一、充分考虑条件的应用

已知条件是证题的基础，对于证题起着举足轻重的重要作用。就像做饭菜、做衣服一样，做饭要有米面，做菜要备好食材，做衣服要选好布料，没有米面食材就做不出饭菜，没有布料就做不成衣服。几何证题也同此理，如果连已知有什么用处都不清楚，那就根本无法证题。因此，特别强调要充分考虑条件的应用，切切牢记，务必做到：

温馨提示

对于上述十六字诀要求记牢、记熟，会用，题目给出的已知条件自然要用，已知条件中没有的，但在图形中体现出来的也要会用。

（隐含条件——具体用法见平行线证题例 2）

（一）平行线

1.性质

（1）两直线平行同位角相等；

（2）两直线平行内错角相等；

（3）两直线平行同旁内角互补。

2.平行线间的距离处处相等。

3.平行于三角形的一边与其他两边

（或其他两边的延长线）相交所截得的三角形与原三角形相似。

温馨提示

范例解析

例 1. 已知：如图 1. 1， AB∥CD， BE∥CF。

求证：∠1 ＝ ∠2。

解析 ：已知平行用性质，知AB∥CD，可得∠ABC ＝ ∠BCD，又BE∥CF，∠3 ＝ ∠4，结论可证。

注意 ：图 1. 1 中，∠3 与∠4 是内错角，而∠1 与∠2 则不是内错角，切记“看三不看四”，即由四条直线所构成的两角，一定不是同位角或内错角或同旁内角。

例 2. 已知：如图 1. 2， AB∥CD。

求证：∠CDE ＝ ∠B ＋ ∠E。

解析 1：已知AB∥CD，则想用性质，但BE与AB相交，而与CD不相交，故延长CD交BE于F （见图 1. 2 －1）。看到图形，想到性质。可得∠CDE ＝∠DFE ＋ ∠E，又因AB∥CD，则∠DFE ＝ ∠B，结论得证。

解析 2 ：已知平行线，可用性质， DE与CD相交，而与AB不相交，故延长ED交AB于F （可见图 1. 2 －2），则∠1 ＝ ∠2。看到图形，想到性质。可知∠1 ＋ ∠B ＋ ∠E ＝ 180°，又∠CDE ＋ ∠2 ＝ 180°，结论得证。

解析 3 ：知平行，用性质，亦可直线连接BD （见图 1. 2 －3），则∠1 ＋ ∠2＝ 180°。看到图形，想到性质。可知，∠3 ＋ ∠4 ＋ ∠E ＝ 180°，∠CDE ＋ ∠2 ＋∠4 ＝ 360°。因此，∠CDE ＋ ∠2 ＋ ∠4 ＝ ∠1 ＋ ∠2 ＋ ∠3 ＋ ∠4 ＋ ∠E ＝ 360°，结论得证。

解析 4：知平行，用性质，亦可过点D作DF∥BE交AB于F，将∠CDE分成两部分（见图 1. 2 －4），易证∠2 ＝ ∠1 ＝ ∠B， ∠3 ＝ ∠E，结论得证。

解析 5 ：已知AB∥CD，亦可作EF∥CD （或AB），则EF∥AB （或CD）（见图 1. 2 －5），可得∠CDE ＋ ∠1 ＝ 180°，∠B ＋ ∠BEF ＝ 180°，则∠CDF ＋∠1 ＝ ∠B ＋ ∠BEF，结论得证。

