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完备的方程具有这样的性质，它反映了解决问题需要的所有已知条件和各种联系，由它在理论上一定能解出待求量。从方程的形式上看，如果独立方程的个数与未知量的个数相等，那么这几个方程对于待求量就是完备的。不过，有时虽然未知量的个数多于独立方程的个数，但其中有几个未知量总是以同一种形式结合在一起出现在不同的方程中，并且这几个未知量不是我们需要求解的，那么我们可以将这几个未知量的整体设为一个新的未知量，如果新的未知量与其他未知量的总数等于独立方程的个数，这时方程对于待求量也是完备的。
例1 质量m＝1kg的物体静止在水平面上，F＝6N的水平拉力作用于物体上，使其运动x 1 ＝1m的距离后撤去，物体继续在水平面上运动x 2 ＝0.5m而停止。重力加速度g取10m／s 2 ，求物体与水平面之间的动摩擦因数。
解析 物理模型 。如图1-5所示，物体从静止开始，在水平拉力F和摩擦力F f 作用下，以加速度a 1 加速运动x 1 ，获得速度v 1 ，撤去拉力F后，在摩擦力F f 作用下，以大小为a 2 的加速度减速运动x 2 而停止。显然，物体与水平面间的动摩擦因数μ不同，加速度a 1 ，a 2 和速度v 1 就不同，撤去拉力F后物体滑行的距离x 2 也不同；反之，已知了x 2 ，就能求出动摩擦因数μ。
图 1-5
方程模型。 根据上述物理模型，由牛顿运动定律和运动学公式可以列出如下方程：
求解方程。 这四个相互独立的方程包含四个未知量：μ，a 1 ，v 1 ，a 2 。代入数据即可解出μ＝0.4。
物理意义。 求得的动摩擦因数μ＝0.4，符合物理实际情况。
说明 求解中，a 1 ，a 2 ，v 1 都是中介未知量。
例2 如图1-6所示，在xOy平面内，以O′（0，R）为圆心、R为半径的圆内，有与xOy平面垂直的匀强磁场。一束分布在0＜y＜2R范围内质量为m、电荷量为q（q＞0）、速度为v沿x轴正方向运动的带电粒子束射入磁场区域，指向圆心O′射入磁场的粒子，从坐标原点O沿y轴负方向离开磁场。不计粒子受到的重力。求：
图 1-6
（1）磁感应强度的大小和方向；
（2）这束带电粒子经过磁场之后与x轴相交的区域。
解析 （1）由左手定则判断出磁场垂直于xOy平面向外。指向圆心O′射入磁场的粒子运动轨迹如图1-7所示，可知粒子在磁场中做圆周运动的半径r＝R。洛伦兹力提供向心力
得到磁感应强度B＝
。
图 1-7
（2）对于某一入射的带电粒子，要知道它经过x轴上的哪一位置，需要先求出它在哪一点沿什么方向离开磁场。
磁场边界的方程是
如图1-8，设带电粒子从圆周上（x 0 ，y 0 ）点射入磁场，（x 0 ，y 0 ）满足
带电粒子圆轨迹的圆心O 1 的坐标是（x 0 ，y 0 -R），圆轨迹方程是
由①②③解出两组解：x 1 ＝0，y 1 ＝0；x 2 ＝x 0 ，y 2 ＝y 0 。第二组解对应带电粒子的入射点，第一组解对应坐标原点。由于（x 0 ，y 0 ）是磁场左边界上的任一点，这表明所有射入磁场的带电粒子都通过坐标原点。
图 1-8
如果以图1-8中的θ角表示入射粒子的位置，则带电粒子圆轨迹的圆心O 1 的坐标是（-Rsinθ，Rcosθ），带电粒子圆轨迹方程是
由①④解出两组解：x 1 ＝0，y 1 ＝0；x 2 ＝-Rsinθ，y 2 ＝R（1＋cosθ）。其意义同上。
说明 上述求解过程中，独立的方程①和③中只有两个未知量x和y，所以一定能由它们解出确定的x和y。等式②只是三个已知量x 0 ，y 0 和R之间的关系，不是方程，它的作用是使方程①和③的解的表达式变得简洁。同样独立的方程①和④中也只有两个独立的未知量x和y，也一定能由它们解出确定的x和y。
两个方程组成的方程组的解，是同时使这两个方程成立的一组数值。把这两个方程看作函数，并在同一坐标平面上画出这两个函数的图像，它们交点的坐标，就是这个方程组的解。若这两个函数的图像不相交，则方程组无解。
例3 如图1-9甲所示，其中电学元件R两端的电压U随通过它的电流I的变化关系如图1-9乙所示。电源电动势为7.0V，电源内阻不计，R 1 ＝1000Ω（不随温度变化）。若改变R 2 ，使A，B与B，C间的电压相等，求这时通过元件R的电流为多少。
图 1-9
解析 由已知，A，B与B，C间的电压相等，所以U BC ＝3.5V。
对于元件R，它两端的电压U随电流I的变化而变化，即
另一方面，从供电角度，R两端的电压U与电流I的关系为U＝U BC -IR 1 ，代入数据为
U，I同时满足①②两式，所以U，I的值为①②两式组成的方程组的解。
在U-I坐标平面中，①和②分别对应曲线和倾斜的直线（如图1-10）。从图中读出交点的电流I＝1.5mA，这就是通过元件R的电流。
