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斯蒂芬图尔敏所著《论证的使用》一书系统地论述了以论证为主要内容的审辩式思维，学后对审辩式思维能力有了一定的认识。当下新一轮以核心素养为目标的教育改革中，斯蒂芬图尔敏的论证模式对思维进阶具有指导作用。
具有审辩式思维能力是创新型人才的重要特征，教育最重要的任务之一是发展学习者的审辩式思维能力。今天，伴随网络的发展，获取知识越来越容易。重要的已经不是向学生传授知识，而是发展学生的审辩式思维能力。
审辩式思维是21世纪人才必须具备的能力之一，审辩式思维水平的提高具有两方面的重要意义：一是有利于人的创造性的发挥，二是有利于构建和谐民主的社会。
审辩式思维表现在认知和人格两个方面，其突出的特点表现为：一、合乎逻辑地论证观点；二、凭证据讲话；三、善于提出问题并不懈质疑；四、对自身的反省和与此相关联的对异见的包容；五、对一个命题适用范围有深刻的认识和理解；六、直面选择，果断决策，勇于面对自己选择的后果，敢于承担自己的责任。
今天，学校中广泛流行的是形成于20世纪以前的非审辩式思维方式，把学习认为是老师向学生传授知识和学生学习知识的过程。这种方式，压抑了学生的创造力，妨碍了学生审辩式思维能力的发展。急需改变这种方式，不应再简单地向学生灌输特定的结论，而应呵护学生的好奇心，鼓励学生的质疑精神，激发学生的创造力，重视发展学生的审辩式思维能力，从而使学习成为一个探索未知和发现结论的过程。
在进行数学《选修2 －2》（人民教育出版社A版）第二章“推理与证明”的教学过程中，我注意将书里的相关理论运用到教学实践中，注重发展学生的审辩式思维能力，做了一些有益的尝试，收到了很好的效果。
在开始学习本章内容时，我向学生们讲述了数学家欧拉的一个故事：
法国数学家费马观察到：
，
＋ 1 ＝
＋ 1 ＝ 65537都是质数，于是他用归纳推理提出猜想：任何形如
的数都是质数。猜想对吗？半个世纪之后，勇于质疑且善于计算的欧拉发现：第5个费马数
F
5
＝ 2
2
5
＋ 1 ＝ 4294967297 ＝ 641 × 6700417不是质数，从而推翻了费马的猜想。欧拉凭借审辩式思维能力，解决了著名的问题，为我们树立了好的榜样。我以此事例激励学生们要敢于质疑和善于钻研。在后面的学习过程中，充分调动学生的学习积极性，引导学生深入钻研问题。现举两例与老师们交流分享。
一、探究课本一公式，妙用多法解问题
课本中直接给出了1
2
＋ 2
2
＋…＋
n
2
的结果为
，但未给出其推导过程，我引导学生去探究，得到了多种解法：
解法一：（归纳法）
记 S n ＝ 1 2 ＋ 2 2 ＋…＋ n 2
先计算得：
S 1 ＝ 1 2 ＝ 1，
S 2 ＝ 1 2 ＋ 2 2 ＝ 5，
S 3 ＝ 1 2 ＋ 2 2 ＋ 3 2 ＝ 14，
S 4 ＝ 1 2 ＋ 2 2 ＋ 3 2 ＋ 4 2 ＝ 30，
然后用归纳推理提出猜想：
S
n
＝
＝
再用数学归纳法证明猜想（略）
解法二：（类比法）
类比
S
n
（1）＝ 1＋ 2＋…＋
n
＝
＋
其为关于
n
的2次多项式
猜想：
＋…＋
n
2
＝
然后分别地取 n ＝ 1，2，3，4，列方程组，解方程组得 a ， b ， c ， d 的值。
再用数学归纳法证明猜想（略）
解法三：（待定系数法）
由
＋…
，得
设
S
n
＝
＋
＋
cn
＋
d
，则
＋
－
＋
＋
＝
＋
n
＋
＝
故
S
n
＝
＋
＋
n
＝
再用数学归纳法证明猜想（略）
解法四：（演绎法）
由（ k ＋ 1） 3 ＝ k 3 ＋ 3 k 2 ＋ 3 k ＋ 1，得（ k ＋ 1） 3 － k 3 ＝ 3 k 2 ＋ 3 k ＋ 1
分别地取 k ＝ 1，2，3，…， n ，得
2 3 －1 3 ＝ 3 × 1 2 ＋ 3 × 1 ＋ 1