解析 6 ：此题亦可向相反方向作EF ∥ CD，则EF ∥ AB，可得∠CDE ＝∠DEF，∠B ＝ ∠BEF，结论得证。

温馨提示

“知道条件，想到用处”。固然重要，应予重视，但“看到图形，想到性质”也不容忽视，也应重视隐含条件的应用。

此题证法较多，应选用较简单易证的方法做答。

☆练习题一

1.已知：如图， AB∥CD，直线EF分别交AB、 CD于E、 F， EG∥FH

求证：∠1 ＝ ∠2。

2.已知：如图， AB ∥ CD，直线EF交AB于E、交CD于F， EG平分∠BEF， FG平分∠EFD。

求证： EG⊥FG。

3.已知：如图， AB∥CD。

求证：∠AEC ＝ ∠A ＋ ∠C。

4.已知：如图， AB∥CD。

求证：∠A ＋ ∠E ＋ ∠C ＝ 360°。

（二）三角形

1.边的关系

（1）两边之和大于第三边；

（2）两边之差小于第三边。

2.角的关系

（1）三内角和等于 180°；

（2）一个外角等于不相邻的两内角和。

3.三角形中的主要线段

（1）中线

a.已知中线，便知中点。中线将三角形分成面积相等的两个三角形。

如图： AD是△ABC的中线，则S1 ＝ S2。

b.已知中线，利用 中线加倍构造全等三角形 或 作中位线 是常用的辅助线。

如图： AD是△ABC的中线，延长AD到E，使DE ＝ AD，连接EC，则△DEC≌△DAB （中线加倍）。

如图： AD是△ABC的中线，亦可取AC中点F，连接EF （作中位线），则EF∥BC， EF ＝21 BC（作中位线）。

（2）角平分线

a.利用性质，角平分线上一点到两边的距离相等是常用的辅助线。

如图： AD平分∠BAC，作DE⊥AB于E， DF⊥AC于F，则DE ＝ DF。

b.利用对称性，构造全等三角形，是常用的辅助线。

如图： AD平分∠BAC，在AB上取一点E，连接DE，则△ADE≌△ADC。

（3）高

a.三角形中有高就有直角三角形，可进而考虑应用直角三角形的性质。

（4）中位线

a.知三角形的中位线，可用性质。

如图： DE是△ABC的中位线，则DE∥BC， DE ＝ BC。

（4）线段的垂直平分线

a.线段的垂直平分线上的一点到线段两端的距离相等。

如图： DE是BC的垂直平分线并交AB于点E，则EB ＝ EC。

4.等腰三角形

（1）两底角相等；

（2）底边上的中线，底边上的高与顶角平分线互相重合（三线合一）。

5.直角三角形

（1）两锐角互余；

（2）勾股定理：直角三角形中斜边的平方等于两条直角边平方的和；

（3）斜边上的中线等于斜边的一半；

（4）30°角所对的直角边等于斜边的一半；

6.全等三角形

（1）全等三角形的对应边相等；

（2）全等三角形的对应角相等。

温馨提示

（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，除具有等腰三角形的性质外，并且每一个角都等于 60°；

（2）等腰直角三角形是特殊的等腰三角形，也是特殊的直角三角形，两个锐角都等于 45°；

（3）勾股定理应用广泛，既用于计算、证明，也用于作图。

范例解析

例 1. 已知：如图 1. 3， AD是△ABC的中线。

求证： AB ＋ AC ＞ 2AD。

解析 1：已知AD是△ABC的中线，则延长AD到E，使DE ＝ AD，并连接CE（见图1. 3 －1）。可证△DEC≌△DAB， EC ＝AB，则EC ＋AC ＞AE，结论得证。

解析 2 ：已知AD是中线，亦可取AC的中点E，并连接DE （见图1. 3 －2），得DE是△ABC的中位线，即DE ＝ AB。在△ADE中， AE ＋ DE ＞ AD，即 （AB ＋ AC） ＞ AD，结论得证。

例 2. 已知：如图1. 4，在四边形ABCD中， BD平分∠B，且∠A ＋∠C ＝180°。

求证： AD ＝ CD。

解析 1：已知BD平分∠B，可用性质。过D作DE⊥BC于E， DF⊥BA交BA的延长线于F （见图 1. 4 －1），则DF ＝ DE，知∠BAD与∠C互补，又∠1 与∠BAD互补，可得∠1 ＝ ∠C，只要证明△DFA≌△DEC，即可得证结论。

解析 2 ：已知BD平分∠B，亦可在BC上取一点E，使BE ＝ BA，连接DE（见图 1. 4 －2），可证△ABD≌△EBD，则AD ＝ ED， ∠A ＝ ∠BED，又∠BED与∠DEC互补，可得∠DEC ＝ ∠C， ED ＝ CD，结论得证。