图 1-10
从方程中解出数学结果后，需要将其与物理情境相结合，以获得物理意义。数学结果的物理意义有两种：一种是现实意义，即数学结果对应于问题所给的物理情境中能够真实发生的过程或状态，前面例2对解的物理意义解释就属于这种情况。另一种是理论意义，即数学结果描述的情况虽然不能在问题所给的物理情境中发生，但它仍然是符合物理规律的。
例4 如图1-11所示，托里拆利管的横截面积是0.1cm 2 ，管内水银柱高76cm，上端真空部分长8cm。假如向管的上端引入0.1cm 3 的空气，求水银柱下降的高度h。
图 1-11
解析 被引入托里拆利管上端的空气，原来的压强p 0 ＝76cmHg，体积V 0 ＝0.1cm 3 。当它进入管的上端，水银柱下降高度h（单位cm），这时空气的压强p＝［76-（76-h）］cmHg＝hcmHg，体积V＝（8＋h）×0.1cm 3 。由玻意耳定律有
代入数据得到 h 2 ＋8h-76＝0
解出两个解为：h 1 ＝5.59cm，h 2 ＝-13.59cm。
第一个解符合题意，这时水银柱的长度为（76-5.59）cm＝70.41cm，空气柱的长度为（8＋5.59）cm＝13.59cm。对于第二个解，水银柱长度为［76-（-13.59）］cm＝89.59cm≥76cm，空气柱的长度为［8＋（-13.59）］cm＝-5.59cm，压强为76cmHg的大气不可能托起大于76cm的水银柱，同时，空气柱的长度也不可能为负值，所以第二个解没有物理意义。
例5 宇航员在某星球表面从高度32m处自由释放一重物，测得重物在下落的最后1s通过的距离为14m，则重物下落的时间和该星球表面的重力加速度分别是多少？
解析 设重物下落的时间为t，星球表面的重力加速度为g，则有
其中h＝32m，Δh＝14m。从上面两式可解出两组解：g 1 ＝4m／s 2 ，t 1 ＝4s；g 2 ＝196m／s 2 ，t 2 ＝4／7s。
由于重物下落时间大于1s，所以第一组解对应真实发生的情况，如图1-12所示。第二组解虽然不是真实发生的情况，但它仍有理论上的意义，如图1-13所示。在“最后1s”内，重物在起点时刻（t
2
-1s）＝-_
s，从起点位置A向上做竖直上抛运动，t＝0时刻运动到最高点O，然后自由下落，终点时刻t
2
＝
s时运动到终点位置B，位移Δh＝14m。
说明 有些解虽然没有现实意义，但仍然有理论上的意义。探讨它的理论意义，既能加深我们对物理规律的理解，还能提高我们的探究能力。在物理学的发展史上，有些重大发现，正是在探讨似乎没有实际意义的方程的解的过程中做出的。
图 1-12
图 1-13
针对练习
1.某段全程为400km的高速公路限速为110km／h，即车在这段公路上行驶，瞬时速度不能超过110km／h。以下是林师傅与张师傅开车驶过这段公路后的对话。张：“你开得太慢了，我在这里都等你1h了。”林：“你开得太快了，平均每小时比我多跑了20km，可能超速了。”张：“我虽然平均速度大，但最大时速还是没有超过限速的。”请通过计算判断：张师傅可能没有超速吗？
2.一直桶状容器的高为2l，底面是边长为l的正方形；容器内装满某种透明液体，过容器中心轴DD′、垂直于左右两侧面的剖面图如图1-14所示。容器右侧内壁涂有反光材料，其他内壁涂有吸光材料。在剖面的左下角处有一点光源，已知由液体上表面的D点射出的两束光线相互垂直，求该液体的折射率。
图 1-14
3.如图1-15所示，光滑轨道ABCD处于竖直平面内，AB段水平，BCD段是半径为R的半圆形，BD是竖直的直径。质量为m的物体静止在A点，A，B的距离为x。物体在水平推力F作用下向左加速运动，到B点时撤去推力，物体冲上半圆轨道。在m，R一定的情况下，调节F和x，能使物体通过D点后落到A点。
（1）水平推力F＝
mg，x等于多少时物体能落到A点？
（2）要使物体能落到A点，水平推力必须满足什么条件？
图 1-15
4.如图1-16所示，两相距为L、竖直放置的光滑金属导轨MN和PQ，上端接有一个电容器，电容为C。水平匀强磁场垂直于导轨平面，磁感应强度为B。质量为m的导体棒水平地搁在两金属导轨上，从静止开始释放，导体棒下落的过程中与导轨接触良好。不计导轨、导体棒和连接导线的电阻，不计金属棒下落的空气阻力，重力加速度为g，求金属棒从静止开始下落h时的速度v（电容器尚未击穿）。
图 1-16
答案 提示 简解
1.列出方程解出林师傅的平均速度v 1 ＝80km／h，张师傅的平均速度v 2 ＝100km／h。因为v 2 ＜110km／h，所以张师傅可能没有超速。
2.n＝1.55。
3.（1）x 1 ＝2R或x 2 ＝8R。（2）F≥mg。
4.设金属棒在某时刻的速度为v，感应电动势为E＝BLv。电容器所带的电荷量q＝CE＝CBLv。通过金属棒的电流
