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在某个现象或过程中，如果有两个变量x，y，对于任一个x值，都对应一个唯一的y值，那么就称y是x的函数，记作y＝f（x）。其中x是自变量，y是因变量，f表示具体的对应关系。如果在一个现象或过程中有三个变量x 1 ，x 2 ，y，对于任一组x 1 ，x 2 值，都对应一个唯一的y值，那么就称y是x 1 ，x 2 的函数，记作y＝f（x 1 ，x 2 ）。这样的函数叫二元函数，同样可以理解n元函数。
不同事物之间或同一事物中的各个因素之间总是相互制约、相互联系的，当一个因素或几个因素发生变化时，其他因素会随之变化。不同事物和事物中各个因素除了有质的区别外，还具有量的特征，它们的联系在数量上的反映就是函数。数学教育家弗赖登塔尔在描述函数时指出：“我们的世界不是一个僵化的关系系统，而是一个变化的领域，一个变动对象互相依赖的领域，函数是一种特定的依赖关系，也就是在区分为自变量和因变量之间的依赖关系。”因此，函数概念是世界上事物之间普遍联系和不断运动变化的反映。
自变量的取值范围叫函数的定义域。在定义域中的任一个（或一组）自变量，都对应一个唯一确定的因变量。对应于定义域，因变量的取值范围叫这个函数的值域。定义域、值域和对应法则是函数的三要素。
在实际问题中，函数的定义域和值域还要考虑实际条件的限制。例如对于函数y＝x -1 ，从纯数学的角度讲，定义域是x＞0和x＜0，值域是y＞0和y＜0。而在某些实际问题中，x只能取大于0的值，那么定义域是x＞0，值域是y＞0。
解析 式法、列表法和图像法是函数的三种表示方法。解析式法就是用一个或几个数学式子（在不同的定义域中用不同的数学式子）表示自变量与因变量的对应关系。列表法就是用表格的形式，给出对应不同自变量的因变量的数值。图像法就是用图像表示函数。函数图像就是在以自变量为横轴、因变量为纵轴的坐标系中，由自变量和对应的因变量所确定的点的集合。函数图像一般是曲线（包括直线）。
解析 式法表示函数的优点是简明、精练、准确，能较准确地求出对应任一自变量的因变量的值；缺点是不易直观地看出自变量与因变量之间的关系，并且很多函数关系无法用解析式表示。列表法的优点是能直接给出与自变量对应的因变量的数值，缺点是一般只能列出部分自变量与对应的因变量的数值。图像法的优点是能直观地反映因变量随自变量变化的整体情况，如增减性、单调性、奇偶性、周期性和极值等性质；缺点是无论如何，由图像确定的函数值的精确度都是有限的。
有些时候，要综合运用函数的两种或三种表示方法，才能方便地解决问题。
中学阶段常用的函数有：
一次函数y＝ax＋b（a≠0）；
二次函数y＝ax 2 ＋bx＋c（a≠0）；
指数函数y＝a x （a＞0且a≠1）；
对数函数y＝log a x（a＞0且a≠1），当a＝e时，记为y＝lnx；
幂函数y＝x a ，当a＝-1时又叫反比例函数；
三角函数，主要包括正弦函数、余弦函数、正切函数。