例 3. 已知：如图 1. 5， BD、 CE是△ABC的高， M是BC的中点， N是DE的中点。

求证： MN⊥DE。

解析 1 ：已知BD、 CE是高，△BCD和△BCE都是直角三角形，又只M是中点，则连接DM和EM（见图1. 5 －1）。可得DM ＝ EM ＝ BC，又N是DE中点，结论得证。

例 4. 已知：如图 1. 6，△ABC中∠ACB ＝ 90°， AD⊥BC于D， ∠CAB的平分线交CD于E， F为AB上一点， AF ＝ AC。

求证： EF∥BC。

解析 ：由已知可证△AEC≌△AEF，则∠ACE ＝ ∠AFE。由∠ACB ＝ 90°，AD⊥BC，易得∠ACE ＝ ∠B，故∠AFE ＝ ∠B，结论得证。

例 5. 已知：如图 1. 7，△ABC中∠BAC ＝ 90°， AB ＝ AC， M为BC的中点，点D、 E、 F分别在AB、 BC、 AC上， ADEF是矩形。

（1）求证： MD ＝ MF。

（2）求证： MD⊥MF。

解析 ：已知M为等腰三角形斜边的中点，可连接AM （见图 1. 7 －1）。则AM垂直平分BC且平分∠BAC，又知ADEF是矩形，可证AD ＝ EF ＝ FC，易证△DAM≌△FCM，则MD ＝ MF， ∠1 ＝ ∠2，结论（1）证出，又∠3 和∠2 互余，结论（2）得证。

例 6. 已知：如图 1. 8，△ABC是等边三角形， P为三角形内一点，以PC为一边作等边△PCD。

求证： BD ＝ AP。

解析 ：由已知可得∠1 ＝ ∠2，已具备边角边对应相等，故△BDC≌△APC，结论得证。

例 7. 已知：如图 1. 9， P为等边△ABC内一点，且PA ＝ 3， PB ＝ 4， PC ＝ 5。

求证：∠APB ＝ 150°。

解析 1：已知等边三角形，可再作等边三角形。以AP为一边，作等边△APD （见图 1. 9 －1）。连接BD，可证△BAD≌△CAP，则BD ＝ CP ＝ 5，易证△BDP为直角三角形，∠BPD ＝ 90°，又∠APD ＝ 60°，结论得证。

解析 2 ：已知等边三角形，也可以以PB为一边再作等边△PBD （见图 1. 9 －2）。则可证△ADB≌△CPB， AD ＝ PC ＝ 5，∠APD ＝ 90°，又∠BPD ＝60°，结论得证。

解析 3 ：此题亦可以PC为一边作等边△PCD （见图 1. 9 －3）。连接AD，则△ACD≌△BCP，可得AD ＝ PB ＝ 4，∠PAD ＝ 90°，又∠PCD ＝ 60°，由四边形内角和得∠APC ＋ ∠ADC ＝ 360° －150° ＝ 210°，又∠ADC ＝ ∠BPC，即∠APC ＋∠BPC ＝ 210°，∠APB ＝ 150°，结论得证。

温馨提示

已知等边三角形，再作等边三角形，是证题中常用的辅助线，应注意：

1.所作等边三角形一定要与已知等边三角形有一个公共顶点。

2.为方便证题，可将所作的和已知的等边三角形按边的长短标记处一道杠和两道杠（见图 1. 9 －1），边角边对应相等的关系，一目了然。证三角形全等时，另一条辅助线随之作出。

