相交，则f（x）≤0无解。

也可以用解方程的方法进行函数分析。若方程f（x）＝0无解，则函数y＝f（x）的图像与x轴不相交；若方程f（x）＝0有两个解，则函数y＝f（x）的图像与x轴有两个交点。 7POBIMpuzaWlykP3euuwlj64uEBkfOCAYGi3PJY9i61WYhMcaWsN5USufO4xfqtr