3 3 －2 3 ＝ 3 × 2 2 ＋ 3 × 2 ＋ 1
4 3 －3 3 ＝ 3 × 3 2 ＋ 3 × 3 ＋ 1
……
（ n ＋ 1） 3 － n 3 ＝ 3 n 2 ＋ 3 n ＋ 1
相加可得
－
＋
故
S
n
（2）＝
正是：面对难题冥思苦想，探究多法追本穷源。
研究到此并不止步，继续探究更一般的问题：
二、推广课本一问题，一题多变提能力
课本对问题：已知数列
，
a
1
＝
求
先用归纳推理提出猜想，再用数学归纳法证明，给予解决。对此问题很有必要并非常值得继续加以研究。首先考虑再用演绎法解决上面问题。
解：由题设得
＝
，即
－
＝ 1，此表明数列
是公差为1的等差数列，又
a
1
＝ 1，故
＝
＋（
n
－1）× 1，于是
a
n
＝
然后研究变式问题：已知数列
＝
＝
＋ 1
，求
a
n
。
首先仿照前例课本的方法，即用归纳推理提出猜想，再用数学归纳法证明，可以解决。除此之外呢？如何引导学生继续探究，使学生思维进阶呢？是我们教师值得深思的问题。如能深入钻研并加以精心设计，定能充分体现本题应有的功能与价值。下面给出本人对此问题的探究结果和设计。
分析：
计算前几项探求通项： a 1 ＝ 1 ＝ 2 1 －1， a 2 ＝ 3 ＝ 2 2 －1， a 3 ＝ 7 ＝ 2 3 －1， a 4 ＝ 15 ＝2 4 －1；
归纳规律提出猜想：
a
n
＝
；
透过现象认识本质：
是公比为2，首项为1的等比数列；
寻找突破口获得解法：抓住等比数列
，使本题迎刃而解。
解：
＋
＝
＝
，设
（1）则
＝ 2
b
n
此表明
是公比为2的等比数列，又由
b
1
＝
a
1
＋ 1 ＝ 1 ＋ 1 ＝ 2得
b
n
＝ 2 ×
代入（1）得
＝ 2
n
，故
推广：上题的一般问题是：已知
＝
，求
a
n
。
又该如何解决呢？
反思：上题的解题关键是通过做适当变形，获得了等比数列｛
探究：类比上题解法，探寻相应的等比数列，设为
，考虑用待定系数法求出
x
：
设
即
＝
，将其与已知
比较后，
应令
＝
，于是仿上题解法，可得出本题结果；
而当
时，
为等差数列，问题不难解决。
应用：已知数列
＝
＝
，求
a
n
。
解：
＝
＋
，
设
＝
（1）即
＋
应令
x
＝
＝－
代入（1）得
设
（2）则
此表明
是公比为
的等比数列，又由
b
1
＝
得
bn＝
＝
n
代入（2）得
，故
＋
还能再推广吗？更一般的问题为：已知
＝
＝
，求
a
n
。
先研究一个具体问题：已知
＝
＝
，求
a
n
。
解：由
－3
n
＋ 1，得
＝ 4（
a
n
－
n
），设
则
＝ 4
b
n
，
此表明数列｛ b n ｝是公比为4的等比数列。又由 b 1 ＝ a 1 －1 ＝ 1，得 b n ＝ 4 n －1 ，
于是
通过对此题的研究过程认识到还能够再推广，方法为：类比把
化为
，考虑将
转成
＝
应用：设数列
的前
n
项的和
×
，求
a
n
。
解法一：由
＝
－
＋
（1）得
－
（2）
（1）－（2）得
×
，即
将其转成
，设
，则
此表明数列｛ b n ｝是公比为4的等比数列。又由题设可求出 a 1 ＝ 2，于是 b 1 ＝ a 1 ＋ 2 ＝ 4，
因此
b
n
＝ 4
n
，故
解法二：同解法一得
，将其化为
＝
＋ 1，设
＝
，
则
，可求得
a
1
于是
＝1，参见前例得
，所以
通过对此类问题的研究，可归纳出如下要点：
（1）解题步骤：变形—代换—求新—导旧；
（2）对复杂的递推式，通过“探寻同型式，构造辅助列”，化归为简单的递推式。
通过对上述两个问题的探究过程，师生们深切地体会到：在探究问题时，勿浅尝辄止，应深入钻研。使思维不断进阶，促能力逐步提升。
教师在教学中应更新教育观念，重视审辩式思维，培养创新型人才。
石景林/文