☆练习题二

1.已知：如图，△ABC中∠BAC ＝ 90°， AD是高， AE是中线， AF是∠BAC的角平分线。

求证： AF平分∠DAE。

2.已知：如图， AB ＝ AC， AD ＝ AE，且B、 D、 E、 C在同一直线上。

求证： BD ＝ CE。

3.已知：如图，△ABD和△ACE都是等边三角形， BE与DC交于G。

（1）求证： DC ＝ BE。

（2）求证：∠BGC ＝ 120°。

4.已知：如图，△ABC中∠A ＝ 90°， D为BC中点， DE⊥DF。

求证： BE ² ＋ CF ² ＝ EF ² 。

5.已知：如图，△ABC的AB ＝ AC， D为BC延长线上一点， ED⊥BC于D，交BA的延长线于E，交AC的延长线于F。

求证： AE ＝ AF。

6.已知：如图， P为等边△ABC外的一点， PA ＝ 3， PB ＝ 4， PC ＝ 5。

求证：∠APB ＝ 30°。

（三）四边形

1. n边形的内角和等于（n －2）× 180°。

2. n边形的外角和等于定值 360°。

3.四边形的内角和等于 360°。

4.平行四边形

（1）对边相等；

（2）对角相等；

（3）对角线互相平分。

5.特殊的平行四边形

矩形，除具有平行四边形的性质，另有：

（1）四个角都是直角；

（2）对角线相等。

菱形，除具有平行四边形的性质，另有：

（1）四条边都相等；

（2）对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。

正方形，具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质：

（1）四条边都相等；

（2）四个角都是直角；

（3）对角线互相垂直、平分、相等，且每一条对角线平分一组对角。

6.梯形

梯形是一组对边平行而另一组对边不平行的四边形。梯形的表示，要强调平行的一组对边。如梯形ABCD的AD∥BC。

等腰梯形、直角梯形是两种特殊梯形。

其中，等腰梯形的性质较为重要：

（1）同一底上的两角相等；

（2）对角线相等。

范例解析

例 1. 已知：如图 1. 10，四边形ABCD的∠B ＝ ∠D ＝ 90°，∠1 ＝ ∠2，∠3 ＝∠4。

求证： AE∥FC。

解析 ：由已知可得，∠1 ＋ ∠2 ＋ ∠3 ＋ ∠4 ＝ 180°，∠2 ＋ ∠4 ＝ 90°，又∠4 ＋∠5 ＝ 90°，故∠2 ＝ ∠5，结论得证。

例 2. 已知：如图 1. 11，△ABC，且△ABD、 △ACE和△BCF都是等边三角形。

求证：四边形AEFD是平行四边形。

解析 ：由已知及图 1. 11 所标符号，可证明△EFC≌△ABC，则EF ＝ AB ＝AD，同理，可证△FDB≌△CAB，则FD ＝ CA ＝ AE，结论得证。

例 3. 已知：如图 1. 12，梯形ABCD的AD∥BC， AB＝ DC。

求证：∠B ＝ ∠C。

解析 1：已知AD∥BC，故作AE⊥BC于E， DF⊥BC于F （见图 1. 12 －1）。则AE ＝ DF，又AB ＝ CD，可证△ABE≌△DCF，结论得证。

解析 2 ：已知AD∥BC，亦可过D作DE∥AB交BC于E （见图 1. 12 －2），得平行四边形ABED， ∠1 ＝ ∠B， DE ＝ AB ＝ DC，则∠1 ＝ ∠C，结论得证。

例 4. 已知：如图 1. 13，梯形ABCD的AD∥BC。

求证： AC ＋ BD ＞ AD ＋ BC。

解析 1：欲证结论，需将梯形的两对角线与两底组到同一个三角形之中，已知AD∥BC，故过D作DE∥AC交BC的延长线于点E （见图 1. 13 －1），则DE ＝ AC， CE ＝ AD，结论得证。

解析 2 ：欲证结论，亦可用两对角线与两底的一半作比较，故作梯形ABCD的中位线EF（见图1. 13 －2），则EF ＝ （AD ＋ BC），再取BC的中点G，并连接GE、 GF，则EG ＝ AC， FG ＝ BD，结论得证。

例 5. 已知：如图1. 14，梯形ABCD的AD∥BC， E为CD的中点，且AE ＝ BE。

求证：梯形ABCD是直角梯形。

解析 1：已知E为腰的中点，故取AB的中点F，连接EF （见图 1. 14 －1）。知AE ＝ BE，则EF⊥AB，又EF∥BC，结论得证。

解析 2 ：已知E为腰的中点，则延长AE交BC的延长线于点F （见图 1. 14 －2），可证△AED≌△FEC，则EF ＝ EA ＝ EB，故∠ABC ＝ 90°，结论得证。

例 6. 已知：如图1. 15， P为正方形ABCD内一点，且PD ＝1， PC ＝2， PB ＝3。

求证：∠DPC ＝ 135°。

解析 1：已知P为正方形内一点，实质是P为等腰△BCD内一点，可仿效等边三角形辅助线的作法，以PC为直角边作等腰直角△PCE （见图 1. 15 －1），即呈现出边角边对应相等，再连接DE，则△EDC≌△PBC， ED ＝ PB ＝ 3，又DC ＝2， PE ² ＝ 8，可得∠DPE ＝ 90°，结论得证。

解析 2 ：此题也可以PC为一直角边向相反的方向作等腰直角△PCE，连接BE （见图 1. 15 －2），则△BEC≌△DPC， BE ＝ DP ＝ 1，又PB ＝ 3， PE ² ＝ 8，可得∠PEB ＝ 90°，结论得证。

温馨提示

四边形中，正方形与梯形的应用较多，应予以重视。

1.正方形是特殊的平行四边形，也是特殊矩形和菱形。正方形的一条对侥幸，将正方形分成两个全等的等腰直角三角形，同时出现 45°角。

2.梯形中的常用辅助线

（1）作高；

（2）平移腰；

（3）平移对角线；

（4）作中位线或变相中线加倍构造全等三角形。

☆练习题三

1.已知：如图，平行四边形ABCD中， AE⊥BD于E， CF⊥BD于F。

求证： AE ＝ CF。

2.已知：如图，正方形ABCD中， E为AB的中点， F为AD的中点。

求证：（1） AF ＝ DE。

（2） AF⊥DE。

3.已知：如图，梯形ABCD的AD∥BC， AB ＝ DC， E、 F、 G、 H分别是AB、 BC、 CD、 AD的中点。

试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论。

4.已知：如图，正方形ABCD的对角线交于点O， E为OC上的一点， AF⊥BE于F，交OB于G。

（1）求证： OE ＝ OG。

（2）若E为OC延长线上一点，其他条件不变，（1）的结论还成立吗？说明理由。

5.已知：如图，梯形ABCD的AD∥BC，且AB ＝ AD ＋ BC， E为CD的中点。

求证： AE平分∠A， BE平分∠B。

6.已知：如图， P为正方形ABCD外一点，并且PD ＝ 1， PC ＝ 2， PB ＝ 3。

求证：∠DPB ＝ 45°。

（四）相似三角形

1.两条线段的比

（1）欲求两条线段的比，一定采用同一长度单位，但与采用哪种长度单位无关；

（2）两条线段的长度确定，则两条线段的比也确定，但两条线段的比确定，两条线段的长度不能确定；

（3）两条线段的比，其实质为正实数。

2.成比例线段

若 ，则ad ＝ bc；

若 ，则b ² ＝ ac。

3.相似三角形

（1）对应角相等；

（2）对应边成比例；

（3）对应中线（角平分线，高）的比，等于相似比；

（4）周长的比等于相似比；

（5）面积的比等于相似比的平方。

范例解析

例 1. 已知：如图 1. 16， M为正方形ABCD中DC上的中点， AM的垂直平分线交AD于E。

求证： DE： DM： EM ＝ 3：4：5。

解析 ：由已知可得EA ＝ EM，设正方形的边长为a， DE为x，则x ² ＋ ＝ （a － x） ² 解之，得x＝ a， DM ＝ ， EM ＝ EA ＝ a，结论得证。

例 2. 已知：如图 1. 17，已知△ABC中∠BAC ＝ 90°， AD⊥BC于D。

求证：（1） AD ² ＝ BD·DC

（2） AB ² ＝ BD·DC

（3） AC ² ＝ BC·DC

解析 ：欲证A D ² ＝ BD·DC，只要证明 就可以了。因此要证明含有BD、 AD和含有AD、 DC的两个三角形相似。换言之，也就是顶点分别为B、D、 A和A、 D、 C的两个三角形相似。即证明△BDA∽△ADC，结论可证。

用同样的方法可证结论（2）、（3）。

温馨提示

证明成比例线段，可用上述方法—“三点定位法”迅速确定证明相似的两个三角形。

例 3. 已知：如图 1. 18，已知M为直角△ABC斜边AB的中点，过点M作AB的垂线交AC的延长线于E，交BC于D。

求证： MC ² ＝ MD·ME。

解析 ：欲证MC ² ＝ MD·ME ，则改证 ，用三点定法确定，只要证明△MDC∽△MCE即可。∠CME为公共角，只要再证∠MCD ＝ ∠E就可以了。由已知可证MC ＝ AB ＝ MB，则∠MCD ＝ ∠B，又∠B和∠E同为∠A的余角，故∠B ＝ ∠E，结论得证。

例 4. 已知：如图 1. 19，△ABC的∠BAC ＝ 90°， AD⊥BC于D， DE⊥DF，分别交AB、 AC于E、 F。

求证： AF·DE ＝ BE·DF。

解析 ：欲证AF·DE ＝ BE·DF，则改证 ，只要证明△ADF∽△BDE即可。由已知利用两对等角关系可得∠DAF ＝ ∠B，又∠ADB ＝ ∠EDF ＝ 90°，则∠ADF ＝ ∠EDB，结论得证。

例 5. 已知：如图1. 20，梯形ABCD的DC∥AB， E为CD的中点， BE交AC于F，交AD的延长线于G。

求证： 。

解析 ：已知DC∥AB，可证△GDE∽△GAB，及△FCE∽△FAB，则 ＝

， ，又DE ＝ EC，结论得证。

例 6. 已知：如图 1. 21， AD是△ABC的中线， EF∥BC交AD于P。

求证： PE ＝ PF。

解析 ：已知EF∥BC，可证△AEP∽△ABD，及△APF∽△ADC，则 ＝ ， ，故 ，又知BD ＝ DC，则PE ＝ PF。

温馨提示

此题系用比例线段证明线段相等的实例，可用此方法，证明类似题目。

☆练习题四

1.已知：如图，△ABC的高AD与BE相交于F。

求证： FA·FD ＝ FB·FE。

2.已知：如图，△ABC的AB ＝ AC ＝ 6， BC ＝ 9， E是AB的中点， D为BC上的一点，且BD ＝ 2。

求证：△EBD∽△BCA。

3.已知：如图，梯形ABCD的AD∥BC， AB ＝ CD， E为BC上一点， F为CD上一点，且∠AEF ＝ ∠B。

求证： 。

4.已知：如图，△ABC中， DE是中位线， BD与CE交于F。

求证： S△DEF ＝ S△ABC。

5.已知：如图，正方形ABCD， E为AB的中点， F为AD上一点，且AF ＝ AD。

求证：（1）△AEF∽△BCE；

（2）△EBC∽△FEC。

6.已知：如图， BD、 CE是△ABC的高。

求证：（1） AE·AB ＝ AD·AC；

（2）△ADE∽△ABC。

7.已知：如图，△ABC的∠BAC ＝ 90°， BD是中线， AE⊥BD于E。

求证： CD ² ＝ DE·DB。

8.已知：如图， AD是△ABC的角平分线。

求证： 。

9.已知：如图， E为正方形ABCD的BC延长线上一点， AE交CD于F，FG∥BE交DE于G。

求证： FC ＝ FG。

（五）圆

1.点与圆的位置关系

（r为圆的半径， d为点到圆心的距离）

（1）点在圆内 d ＜ r；

（2）点在圆上 d ＝ r；

（3）点在圆外 d ＞ r。

2.直线与圆的位置关系

（r为圆的半径， d为圆心到直线的距离）

（1）相交 d ＜ r；

（2）相切 d ＝ r；

（3）相离 d ＞ r。

温馨提示

（1）重点是圆的切线——垂直于过切点的半径。

（2）已知圆的切线用性质，要证圆的切线用判定。知圆的切线，则“过圆心，连切点，出直角”，此为常用的辅助线。

（3）与圆有关的角

①圆心角

a.圆心角的度数等于它所对的弧的度数；

b.在同圆或等圆中，两个圆心角所对的两条弧，及所对的两条弦，具有“一等都等”的关系。

②圆周角

a.圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；

b.同弧或等弧所对的圆周角相等，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；

c.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，反之亦然。

注意：已知圆的直径，作直径所对的圆周角是常用的辅助线。

（4）三角形与圆的关系

①三角形的外接圆

外心——三边垂直平分线的交点

②三角形的内切圆

内心——三内角平分线的交点

切线长定理：若PA、 PB分别切☉O于A、 B，则PA ＝ PB。

（5）四边形与圆的关系

圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。

（6）圆与圆的位置关系

（R、 r分别为☉O、 ☉O′的半径， d为圆心距）。

①外离 d ＞ R ＋ r；

②外切 d ＝ R ＋ r；

③相交 R － r ＜ d ＜ R ＋ r；

④内切 d ＝ R － r；

⑤内含 d ＜ R － r；

重点：两圆相交和相切（包括内切、外切）。

1.两圆相交连心线垂直平分公共弦；

2.两圆相切（包括内切和外切），连心线经过切点。

注意：

1.两圆相交公共弦是常用的辅助线；

2.两圆相切（包括内切和外切），连心线公切线是常用的辅助线。

（7）有关圆的公式

①C ＝ 2πR （C为圆的周长， R为半径）

②L ＝ （L为弧长， R为半径，n 为弧所对圆心角的度数）

③S _圆 ＝ πR ² （R为圆的半径）

④S _扇形 ＝ ＝21 LR

范例解析

例 1. 已知：如图 1. 22，☉O的弦AB⊥BC， D为AB的中点，过D作弦CE， BF⊥CE于F。

求证： DE ＝ DF。

解析 ：已知AB⊥BC，连接AC，即是☉O直径（见图 1. 22 －1），再连接AE，则∠E ＝ 90°，又D为AB中点，易证△DAE≌△DBF，结论得证。

例 2. 已知：如图 1. 23，☉O与☉O′外切于P， AB分别切☉O与☉O′于A、 B。

求证： PA⊥PB。

解析 1：已知两圆外切，可连接OO′ （见图 1. 23 －1），又AB为公切线，再连接OA、 O′B，可证OA∥O′B，则∠O ＋ ∠O′ ＝ 180°，只要证得∠OPA ＋ ∠O′PB ＝ 90°即可。

解析 2 ：已知两圆外切，可作公切线PC交AB于C （见图 1. 23 －2），由切线长定理可证得， CA ＝ CP ＝ CB，结论得证。

例 3. 已知：☉O与☉O′相交于M、 N，过点M作直线分别交☉O于A，交☉O′于B，过点N作直线，分别交☉O、 ☉O′于C、 D。

求证： AC∥BD。

（此题可以画出较多符合题意的图形，现就以上三种情况研究如下：）

解析 1：欲证结论，只要证明∠A与∠B互补即可。知两圆相交，则连接MN （见图 1. 24 －1），可得∠A与∠MNC互补，又∠MNC ＝ ∠B，结论得证。

解析 2 ：欲证结论，只要证明∠A ＝ ∠B即可。知两圆相交，连接MN （见图 1. 24 －2），则∠A ＝ ∠MND ＝ ∠B，结论得证。

解析 3 ：欲证结论，只要证明∠A ＝ ∠B即可。由已知，则连接MN （见图 1. 24 －3），可得∠A ＝ ∠MNC ＝ ∠B，结论得证。

例 4. 已知：如图 1. 25，圆内接四边形ABCD的AC⊥BD于P， E为AD的中点，延长EP交BC于F。

求证： EF⊥BC。

解析 ：欲证结论，只要证明∠1 与∠2 互余即可。已知直角△APD且PE为中线，可得PE ＝ ED，则∠3 ＝ ∠4 ＝ ∠2，又∠5 与∠3 互余，故结论得证。

例 5. 已知：如图 1. 26，☉O的半径OA⊥OB，弦AC交OB于D，过C作☉O的切线CE交OB的延长线于E。

求证： DE ＝ CE。

解析 1：已知CE是切线，故连接OC （见图 1. 26 －1），可得OC⊥CE， ∠3与∠4 互余，又∠A与∠1 互余，∠A ＝ ∠4，可证∠2 ＝ ∠3，结论得证。

解析 2 ：已知CE是切线，还可再作切线，过A作切线AF交CE的延长线于F （见图 1. 26 －2），则∠1 ＝ ∠3，又∠1 ＝ ∠2，结论得证。

温馨提示

已知圆的切线，可应用性质作出辅助线。另外，已知切线还可再作切线，也是常用的辅助线。

例 6. 已知：如图 1. 27， AB为☉O的直径， CD切☉O于C， BD⊥CD， CE⊥AB于E。

求证： CD ＝ CE。

解析 1：已知切线，连接OC、 BC （见图 1. 27 －1），则OC⊥CD，可证OC∥BD，又OB ＝ OC，得∠3 ＝ ∠1 ＝ ∠2，由角平分线上一点到角两边的距离相等，结论得证。

解析 2 ：已知切线，连接OC，再作OF ⊥ BD （见图 1. 27 －2 ），得矩形OFDC，只要证明△CEO≌△CDB即可。

解析 3 ：已知切线，可再作切线BF交CD的延长线于F （见图 1. 27 －3），则FB∥CE，连接CB，可证∠1 ＝ ∠CBF ＝ ∠2，只要证△CEB≌△CDB即可。

例 7. 已知：如图 1. 28，☉O与☉O′外切于点P， A为☉O上一点， AB切☉O′于B，延长BP交☉O于C， CD为☉O直径。

求证： AB⊥CD。

解析 1：已知AB是切线，故连接O′B （见图 1. 28 －1），则O′B⊥AB，又☉O、 ☉O′外切于P，再连接OO′，可证∠1 ＝ ∠2 ＝ ∠3 ＝ ∠4，则CD∥O′B，结论得证。

解析 2 ：知两圆外切，亦可作公切线PE交AB于E，又知AB是切线，则再作切线CF交EP的延长线于F （见图 1. 28 －2），由切线长定理可证∠1 ＝ ∠2 ＝∠3 ＝ ∠4，则AB∥CF，结论得证。

例 8. 已知：如图 1. 29， P为☉O上一点，以P为圆心以适当长为半径作☉P交☉O于A、 B，过A作直线分别交☉O于C，交☉P于D。

求证： BC ＝ CD。

解析 1：欲证结论，连接BD （见图 1. 29 －1），只要证明∠CBD ＝ ∠CDB即可。连接PB、 PD，可得∠PBD ＝ ∠PDB，再证∠3 ＝ ∠2 就可以了。再连接PA，则∠2 ＝ ∠1 ＝ ∠3，结论得证。

解析 2 ：欲证BC ＝ CD，连接BD （见图 1. 29 －2），只要证明∠1 ＝ ∠2 即可。又连接PA、 PD、 PB，则∠A ＋ ∠CBP ＝ 180°，∠5 ＋ ∠CDP ＝ 180°，又∠A＝ ∠5，∠3 ＝ ∠4，结论得证。

温馨提示

1.当两圆相交，其中一圆的圆心在另一个圆上时，“巧连半径”是常用的辅助线。

2.本题过A的直线，若位置不同，其他条件不变，则结论不变，但所连接的半径不同，证明方法也不同。

☆练习题五

1.已知：如图，☉O的弦AB⊥BC， OD⊥AB于D。

求证： OD ＝ BC。

2.已知：如图，☉O与☉O′相交于M、 N，过M作直线分别交☉O、 ☉O′于A、 B，过N作直线，分别交☉O、 ☉O′于C、 D。

求证： AC∥BD。

3.已知：如图，圆内接四边形ABCD的AC⊥BD于P， PE⊥BC于E，延长EP交AD于F。

求证： AF ＝ DF。

4.已知：如图，☉O中， AB是弦， BD是切线， OD⊥OA交AB于C。

求证： CD ＝ BD。

5.已知：如图，☉O与☉O′外切于P， AB分别切☉O、 ☉O′于A、 B，直线OO′交☉O于C，交☉O′于D，延长CA、 DB交于E。

求证： CE⊥DE。

6.已知：如图，☉O与☉P相交于A、 B，其中点P在☉O上，过A作直线交☉O于C，交☉P于D。

求证： BC ＝ CD。